4.3.2等比数列的前n项和公式 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2　等比数列的前n项和公式　第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 基础巩固 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝48，S8＝60，则S12＝（ ） A.83 B.108 C.75 D.63 2.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（ ） A.35 B.33 C.31 D.29 3.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为（ ） A.8 B.－2 C.4 D.2 4.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及：今有银一秤一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之.其意思是：现有银一秤一斤十两，将银分给甲、乙、丙三人，甲、乙、丙三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银（规定：1秤＝10斤，1斤＝10两）（ ） A. 两 B. 两 C. 两 D. 两 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于（ ） A. B.－ C. D. 6.设等比数列{an}的前n项和为10，前2n项和为60，则该数列的前4n项和为（ ） A.360 B.720 C.1 560 D.1 800 7.已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 8.正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若，a1＋2，S13成等比数列，则的最小值为 . 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. （1）证明：{an－1}是等比数列； （2）求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由.（lo≈13.9） 综合运用 11.我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍.小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（ ） A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 12.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝4，则S2＋S6的最小值为（ ） A.8 B.8－4 C.8 D.10 13.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，则公比q＝ . 拔高拓展 14.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2 024a2 025＞1，（a2 024－1）（a2 025－1）＜0，则下列选项正确的是（ ） A.0＜q＜1 B.S2 024＞S2 025－1 C.T2 025是数列{Tn}中的最大项 D.T4 045＜1 15.已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn（n≥1），则Tn的最大值为（ ） A. B. C.1 D.2 基础巩固 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝48，S8＝60，则S12＝（　D　） A.83 B.108 C.75 D.63 解析：由题知，等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝48，S8＝60，所以S4，S8－S4，S12－S8也是等比数列，即48，12，S12－60也是等比数列，根据等比中项的性质解得S12＝63，故选D. 2.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（　C　） A.35 B.33 C.31 D.29 解析：设数列{an}的公比为q（q≠0），a2·a3＝·q3＝a1·a4＝2a1⇒a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×⇒q＝. 故a1＝＝16，S5＝＝31. 3.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为（　D　） A.8 B.－2 C.4 D.2 解析：设该等比数列为{an}，其项数为2n（n∈N*），公比为q，由题意易知q≠1，设奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，易知奇数项组成的数列是首项为a1，公比为q2的等比数列，偶数项组成的数列是首项为a2，公比为q2的等比数列，则S奇＝＝1 011，S偶＝＝2 022，所以＝＝＝2，即q＝2，所以这个数列的公比为2. 4.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及：今有银一秤一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之.其意思是：现有银一秤一斤十两，将银分给甲、乙、丙三人，甲、乙、丙三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银（规定：1秤＝10斤，1斤＝10两）（　C　） A. 两 B. 两 C. 两 D. 两 解析：一秤一斤十两共120两，将这5人所得银的数量由小到大排列，记为数列{an}（n＝1，2，3，4，5），则{an}是公比q＝2的等比数列，于是得前5项之和S5＝＝＝120，解得a1＝.故得银最少的3个人一共得银的数量为a1＋a2＋a3＝×（1＋2＋22）＝.故选C. 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于（　A　） A. B.－ C. D. 解析：易知公比q≠－1， 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6， 且S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 即8，－1，S9－S6成等比数列， 所以8（S9－S6）＝1， 即S9－S6＝， 所以a7＋a8＋a9＝. 6.设等比数列{an}的前n项和为10，前2n项和为60，则该数列的前4n项和为（　C　） A.360 B.720 C.1 560 D.1 800 解析：设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q， 由题可知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，公比为qn，因为Sn＝10，S2n＝60， 所以S2n－Sn＝50，所以qn＝5， 所以S3n－S2n＝50×5＝250， 所以S4n－S3n＝250×5＝1 250， 所以S4n＝10＋50＋250＋1 250＝1 560. 7.已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于（　B　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：方法一：因为等比数列{an}有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，设公比为q， 则1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q（q＋q3＋q5＋…＋q2n－1）＝85， q＋q3＋q5＋…＋q2n－1＝42，整体代入得q＝2， 所以前2n＋1项和为＝85＋42＝127，解得n＝3. 方法二：设所有奇数项的和为S奇，所有偶数项的和为S偶，前n项和为Sn，公比为q，因为等比数列{an}有2n＋1项，则S奇＝a1＋qS偶， 即85＝1＋42q，解得q＝2， 所以S2n＋1＝＝S奇＋S偶＝85＋42＝127，解得n＝3. 8.正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若，a1＋2，S13成等比数列，则的最小值为　（或31.5）　. 解析：设{an}的公差为d，则×S13＝a7＝（a1＋2）2⇒a1＋6d＝（a1＋2）2⇒6d＝＋3a1＋4，而an＞0，所以＝＝7＋＝7＋a1＋＋≥＋2＝，当且仅当a1＝2时取得等号. 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. （1）求数列{an}的通项公式； 解：（1）由题意知S6≠2S3，q≠1，且q≠－1， 由等比数列的前n项和的性质知， q3＝＝＝8，故q＝2， ∴将q＝2代入S3＝＝7，得a1＝1， ∴an＝2n－1. （2）若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（2）由（1）知bn＝2n－1＋n－1， ∴Tn＝（1＋2＋…＋2n－1）＋[1＋2＋…＋（n－1）] ＝2n＋－1. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. （1）证明：{an－1}是等比数列； 解：（1）证明：当n＝1时，由Sn＝n－5an－85可知，a1＝－14； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－5an＋5an－1＋1，即6an＝5an－1＋1.因此6an－6＝5an－1＋1－6＝5（an－1－1），所以an－1＝（an－1－1）. 又a1－1＝－15≠0，所以数列{an－1}是等比数列. （2）求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由.（lo≈13.9） 解：（2）由（1）知，an－1＝－15×（）n－1，得an＝1－15×（）n－1， 从而Sn＝75×（）n－1＋n－90，n∈N*. 解不等式Sn＜Sn＋1，得（）n－1＜，则n＞lo＋1≈14.9，所以当n≥15时，数列{Sn}为递增数列； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}为递减数列. 故当n＝15时，Sn取得最小值. 综合运用 11.我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍.小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（　B　） A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 解析：设两只老鼠在第n天相遇，则大老鼠第n天打洞的厚度成以2为公比的等比数列，小老鼠第n天打洞的厚度成以为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得＋≥10，整理得（2n）2－9·2n－2≥0，可得2n≤（舍去）或2n≥∈（8，16），所以两鼠穿透此墙至少在第4天. 12.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝4，则S2＋S6的最小值为（　B　） A.8 B.8－4 C.8 D.10 解析：由正项等比数列{an}可知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则（S4－S2）2＝S2（S6－S4），又S4＝4，所以S6＝＋S2－4，所以S2＋S6＝＋2S2－4≥8－4，当且仅当＝2S2，即S2＝2时取等号，故S2＋S6的最小值为8－4.故选B. 13.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，则公比q＝　　. 解析：由210S30－（210＋1）S20＋S10＝0， 得210（S30－S20）＝S20－S10. 易知q≠－1， ∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， ∴＝q10＝（）10. 又{an}为正项等比数列，∴q＝. 拔高拓展 14.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2 024a2 025＞1，（a2 024－1）（a2 025－1）＜0，则下列选项正确的是（　AB　） A.0＜q＜1 B.S2 024＞S2 025－1 C.T2 025是数列{Tn}中的最大项 D.T4 045＜1 解析：∵（a2 024－1）（a2 025－1）＜0， ∴a2 024－1＞0，a2 025－1＜0或a2 024－1＜0， a2 025－1＞0， ∵a1＞1，a2 024a2 025＞1， ∴a2 024，a2 025同号，且a2 024＞1，a2 025＜1，即数列前2 024项大于1，从第2 025项开始小于1， 则q＝＜1，易知q＞0，故0＜q＜1，A正确； 由上面分析知a2 025＜1，故S2 025－S2 024＜1，S2 024＞S2 025－1，B正确； 由题意知{an}是递减数列，且a2 024＞1，a2 025＜1，故T2 024是数列{Tn}中的最大项，故C错误； T4 045＝a1·…·a4 045＝＞1，故D错误. 15.已知等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn（n≥1），则Tn的最大值为（　D　） A. B. C.1 D.2 解析：设数列{an}共有2m＋1项，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，公比为q，由题意得 S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 因为项数为奇数时，S奇＝a1＋qS偶， 即2＋q＝， 所以q＝，所以Tn＝a1·a2·…·an ＝q1＋2＋…＋（n－1）＝＝， 故当n＝1或2时，Tn取最大值2. 学科网（北京）股份有限公司 $