专题练习01：数列通项公式的求法-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题练习01：数列通项公式的求法 基础巩固 1.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n（n∈N*），则a100＝（ ） A.9 900 B.9 902 C.9 904 D.11 000 2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*）.若bn＝log2（＋1），则数列{bn}的通项公式为（ ） A.bn＝n B.bn＝n－1 C.bn＝n D.bn＝2n 3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝（ ） A. B. C. D. 4.在数列{an}中，a1＝，an＝1－（n≥2，n∈N*），则a2 023＝（ ） A. B.1 C.－1 D.2 5.在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为（ ） A.an＝2n－3 B.an＝2n－7 C.an＝（2n－3）（2n－7） D.an＝2n－5 6.已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝（n≥2），则xn等于（ ） A.（）n－1 B.（）n C. D. 7.一个正整数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）： 第1行 1 第2行 2　　3 第3行 4　　5　　6　　7 … … 则第8行中的第5个数是（ ） A.68 B.132 C.133 D.260 8.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋3，则其通项公式an＝ . 9.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2（n∈N*）. （1）求a2，a3的值； （2）证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式. 10.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25％，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润率，并将其余资金全部作为该项目次年的项目资金.问经过多少年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番的目标？（取lg 2≈0.301） 综合运用 11.已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋（）n＋1，则an等于（ ） A.－ B.－ C.－ D.－ 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为 . 13.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式为an＝ . 拔高拓展 14.定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2 024－a2 023的值是（ ） A.22 024 B.22 023 C.22 022 D.22 021 15.（多选）设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是（ ） A.数列{Sn＋n}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1 C.数列{an＋1}为等比数列 D.数列{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列 基础巩固 1.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n（n∈N*），则a100＝（　B　） A.9 900 B.9 902 C.9 904 D.11 000 解析：a100＝（a100－a99）＋（a99－a98）＋…＋（a2－a1）＋a1 ＝2×（99＋98＋…＋2＋1）＋2 ＝2×＋2＝9 902. 2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*）.若bn＝log2（＋1），则数列{bn}的通项公式为（　C　） A.bn＝n B.bn＝n－1 C.bn＝n D.bn＝2n 3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝（　C　） A. B. C. D. 解析：∵an＋1＝2nan，∴＝2n， 当n≥2时，an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2×2＝， 当n＝1时，a1＝2也符合上述通项公式， ∴an＝（n∈N*）.故选C. 4.在数列{an}中，a1＝，an＝1－（n≥2，n∈N*），则a2 023＝（　A　） A. B.1 C.－1 D.2 解析：由a2＝1－＝1－2＝－1，a3＝1－＝1＋1＝2，a4＝1－＝1－＝，…，可得数列{an}是以3为周期的周期数列，∴a2 023＝a3×674＋1＝a1＝.故选A. 5.在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列{an}的通项公式为（　C　） A.an＝2n－3 B.an＝2n－7 C.an＝（2n－3）（2n－7） D.an＝2n－5 解析：因为－2＝，所以－＝2， 又＝－1，所以数列{}是以－1为首项，2为公差的等差数列，所以＝－1＋2（n－1）＝2n－3，所以an＝（2n－3）（2n－7）. 6.已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝（n≥2），则xn等于（　C　） A.（）n－1 B.（）n C. D. 7.一个正整数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）： 第1行 1 第2行 2　　3 第3行 4　　5　　6　　7 … … 则第8行中的第5个数是（　B　） A.68 B.132 C.133 D.260 解析：前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127（个）数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132. 8.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋3，则其通项公式an＝　　. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2＋3＝5； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n－1－3＝2n－1.故an＝ 9.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2（n∈N*）. （1）求a2，a3的值； 解：（1）由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5， a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9. （2）证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式. 解：（2）∵an＋1＝3an－4n＋2， ∴an＋1－2n－2＝3an－6n， 即an＋1－2（n＋1）＝3（an－2n）. 由（1）知a1－2＝－2＝， ∴an－2n≠0，n∈N*. ∴＝3， ∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列. ∴an－2n＝×3n－1＝3n－2， ∴an＝3n－2＋2n. 10.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25％，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润率，并将其余资金全部作为该项目次年的项目资金.问经过多少年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番的目标？（取lg 2≈0.301） 解：设经过n年后，该项目逐年的项目资金数为an，n∈N*. 则由已知得an＋1＝an（1＋25％）－200， 即an＋1＝an－200. 令an＋1－x＝（an－x），即an＋1＝an－， 由＝200，得x＝800. ∴an＋1－800＝（an－800）. ∵a1＝1 000×（1＋25％）－200＝1 050， ∴a1－800＝250， 故数列{an－800}是以250为首项，为公比的等比数列. ∴an－800＝250×（）n－1， ∴an＝800＋250×（）n－1（n∈N*）. 令an≥4 000， 得800＋250×（）n－1≥4 000，即（）n≥16. 两边取常用对数得nlg ≥lg 16， 即n（1－3lg 2）≥4lg 2. ∵lg 2≈0.301，∴n≥12.4. 故经过13年后，该项目的项目资金可以达到或超过翻两番的目标. 综合运用 11.已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋（）n＋1，则an等于（　A　） A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：因为a1＝，an＋1＝an＋（）n＋1，所以2n＋1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝（2nan－3），所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－（）n－1，解得an＝－. 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为　6　. 解析：由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，得Sn＋1＋3＝2（Sn＋3）， 因为S1＝a1＝1，所以S1＋3＝4， 所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－3，若Sk＝2k＋1－3≥125，则k≥6.所以k的最小值为6. 13.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式为an＝　n（n∈N*）　. 解析：当n≥2时，an＝××…×××a1＝××…×××1＝n. 当n＝1时，a1＝1也符合上式，∴an＝n（n∈N*）. 拔高拓展 14.定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2 024－a2 023的值是（　C　） A.22 024 B.22 023 C.22 022 D.22 021 解析：在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，可得＝2，a2－a1＝1， 即数列{an＋1－an}是首项为1，公比为2的等比数列， 可得an＋1－an＝2n－1，则a2 024－a2 023＝22 022. 15.（多选）设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是（　AD　） A.数列{Sn＋n}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1 C.数列{an＋1}为等比数列 D.数列{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列 解析：因为Sn＋1＝2Sn＋n－1， 所以＝＝2. 又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误； 由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，即≠，故C错误； 因为Sn＝2n－n，所以Sn＋1－Sn＋1＝2n＋1－n－1－2n＋n＋1＝2n，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $