6.2.3 向量的数乘运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章 1 问题引入 我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和， 并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化? 这些变化与那些因素有关? 如图，。 类比数的乘法，我们把 记作 ，即。 显然的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍，即 类似的，。 我们把记作 ，即。 显然的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍，即 探究：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ 如图，.类比数的乘法，我们把记作，即.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即. 类似地，由图可知，.我们把记作，即.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即. 生成新知 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作。 定义 长度： 方向：当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， 规定 注意 1.向量数乘的结果仍然是向量； 2.实数和向量可以相乘，但不能相加减， ， 无意义; 向量数乘的几何意义是什么? 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 零乘任何向量的结果为零向量； 乘任何向量得到这个向量的相反向量. 再探新知 探究：向量数乘运算的几何意义是什么? 如右图，在向量数乘中， 可视为将向量的长度伸长 () 或缩短 ()的倍数。 的符号表示能够改变向量的方向， 当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， （若， 也成立） 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识? 相反向量： ； 零向量： 或 深入研究 思考1：数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算 是否也满足上述运算律呢？ 探究①： 之间的联系 探究②： 之间的联系 深入研究 思考1：数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算 是否也满足上述运算律呢？ 探究③： 之间的联系 思考：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？ 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的. 设为实数，那么 你能证明这些运算律吗？ (1) (2) (3) 证明(1) 证：当或或时，上式显然成立. 当或或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 所以. 当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同； 当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反. (1) (2) (3) 数乘运算的运算律 特别地： 思考：向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点？ 向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 学习新知 向量数乘的运算律： 设，是实数，那么有 (1)结合律： (2)分配律：① ② 特别地，我们有 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 向量线性运算的结果仍是向量。 对于任意的向量, ,以及任意实数， 恒有 例5.计算： (1)；(2)(3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 方法总结 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 14 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线. 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线. 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线. 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线. 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有 综上，我们有如下定理：(共线向量定理) 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示. 深入研究 向量共线定理： 向量（ ≠ ）共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 意义：根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量， 都存在唯一的一个实数，使．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示． 向量共线定理中为什么规定≠ ？ ①若将≠ 去掉，则当时，显然向量 共线; ②当，若，则不存在实数，使成立，此时不共线 ③当，若，则对一切的实数入，都有，与“唯一一个实数”矛盾。 例题讲解 例1、如图,已知任意两个非零向量a,b,试作 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?并证明你的猜想。 a b A B C 所以,A、B、C三点共线 b 2b 3b O a a a 19 例4.已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值. 解：由于不共线，易知向量为非零向量. 由向量，共线，可知存在实数， 使得，即. 由不共线，必有.否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾. 由解得 因此，当向量，共线时，. 方法总结 向量共线定理的应用 23 本课小结 课堂小结 3、平面向量共线基本定理 2、数乘向量的运算律 1、数乘向量的定义 4、定理的应用 （1）向量共线（2）三点共线 （3）两直线平行 25 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→))(或eq \o(BC,\s\up16(→))＝λeq \o(AB,\s\up16(→))等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq \o(OA,\s\up16(→))＝xeq \o(OB,\s\up16(→))＋yeq \o(OC,\s\up16(→))且x＋y＝1． 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值． $