第五单元 简易方程 培优精讲（知识梳理+15个考点讲练+巩固练习 共56题）-2025-2026学年人教版数学五年级上学期

第五单元 简易方程 培优精讲 目录 知识梳理 2 知识点一：用字母表示数 2 知识点二：方程的意义 2 知识点三：等式的性质 2 知识点四：解方程 3 知识点五：实际问题与方程 3 知识点六：稍复杂的方程 4 知识点七：易错点与培优技巧 4 考点练习 4 考点一：用字母表示数、数量关系 4 考点二：用字母表运算定律及计算公式 5 考点三：用字母表示稍微复杂的数量关系 6 考点四：含有字母式子的化简与求值 7 考点五：等式的认识及列等量关系式 8 考点六：方程的认识 9 考点七：列简易方程 9 考点八：等式的性质1 10 考点九：等式的性质2 11 考点十：应用等式的性质解方程 11 考点十一：解等号两边都有未知数的方程 13 考点十二：方程的检验 15 考点十三：列方程解含有一个未知数的问题 18 考点十四：列方程解含有两个未知数的问题 19 考点十五：列方程解决稍复杂的实际问题 20 巩固练习 22 知识梳理 知识点一：用字母表示数 意义：用字母可以简明地表示数、数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来方便。 写法规则： 1.字母与字母相乘时，乘号可省略或写作“·”（如a×b=ab或a·b） 2.字母与数字相乘时，数字在前字母在后，乘号省略（如3×x=3x） 3.带分数与字母相乘时，需化为假分数（如1½×a=3/2a） 4.相同字母相乘写成幂的形式（如a×a=a²） 示例： 用字母表示乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 用字母表示长方形面积公式：S=ab（a表示长，b表示宽） 每支铅笔a元，买5支应付：5a元 知识点二：方程的意义 定义：含有未知数的等式叫做方程。 核心要素：①必须是等式 ②必须含有未知数 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不是方程） 示例： 下列式子中是方程的有：3x=18（√）、20-8=12（×）、5y+3＞10（×）、x÷4=2.5（√） 知识点三：等式的性质 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 如：若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 如：若a=b，则ac=bc，a÷c=b÷c（c≠0） 示例： 根据等式性质填空： 若x+5=12，则x+5-5=12-（5）（性质1） 若4x=28，则4x÷4=28÷（4）（性质2） 知识点四：解方程 定义：求方程的解的过程叫做解方程。 基本步骤： 1.写“解”字并注明“：” 2.利用等式性质化简方程（去分母、去括号、移项、合并同类项） 3.求出未知数的值 4.检验（把解代入原方程，看左右两边是否相等） 示例：解方程 3(x-2)=18 解：3(x-2)÷3=18÷3（性质2） x-2=6 x-2+2=6+2（性质1） x=8 检验：左边=3×(8-2)=18，右边=18，左边=右边，所以x=8是方程的解 知识点五：实际问题与方程 解题步骤： 1.审题：找出关键信息，明确已知量和未知量 2.设未知数：一般设所求问题为x（直接设元），复杂问题可间接设元 3.列方程：根据等量关系列出方程 4.解方程并检验 5.答语：完整回答问题 常见等量关系类型： 和差关系：甲+乙=总和，甲-乙=相差数 倍数关系：甲=乙×倍数，甲=乙×倍数+几（或-几） 公式应用：路程=速度×时间，总价=单价×数量 示例： 学校图书馆有故事书280本，比科技书的3倍少20本，科技书有多少本？ 解：设科技书有x本 3x-20=280（等量关系：科技书×3-20=故事书） 3x=300 x=100 答：科技书有100本 知识点六：稍复杂的方程 类型1：含有两步运算的方程（如ax±b=c、a(x±b)=c） 示例：解方程 2x+1.5×2=6 解：2x+3=6 → 2x=3 → x=1.5 类型2：含有两个未知数的方程（如ax+bx=c） 解题关键：根据两个未知数的关系，用一个字母表示另一个字母 示例：苹果和梨共20千克，苹果质量是梨的3倍，苹果和梨各多少千克？ 解：设梨有x千克，则苹果有3x千克 x+3x=20 → 4x=20 → x=5 苹果：3×5=15（千克） 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.字母表示数时，数字与字母相乘遗漏乘号（如x×5写成x5，正确应为5x） 2.解方程时未写“解”字或忘记检验 3.列方程时等量关系错误（如“比乙的2倍多3”写成2x-3，正确应为2x+3） 培优技巧： 1.用“顺向思维”列方程：根据题目叙述直接写出等量关系（如“甲数比乙数的2倍少5”→甲=2乙-5） 2.复杂问题“画图分析”：通过线段图、示意图直观呈现数量关系 3.方程验算“代入法”：将解代入原方程，确保左边=右边 考点练习 考点一：用字母表示数、数量关系 例题：小丽的爸爸今年岁，小丽同学今年岁，年以后，爸爸比小丽大（    ）岁。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】爸爸和小丽的年龄差是不会变的，所以用爸爸今年的年龄岁减去小丽今年的年龄岁即可知道二人的年龄差，经过年二人的年龄差也不会变。 【详解】，即爸爸比小丽大岁。 故答案为：B 跟踪练习：小明有一本他特别喜欢看的故事书，这本书有页，小明每天看5页，看了天，用式子表示还没有看的页数是( )页。 【答案】 【分析】用小明每天看书的页数5页乘看书的天数天即可求出a天一共看的页数，用书的总页数减去已经看的页数即可表示没看的页数。 【详解】（页），即还没有看的页数是页。 考点二：用字母表运算定律及计算公式 例题：小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差( )。 【答案】7.8 【分析】采用赋值法进行分析，假设m＝1，分别计算出27×（m－0.3）和27×m－0.3的结果，求差即可。含有字母的式子求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】假设m＝1。 27×（m－0.3） ＝27×（1－0.3） ＝27×0.7 ＝18.9 27×m－0.3 ＝27×1－0.3 ＝27－0.3 ＝26.7 26.7－18.9＝7.8 小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差7.8。 跟踪练习：用2个边长为a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 6a 2a2 【分析】 如图，长方形的长为2a厘米，宽为a厘米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，用字母表示出周长和面积即可。 【详解】（2a＋a）×2 ＝3a×2 ＝6a（厘米） 2a×a＝2a2（平方厘米） 这个长方形的周长是6a厘米，面积是2a2平方厘米。 考点三：用字母表示稍微复杂的数量关系 例题：一套运动服里有一件上衣和一条裤子，田径队买了12套，共用去m元，如果一件上衣的价钱是n元，那么一条裤子的价钱是（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总价＝单价×数量，用一件上衣的价钱×12，求出买12件上衣的钱数，再用共用去的钱数－12件上衣的钱数，求出12条裤子的钱数，再除以12，即可求出一条裤子的钱数。 【详解】（m－12×n）÷12 ＝（m－12n）÷12（元） 一套运动服里有一件上衣和一条裤子，田径队买了12套，共用去m元，如果一件上衣的价钱是n元，那么一条裤子的价钱是（m－12n）÷12元。 故答案为：C 跟踪练习：同学们在“秋收”项目化学习中，化身助农小帮手，帮王伯伯运送吨稻谷，每次运走吨，运了5次。运走了( )吨，“”表示( )。 【答案】 5n 剩下的吨数 【分析】每次运的吨数×运的次数＝运走的吨数；总吨数－运走的吨数＝剩下的吨数，据此分析。 【详解】同学们在“秋收”项目化学习中，化身助农小帮手，帮王伯伯运送吨稻谷，每次运走吨，运了5次。运走了（5n）吨，“”表示剩下的吨数。 考点四：含有字母式子的化简与求值 例题：水果店运来a箱苹果，运来的梨比苹果的3倍少8箱。 （1）用含有字母的式子表示运来多少箱梨。 （2）当a＝80时，水果店运来多少箱梨？ 【答案】（1）（3a－8）箱 （2）232箱 【分析】（1）由题意得，水果店运来a箱苹果，运来的梨比苹果的3倍少8箱，可以先用a×3表示出苹果箱数的3倍，然后再减去8即可表示出水果店运来梨的箱数。 （2）由题意得，当a＝80时，直接将数据代入即可算出水果店运来梨的箱数。 【详解】（1）a×3－8＝（3a－8）箱 答：运来了（3a－8）箱梨。 （2）当a＝80时， 3a－8 ＝3×80－8 ＝240－8 ＝232（箱） 答：当a＝80时，水果店运来232箱梨。 跟踪练习：最早使用字母来表示数的人是16世纪末法国数学家韦达，韦达一生致力于对数学的研究，作出很多重要贡献，后世称他为“代数之父”。请应用代数的知识解决问题：粮油公司第一次运来m车面粉，每车5吨；第二次运来3车面粉，每车n吨。 （1）两次一共运来多少吨面粉？（请用含有字母的式子表示） （2）当m＝6，n＝4时，求两次一共运来多少吨面粉？ 【答案】（1）5m＋3n （2）42吨 【分析】（1）根据题意，用每次运来面粉的车数乘每车的质量，得到每次运的面粉质量，再相加即可。 （2）将m＝6，n＝4，代入（1）中的式子进行计算即可。 【详解】（1）5×m＋3×n＝（5m＋3n）吨 答：两次一共运来（5m＋3n）吨面粉。 （2）m＝6，n＝4时 5m＋3n ＝5×6＋3×4 ＝30＋12 ＝42（吨） 答：当m＝6，n＝4时，两次一共运来42吨面粉。 考点五：等式的认识及列等量关系式 例题：用等式表示a比b的3倍少5，下列正确的是（    ）。 A．3b－a＝5 B．a－3b＝5 C．3b＋5＝a D．3a－5＝b 【答案】A 【分析】逐项分析每个等式的含义，找出符合题意的等式。 【详解】A．3b－a＝5，表示a比b的3倍少5，符合题意； B．a－3b＝5，表示a比b的3倍多5，不符合题意； C．3b＋5＝a，表示a比b的3倍多5，不符合题意； D．3a－5＝b，表示b比a的3倍少5，不符合题意。 用等式表示a比b的3倍少5，正确的是3b－a＝5。 故答案为：A 【点睛】弄清数量之间的关系，明白每个等式的含义是解题的关键。 跟踪练习：根据“足球的白色皮比黑色皮的2倍少4块”列出数量关系，错误的是（    ）。 A．黑色皮块数×2－4＝白色皮块数 B．白色皮块数－黑色皮块数×2＝4 C．黑色皮块数×2－白色皮块数＝4 D．黑色皮块数×2＝白色皮块数＋4 【答案】B 【分析】根据“足球的白色皮比黑色皮的2倍少4块”可列出等量关系：黑色皮块数×2－4＝白色皮块数；黑色皮块数×2－白色皮块数＝4；黑色皮块数×2＝白色皮块数＋4，据此解答即可。 【详解】根据“足球的白色皮比黑色皮的2倍少4块”列出等量关系，错误的是白色皮块数－黑色皮块数×2＝4。 故答案为：B 考点六：方程的认识 例题：下列式子中，属于方程的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程的定义是：含有未知数的等式。据此选择即可。 【详解】属于方程的是2y－7＝15。 故答案为：C 跟踪练习：①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 【答案】 ①②③ ①③ 【分析】含有等号的式子叫等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，①②③是等式，①③是方程。 考点七：列简易方程 例题：小明今年12岁，爸爸年龄比小明的3倍少2岁。设爸爸年龄为x岁，正确的方程是（    ）。 A．x＋2＝12×3 B．3x－2＝12 C．x＝12÷3−2 D．x－12＝3×2 【答案】A 【分析】根据题意，爸爸的年龄比小明年龄的3倍少2岁。求谁是谁的几倍是多少用乘法，少多少用减法，已经设爸爸年龄为x岁，小明今年12岁，由此列方程。 【详解】根据分析，x＝12×3－2， 方程两边同时加2 x＋2＝12×3－2＋2 x＋2＝12×3 即为A选项，故答案为：A 跟踪练习：看图列方程。 方程： 【答案】50×2＋3x＝190 【分析】1个足球50元，2个足球是（50×2）元；一个篮球x元，3个篮球是（3x）元。再根据等量关系：2个足球的钱数＋3个篮球的钱数＝190元。据此列方程即可。 【详解】1个足球的价钱×2＋1个篮球的价钱×3＝190元 方程：50×2＋3x＝190 考点八：等式的性质1 例题：3a＋8＝24，在等式的两边都加上b，左右两边仍然相等。( ) 【答案】√ 【分析】根据等式的性质，等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。据此判断即可。 【详解】由分析可知，等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。3a＋8＝24，在等式的两边都加上b，左右两边仍然相等。此说法正确。 故答案为：√ 跟踪练习：如果3a＋5＝23，那么3a－7＝( )。 【答案】11 【分析】根据等式的性质1，在3a＋5＝23的两边同时减去5，得到3a＋5－5＝23－5，即3a＝18。再把3a＝18整体代入3a－7计算即可。 【详解】3a＋5＝23 3a＋5－5＝23－5 3a＝18 3a－7＝18－7＝11 所以，如果3a＋5＝23，那么3a－7＝11。 【点睛】此题考查了等式的性质及求含有字母的式子的值。 考点九：等式的性质2 例题：如果b＝c，那么b÷10＝c÷( )，b＋( )＝c＋3，bd＝c×( )。 【答案】 10 3 d 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】如果b＝c，那么b÷10＝c÷10，b＋3＝c＋3，bd＝c×d。 【点睛】本题考查等式的性质的应用。 跟踪练习：如果，那么根据等式的性质：( )；2m×d＝（n＋3）×( )。 【答案】 n＋3 2d 【分析】等式的性质：等式两边同时乘或同时除以一个数除外），两边仍相等，据此解答即可。 【详解】m÷5＝（n＋3）÷5，2m×d＝（n＋3）×2d 【点睛】此题主要考查了等式性质的意义及运用。 考点十：应用等式的性质解方程 例题：解方程。 9x＋0.65×12＝19.5     31x－15－13x＝31.8       （4x－4）÷15＝4 【答案】x＝1.3；x＝2.6；x＝16 【分析】9x＋0.65×12＝19.5，先计算出0.65×12的积，再根据等式的性质1，方程两边同时减去0.65×12的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以9即可。 31x－15－13x＝31.8，先化简方程左边含有x的算式，即求出31－13的差，以及根据等式的性质1，方程两边同时加上15，再根据等式的性质2，方程两边同时除以31－13的差即可。 （4x－4）÷15＝4，根据等式的性质2，方程两边同时乘15，再根据等式的性质1，方程两边同时加上4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可。 【详解】9x＋0.65×12＝19.5 解：9x＋7.8＝19.5 9x＋7.8－7.8＝19.5－7.8 9x＝11.7 9x÷9＝11.7÷9 x＝1.3 31x－15－13x＝31.8 解：18x－15＝31.8 18x－15＋15＝31.8＋15 18x＝46.8 18x÷18＝46.8÷18 x＝2.6 （4x－4）÷15＝4 解：（4x－4）÷15×15＝4×15 4x－4＝60 4x－4＋4＝60＋4 4x＝64 4x÷4＝64÷4 x＝16 跟踪练习：解方程。           【答案】x＝0.8；x＝10 x＝2；x＝1.2 【分析】根据等式的性质，方程两边同时除以1.26求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时除以2，再同时加上1.4求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时加上2.6x，左右两边交换位置再同时减去0.15，最后两边同时除以2.6求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时减去7.67，再同时除以4.15求解出x。 【详解】1.26x＝1.008 解：1.26x÷1.26＝1.008÷1.26 x＝0.8 2（x－1.4）＝17.2 解：2（x－1.4）÷2＝17.2÷2 x－1.4＝8.6 x－1.4＋1.4＝8.6＋1.4 x＝10 5.35－2.6x＝0.15 解：5.35－2.6x＋2.6x＝0.15＋2.6x 5.35＝0.15＋2.6x 0.15＋2.6x＝5.35 0.15＋2.6x－0.15＝5.35－0.15 2.6x＝5.2 2.6x÷2.6＝5.2÷2.6 x＝2 4.15x＋7.67＝12.65 解：4.15x＋7.67－7.67＝12.65－7.67 4.15x＝4.98 4.15x÷4.15＝4.98÷4.15 x＝1.2 考点十一：解等号两边都有未知数的方程 例题：解方程。 ①x÷12＝2.4       ②5x＝3x＋6       ③2（8.5＋x）＝30 【答案】①x＝28.8；②x＝3；③x＝6.5 【分析】①方程左右两边同时乘12，求出方程的解； ②方程左右两边同时减去3x，再把方程左右两边同时除以2，求出方程的解； ③先把方程左右两边同时除以2，再把方程左右两边同时减去8.5，求出方程的解。 【详解】①x÷12＝2.4 解：x÷12×12＝2.4×12 x＝28.8 ②5x＝3x＋6 解：5x－3x＝3x＋6－3x 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 ③2（8.5＋x）＝30 解：2（8.5＋x）÷2＝30÷2 8.5＋x＝15 8.5＋x－8.5＝15－8.5 x＝6.5 跟踪练习：解方程。（带★的要写出检验过程） （1）x－97＝34.2          （2）★2x＋1.5x＝17.5          （3）（57－3x）÷2＝8x 【答案】（1）x＝131.2；（2）x＝5；（3）x＝3 【分析】（1）根据等式的性质1，两边同时加上97即可； （2）首先将左边合并为3.5x，然后根据等式的性质2，两边同时除以3.5，最后把求出的方程的解代入原方程，看看等式左边是否等于右边即可； （3）首先根据等式的性质1和2，两边同时乘2，然后两边再同时加上3x，再两边同时除以19，最后交换左右两边的位置即可。 【详解】（1）x－97＝34.2 解：x－97＋97＝34.2＋97 x＝131.2 （2）2x＋1.5x＝17.5 解：3.5x＝17.5 3.5x÷3.5＝17.5÷3.5 x＝5 检验：当x＝5时， 左边 ＝2×5＋1.5×5 ＝10＋7.5 ＝17.5 ＝右边 因为左边＝右边，所以x＝5是方程2x＋1.5x＝17.5的解。 （3）（57－3x）÷2＝8x 解：（57－3x）÷2×2＝8x×2 57－3x＝16x 57－3x＋3x＝16x＋3x 57＝19x 57÷19＝19x÷19 3＝x x＝3 考点十二：方程的检验 例题：解方程，方法巧妙，重检验！ 1.8＝0.972               ÷7.5＝90 9x－40＝5                 3.5x＋1.7x＝31.2 【答案】＝0.54；＝675 ＝5；＝6 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时除以1.8，求出方程的解； （2）方程两边同时乘7.5，求出方程的解； （3）方程两边先同时加上40，再同时除以9，求出方程的解； （4）先把方程化简成5.2＝31.2，然后方程两边同时除以5.2，求出方程的解。 【详解】（1）1.8＝0.972 解：1.8÷1.8＝0.972÷1.8 ＝0.54 检验： 方程左边＝1.8 ＝1.8×0.54 ＝0.972 ＝方程右边 所以，＝0.54是方程的解。 （2）÷7.5＝90 解：÷7.5×7.5＝90×7.5 ＝675 检验： 方程左边＝÷7.5 ＝675÷7.5 ＝90 ＝方程右边 所以，＝675是方程的解。 （3）9－40＝5 解：9－40＋40＝5＋40 9＝45 9÷9＝45÷9 ＝5 检验： 方程左边＝9－40 ＝9×5－40 ＝45－40 ＝5 ＝方程右边 所以，＝5是方程的解。 （4）3.5＋1.7＝31.2 解：5.2＝31.2 5.2÷5.2＝31.2÷5.2 ＝6 检验： 方程左边＝3.5＋1.7 ＝5.2 ＝5.2×6 ＝31.2 ＝方程右边 所以，＝6是方程的解。 跟踪练习：解下列方程。 3.6x＝4.32（检验）        5x－1.4＝54 8x＋7x＝45（检验）        （x＋8）÷1.2＝16 【答案】x＝1.2；x＝11.08   x＝3；x＝11.2 【分析】根据等式的性质： 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等； 方程中含有括号时，把括号看作一个整体，据此解方程即可。 【详解】（1）3.6x＝4.32 解：x＝4.32÷3.6 x＝1.2 检验：方程左边＝3.6x ＝3.6×1.2 ＝4.32 ＝方程右边 所以，x＝1.2是方程3.6x＝4.32的解。 （2）5x－1.4＝54 解：5x＝54＋1.4 5x＝55.4 x＝55.4÷5 x＝11.08 （3）8x＋7x＝45 解：15x＝45 x＝45÷15 x＝3 检验：方程左边＝8x＋7x ＝8×3＋7×3 ＝24＋21 ＝45 ＝方程右边 所以，x＝3是方程8x＋7x＝45的解。 （4）（x＋8）÷1.2＝16 解：x＋8＝16×1.2 x＋8＝19.2 x＝19.2－8 x＝11.2 考点十三：列方程解含有一个未知数的问题 例题：有两根同样长度的铁丝，第一根用去12.3米，第二根用去了47.5米。第一根铁丝余下的长度正好是第二根余下的6.5倍。铁丝原来的长度是多少米？ 【答案】53.9米 【分析】设铁丝原来的长度是x米，第一根用去12.3米，剩下（x－12.3）米；第二根用去了47.5米剩下（x－47.5）米；根据第一根铁丝余下的长度正好是第二根余下的6.5倍，列出方程求解即可。 【详解】解：设铁丝原来的长度是x米 6.5×（x－47.5）＝x－12.3 6.5x－6.5×47.5＝x－12.3 6.5x－308.75＝x－12.3 6.5x－308.75－x＋308.75＝x－12.3－x＋308.75 5.5x＝296.45 5.5x÷5.5＝296.45÷5.5 x＝53.9 答：铁丝原来的长度是53.9米。 跟踪练习：李强和王刚在操场200米的环形跑道上赛跑，李强的速度是4.5米/秒，王刚的速度是6.1米/秒，两人同时从同一起跑线向同一方向跑，经过多少秒两人第一次相遇？ 【答案】125秒 【分析】根据“追及时间＝路程差÷速度差”，设经过x秒两人第一次相遇。则：6.1x－4.5x＝200，解出x即可解答本题。 【详解】解：设经过x秒两人第一次相遇。则： 6.1x－4.5x＝200 1.6x＝200 1.6x÷1.6＝200÷1.6 x＝125 答：经过125秒两人第一次相遇。 考点十四：列方程解含有两个未知数的问题 例题：动物园儿童票价是成人票价的一半。小明和爸爸星期天去动物园玩，爸爸付了20元，还差2.5元。一张成人票和一张儿童票各是多少元？ 【答案】成人票15元，儿童票7.5元 【分析】设一张儿童票x元，根据动物园儿童票价是成人票价的一半，则一张成人票元。由小明和爸爸星期天去动物园玩，爸爸付了20元，还差2.5元可知一张成人票加上一张儿童票共（20＋2.5）元，据此列出方程，解出方程，代入，即可求得此题。 【详解】解：设一张儿童票x元，则一张成人票元。 答：一张成人票15元，一张儿童票7.5元。 跟踪练习：四年级两个班的学生参加植树活动。上午甲班每人种了3棵树，乙班每人种了4棵树，共计269棵；下午甲班每人种4棵树，乙班每人种3棵树，共计263棵。甲、乙两班各有多少人？ 【答案】甲班35人，乙班41人 【详解】解：设甲班有x人，乙班有y人。 上午种树总棵数：3x＋4y＝269 下午种树总棵数：4x＋3y＝263 将两式相加，得： （3x＋4y）＋（4x＋3y）＝269＋263                     7x＋7y＝532                       x＋y＝76 解得：x＝76－y 将x＝76－y代入3x＋4y＝269中，得y＝41 将y＝41代入x＝76－y中，得：x＝35 经检验，符合题意。 答：甲班35人，乙班41人。 【点睛】解决这类两个未知量的实际问题，通过设题目中未知数的数量关系列出二元一次方程组，找到甲、乙两班人数之和，再代入消元求解，体现了消元法在解二元一次方程组中的应用。 考点十五：列方程解决稍复杂的实际问题 例题：红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走。走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红。求他们家到图书馆的距离。 【答案】8.5千米 【分析】根据题意可知，在离家1.5千米处，红红仍然以相同的速度向前行走，明明以每小时6千米的速度返回拿借书卡再追赶红红，明明比红红多走了（1.5×2）千米，两人行走的时间却是相同的。设明明开始返回，直到追上红红，红红行走的路程是x千米，则此时明明行走的路程是（x＋1.5×2）千米，根据红红行走的路程÷速度＝明明行走的路程÷速度，列出方程求出x的值是明明开始返回，红红行走的路程，再加上明明返回时已经走的路程和距离图书馆的距离即可。 【详解】解：设明明开始返回，直到追上红红，红红行走的路程是x千米。 x÷4＝（x＋1.5×2）÷6 x÷4×24＝（x＋3）÷6×24 6x＝（x＋3）×4 6x＝4x＋12 6x－4x ＝4x＋12－4x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 6＋1.5＋1＝8.5（千米） 答：他们家到图书馆的距离是8.5千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 跟踪练习：市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ （2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 【答案】（1）24千米 （2）六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【分析】（1）联络员走的时间就是后队追上前队的时间，设后队出发x小时后追赶上前队，根据后队x小时走的距离＝4千米＋前队x小时走的距离，列方程求解。再用联络员的速度乘追上前队的时间即是联络员走的路程； （2）分三种情况①后队未出发前队出发走了2千米；②后队将要追及上前队之前，距离前队2千米；③后队与前队相遇之后，前队由于速度慢行走在后面，前队后队可能再次相距2千米。 【详解】（1）解：设后队出发x小时后追赶上前队， 6x＝4＋4x 6x－4x＝4＋4x－4x 2x＝4 2x÷2＝4÷2 x＝2 12×2＝24（千米） 答：后队追上前队的时间内，联络员走的路程是24千米。 （2）分三种情况 ①后队未出发前队出发走了2千米，用的时间是2÷4＝0.5（小时） 即六（1）班出发0.5小时，两队相距2千米； ②后队出发还未追及上前队，设后队需y小时两队相距2千米 （6－4）y＝2 2y＝2 2y÷2＝2÷2 y＝1 1＋1＝2（小时） 即六（1）班出发2小时，两队再次相距2千米； ③后队与前队相遇之后，设前队再需z小时，两队相距2千米， （6－4）z＝2 2z＝2 2z÷2＝2÷2 z＝1 1＋2＋1＝4（小时） 即六（1）班出发4小时，两队第三次相距2千米。 答：六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【点睛】本题考查追及问题，速度差×追及时间＝路程差，以及分情况讨论问题的解题方法。 巩固练习 1．下面算式中，（    ）是方程。 A．0.5＝0.5m B．16＋3x C．a＋b＜c D．15＋45＝60 【答案】A 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【详解】A．0.5＝0.5m既是等式，又含有未知数，是方程； B．16＋3x不是等式，也不是方程； C．a＋b＜c不是等式，也不是方程； D．15＋45＝60不含有未知数，不是方程。 故答案为：A 2．下面方程的解与的解不同的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 根据等式的性质解方程，分别求出各选项中的方程与方程的解，即可得解。 【详解】 解： A． 解： 方程的解与的解相同。 B． 解： 方程的解与的解相同。 C． 解： 方程的解与的解不同。 D． 解： 方程的解与的解相同。 故答案为：C 3．甲、乙两工程队铺一条长2400m的公路，他们从两端同时施工，甲队每天铺160m，乙队每天铺140m。几天后能铺完这条公路？如果设x天后铺完这条公路，下列方程错误的是（    ）。 A．160x＝2400＋140x B．160x＝2400－140x C．160x＋140x＝2400 D．（160＋140）x＝2400 【答案】A 【分析】根据题意，设x天后铺完这条公路，甲队每天铺160m，x天修160xm，乙队每天铺140m，x天修140xm，甲队修的米数＋乙队修的米数＝这条路的总长度，根据等量关系判断各选项即可。 【详解】A．160x＝2400＋140x表示甲队修的米数＝这条路的总长度＋乙队修的米数，不符合题意； B．160x＝2400－140x表示甲队修的米数＝这条路的总长度－乙队修的米数，符合题意； C．160x＋140x＝2400表示甲队修的米数＋乙队修的米数＝这条路的总长度，符合题意； D．（160＋140）x＝2400表示（甲队每天修的米数＋乙队每天修的米数）×一共修的天数＝这条路的总长度，符合题意； 所以如果设x天后铺完这条公路，下列方程错误的是160x＝2400＋140x。 故答案为：A 4．妈妈去超市购物，微信的钱包余额为m元，买了12个同样的玻璃杯，每个玻璃杯n元，微信钱包里还剩（    ）元。 A．m－n B．12n C．m－12n D．12（m－n） 【答案】C 【分析】单价×数量＝总价，据此求出12个同样的玻璃杯的总价，再根据减法的意义，用微信的钱包余额减去12个同样的玻璃杯的总价即可。 【详解】m－n×12＝（m－12n）元。 所以微信钱包里还剩（m－12n）元。 故答案为：C 5．小丁和妈妈今年的年龄和是49岁，再过年，他们的年龄和是（    ）岁。 A．49＋ B．49－ C．49＋2 D．49－2 【答案】C 【分析】根据题意，再过年，小丁和妈妈的年龄分别增加岁，即用他们今年的年龄和加上2个，即可求解。 【详解】49＋＋＝（49＋2）岁 再过年，他们的年龄和是（49＋2）岁。 故答案为：C 6．小华有50元，买了支钢笔，每支6元，花了( )元，还剩( )元。 【答案】 6k 50−6k 【分析】根据总价＝单价×数量，用每支钢笔的单价×买钢笔的数量，求出花的钱数；再用小华的钱数－买钢笔的钱数，即可求出剩下的钱数。 【详解】6×k＝6k（元） 小华有50元，买了k支钢笔，每支6元，花了6k元，还剩（50－6k）元。 7．文具盒的价格是n元/个，书包的价格是文具盒的4倍，书包的价格是( )元，一个书包比一个文具盒贵( )元，一个书包和一个文具盒共( )元。 【答案】 4n 3n 5n 【分析】由题意可知，书包的价格＝文具盒的价格×4，数字和字母相乘时中间的乘号可以省略，把数字写在字母的前面，一个书包比一个文具盒贵的钱数＝书包的价格－文具盒的价格，一个书包和一个文具盒的总钱数＝书包的价格＋文具盒的价格，据此解答。 【详解】4n－n＝3n（元） 4n＋n＝5n（元） 分析可知，书包的价格是4n元，一个书包比一个文具盒贵3n元，一个书包和一个文具盒共5n元。 8．果园里梨树有a棵，苹果树的棵数比梨树的3倍少8棵，苹果树有( )棵。 【答案】3a－8 【分析】根据题意，苹果树的棵数比梨树的3倍少8棵，即梨树的棵数×3－8棵，即可求出苹果树的棵数。 【详解】a×3－8＝（3a－8）棵 果园里梨树有a棵，苹果树的棵数比梨树的3倍少8棵，苹果树有（3a－8）棵。 9．甲、乙两地相距千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行60千米，行驶了小时后，距离乙地还剩( )千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩( )千米。 【答案】 s－60t 90 【分析】根据“路程＝速度×时间”，先求出汽车行驶t小时的路程，再用甲、乙两地的总距离S减去已经行驶的路程，就得到距离乙地还剩的路程。然后将s＝300，t＝3.5代入式子计算，据此解答。 【详解】汽车行驶t小时的路程：60×t＝60t（千米） 距离乙地还剩的路程：s－60t（千米）当s＝300，t＝3.5时： 300－60×3.5 ＝300－210 ＝90（千米） 距离乙地还剩s－60t千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩90千米。 10．学校举行乒乓球比赛，分年级进行，每2人之间都要进行一场比赛，五年级共进行了15场比赛，五年级共有( )名同学参赛。 【答案】6 【分析】假设有x名同学参加比赛，每名同学都要与其余的（x－1）名同学比赛一场，共x（x－1）场比赛，这样重复计算了一遍，再除以2是总场数，即x（x－1）÷2＝总场数，则x（x－1）＝总场数×2，据此确定x（x－1）的值，即两个相邻自然数的乘积，进而确定x的值，也就是参赛同学的人数。 【详解】解：设有x名同学参加比赛。 x（x－1）÷2＝15 x（x－1）＝15×2 x（x－1）＝30 因为6×（6－1）＝30，所以x＝6。 五年级共有6名同学参赛。 11．等式两边都乘同一个数，等式成立。( ) 【答案】√ 【分析】等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。 【详解】根据等式性质2可知，等式两边乘同一个数，等式仍然成立。例如，原等式为3＝3，两边乘2后得到6＝6，等式仍然成立；原等式为5＝5，两边乘0后得到0＝0，等式仍然成立。原题说法正确。 故答案为：√ 12．100x＝0，x的值是0，所以此方程没有解。( ) 【答案】× 【分析】使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。先求得方程的解，再做判断即可。 【详解】100x＝0 解：100x÷100＝0÷100 x＝0 方程的解是x＝0，并不是没有解，原题说法错误。 故答案为：× 13．今天上午8时的气温是9℃，中午12时的气温比上午8时高x℃，中午12时的气温是（9＋x）℃。( ) 【答案】√ 【分析】中午12时的气温比上午8时高x℃，那么中午12时的气温就是在上午8时气温的基础上加上高的部分，即中午12时的气温是（9＋x）℃。据此解答。 【详解】由分析得： 今天上午8时的气温是9℃，中午12时的气温比上午8时高x℃，中午12时的气温是（9＋x）℃。这句话的说法是正确的。 故答案为：√ 14．用两个边长都是a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（6a）厘米。( ) 【答案】√ 【分析】 如图，两个正方形拼成一个长方形，长方形的长＝正方形的边长×2，长方形的宽＝正方形的边长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，用字母表示出长方形周长即可。 【详解】（2a＋a）×2＝3a×2＝（6a）厘米 用两个边长都是a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（6a）厘米，说法正确。 故答案为：√ 15．2023年萱萱和妈妈年龄相差a岁，2033年时，妈妈比萱萱大（a＋10）岁。( ) 【答案】× 【分析】不管过去多少年，年龄差是永远不变的，据此解答。 【详解】根据分析可知，2023年萱萱和妈妈年龄相差a岁，2033年时，妈妈比萱萱大a岁。 原题干说法错误。 故答案为：× 16．解方程。 8x＝48    3y＋24＝144     4x－7＝125     1.6＋x＝7.2 【答案】x＝6；y＝40；x＝33；x＝5.6 【分析】（1）根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以8即可； （2）根据等式的性质1，将方程左右两边同时减去24，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以3即可； （3）根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上7，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以4即可； （4）根据等式的性质1，将方程左右两边同时减去1.6即可。 【详解】（1）8x＝48 解：8x÷8＝48÷8 x＝6 （2）3y＋24＝144 解：3y＋24－24＝144－24 3y＝120 3y÷3＝120÷3 y＝40 （3）4x－7＝125 解：4x－7＋7＝125＋7 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 （4）1.6＋x＝7.2 解：1.6＋x－1.6＝7.2－1.6 x＝5.6 17．解方程。 6.8÷x＝2        x－0.75x＝5         0.3×（18－x）＝4.8 【答案】x＝3.4； x＝20； x＝2 【分析】（1）根据除数＝被除数÷商可得：x＝6.8÷2，再进一步计算即可； （2）先把方程的左边化成0.25x，再根据等式的基本性质2给方程两边同时除以0.25即可； （3）先根据等式的基本性质2给方程两边同时除以0.3即可得到18－x的值，再根据减数＝被减数－差求出x的值即可。 【详解】6.8÷x＝2 解：6.8÷x×x＝2×x 2x＝6.8 2x÷2＝6.8÷2 x＝3.4 x－0.75x＝5 解：0.25x＝5 0.25x÷0.25＝5÷0.25 x＝20 0.3×（18－x）＝4.8 解：0.3×（18－x）÷0.3＝4.8÷0.3 18－x＝16 18－x＋x＝16＋x 16＋x＝18 16＋x－16＝18－16 x＝2 18．解方程。 1.9x＝5.7         48－x＝2       2x＋4.8＝5.6       5.8x－4.5x＝3.9 【答案】＝3；＝46；＝0.4；＝3 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时除以1.9，求出方程的解； （2）方程两边先同时加上，再同时减去2，求出方程的解； （3）方程两边先同时减去4.8，再同时除以2，求出方程的解； （4）先把方程化简成1.3＝3.9，然后方程两边同时除以1.3，求出方程的解。 【详解】（1）1.9＝5.7 解：1.9÷1.9＝5.7÷1.9 ＝3 （2）48－＝2 解：48－＋＝2＋ 2＋＝48 2＋－2＝48－2 ＝46 （3）2＋4.8＝5.6 解：2＋4.8－4.8＝5.6－4.8 2＝0.8 2÷2＝0.8÷2 ＝0.4 （4）5.8－4.5＝3.9 解：1.3＝3.9 1.3÷1.3＝3.9÷1.3 ＝3 19．解方程。 2.1÷x＝3           3×（x＋2.1）＝10.5           5x＋3×0.4＝4.5 【答案】x＝0.7；x＝1.4；x＝0.66 【分析】2.1÷x＝3，根据等式的性质2，方程两边同时乘x，再同时除以3即可。 3×（x＋2.1）＝10.5，根据等式的性质2，方程两边同时除以3，再根据等式的性质1，方程两边同时减去2.1即可； 5x＋3×0.4＝4.5，先计算出3×0.4的积，再根据等式的性质1，方程两边同时减去3×0.4的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可。 【详解】2.1÷x＝3 解：2.1÷x×x÷3＝3÷3×x x＝2.1÷3 x＝0.7 3×（x＋2.1）＝10.5 解：3×（x＋2.1）÷3＝10.5÷3 x＋2.1＝3.5 x＋2.1－2.1＝3.5－2.1 x＝1.4 5x＋3×0.4＝4.5 解：5x＋1.2＝4.5 5x＋1.2－1.2＝4.5－1.2 5x＝3.3 5x÷5＝3.3÷5 x＝0.66 20．货车和客车同时从甲乙两地相对开出，经过2小时24分相遇。相遇时，客车比货车多行了19.2千米，已知客车从甲地到乙地要行4小时30分钟，客车和货车的速度各是多少千米？ 【答案】客车：64千米/时；货车：56千米/时 【分析】根据1小时＝60分，先把2小时24分化为2.4小时，4小时30分钟化为4.5小时，设客车的速度是x千米/小时，则甲乙两地的路程为4.5x千米，根据路程÷相遇时间＝速度和，用4.5x÷2.4求出速度和，再用速度和减去x就是货车的速度，相遇时客车走了2.4x千米，货车走了（4.5x÷2.4－x）×2.4千米，再根据相遇时，客车走的路程－货车走的路程＝19.2千米列方程解答即可求出客车的速度，再用4.5x÷2.4减去客车的速度就是货车的速度。 【详解】解：设客车的速度是x千米/小时。 2.4x－（4.5x÷2.4－x）×2.4＝19.2 2.4×（x－4.5x÷2.4＋x）＝19.2 2.4×（2x－1.875x）＝19.2 2.4×（2x－1.875x）÷2.4＝19.2÷2.4 2x－1.875x＝8 0.125x＝8 8×0.125x＝8×8 x＝64 4.5×64÷2.4－64 ＝288÷2.4－64 ＝120－64 ＝56（千米/小时） 答：客车的速度是64千米/小时，货车的速度是56千米/小时。 21．张明、王亮两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。张明的速度是6.5米/秒，王亮的速度是4.5米/秒。经过多少秒张明正好比王亮多跑一圈？（列方程解答） 【答案】200秒 【分析】速度×时间＝路程，设经过x秒张明正好比王亮多跑一圈，根据张明的速度×时间－王亮的速度×时间＝400米，列出方程解答即可。 【详解】解：设经过x秒张明正好比王亮多跑一圈。 6.5x－4.5x＝400 2x＝400 2x÷2＝400÷2 x＝200 答：经过200秒张明正好比王亮多跑一圈。 22．为丰富同学们的校园生活，学校开展了各种社团活动，参加篮球社团的有75人，比象棋社团的2倍还多15人，参加象棋社团的有多少人？（用方程解答） 【答案】30人 【分析】由题意得，参加篮球社团的有75人，比象棋社团的2倍还多15人，据此列出等量关系式为：参加象棋社团的人数×2＋15＝参加篮球社团的人数。设参加象棋社团的人数为未知数，根据等量关系式列出方程并解方程即可。 【详解】解：设参加象棋社团的有x人。 2x＋15＝75 2x＋15－15＝75－15 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 答：参加象棋社团的有30人。 23．立德小学把每年的五月定为劳动月，六一班进行“劳动月积分评比”活动。第一组和第二组共得到了200积分，第一组的积分是第二组的1.5倍。两个组各获得了多少劳动积分？（列方程解答） 【答案】第一组120分；第二组80分 【分析】已知第一组和第二组共得到了200积分，第一组的积分是第二组的1.5倍。那么第一组积分＋第二组积分＝总积分（200积分），且第一组积分＝第二组积分×1.5。设第二组获得的积分为x，则第一组获得的积分为1.5x，根据等量关系可列出方程x＋1.5x＝200。先计算方程的左边，然后根据等式的性质2解出方程，再把数值代入1.5x即可解答。 【详解】解：设第二组的积分是x分。 x＋1.5x＝200 2.5x＝200 x＝200÷2.5 x＝80 80×1.5＝120（分） 答：第一组获得的劳动积分是120分，第二组获得的劳动积分是80分。 24．甲仓库存粮130吨，乙仓库存粮80吨。现在从乙仓库调运粮食到甲仓库，问：乙仓库调运多少吨后，才能使甲仓库的存粮是乙仓库的2倍？ 【答案】10吨 【分析】设从乙仓库调运x吨粮食到甲仓库。调运后，甲仓库的存粮数量为原来的130吨加上调入的x吨，即（130＋x）吨。调运后，乙仓库的存粮数量为原来的80吨减去调出的x吨，即（80－x）吨。已知调运后甲仓库的存粮是乙仓库的2倍，可列方程：130＋x＝2×（80－x），据此解答。 【详解】解：设从乙仓库调运x吨粮食到甲仓库。 130＋x＝2×（80－x） 130＋x＝160－2x 130＋3x＝160 3x＝160－130 3x＝30 x＝30÷3 x＝10 答：乙仓库调运10吨后，才能使甲仓库的存粮是乙仓库的2倍。 25．正义路小学共有1000名学生，为支援“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 【答案】7000本 【分析】由“一半男生每人捐了9本书另一半男生每人捐了5本”，可求出男生平均每人捐了7本；然后由“一半女生每人捐了8本书另一半女生每人捐了6本书”，可求出女生平均每人捐了7本；由此可知不管男女生的比例是多少，全校1000名学生平均每人捐了7本书，进而求得一共捐书的本数即可。 【详解】（9＋5）÷2 ＝14÷2 ＝7（本） （8＋6）÷2 ＝14÷2 ＝7（本） 1000×7＝7000（本） 答：全校学生共捐了7000本书。 26．毕业在即，六年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课教师每人一本纪念，其中送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元，请问，这两种不同留念册的单价分别是多少？ 【答案】同学：12元；任课教师：20元 【分析】设同学留念册的单价是x元，送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元，则任课教师的留念册的单价是（x＋8）元；同学有50位，需要买留念册的钱数是50x元；任课教师有10位，需要买留念册的钱数是10×（x＋8）元；同学留念册的钱数＋任课老师留念册的钱数＝800元，列方程：50x＋10×（x＋8）＝800，解方程，即可解答。 【详解】解：设同学留念册的单价是x元，则任课教师的留念册单价是（x＋8）元。 50x＋10×（x＋8）＝800 50x＋10x＋10×8＝800 60x＋80＝800 60x＋80－80＝800－80 60x＝720 60x÷60＝720÷60 x＝12 任课教室的留念册：12＋8＝20（元） 答：同学留念册的单价是12元，任课老师留念册的单价是20元。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 简易方程 培优精讲 目录 知识梳理 2 知识点一：用字母表示数 2 知识点二：方程的意义 2 知识点三：等式的性质 2 知识点四：解方程 3 知识点五：实际问题与方程 3 知识点六：稍复杂的方程 4 知识点七：易错点与培优技巧 4 考点练习 4 考点一：用字母表示数、数量关系 4 考点二：用字母表运算定律及计算公式 5 考点三：用字母表示稍微复杂的数量关系 5 考点四：含有字母式子的化简与求值 5 考点五：等式的认识及列等量关系式 6 考点六：方程的认识 6 考点七：列简易方程 6 考点八：等式的性质1 7 考点九：等式的性质2 7 考点十：应用等式的性质解方程 7 考点十一：解等号两边都有未知数的方程 8 考点十二：方程的检验 8 考点十三：列方程解含有一个未知数的问题 9 考点十四：列方程解含有两个未知数的问题 9 考点十五：列方程解决稍复杂的实际问题 10 巩固练习 11 知识梳理 知识点一：用字母表示数 意义：用字母可以简明地表示数、数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来方便。 写法规则： 1.字母与字母相乘时，乘号可省略或写作“·”（如a×b=ab或a·b） 2.字母与数字相乘时，数字在前字母在后，乘号省略（如3×x=3x） 3.带分数与字母相乘时，需化为假分数（如1½×a=3/2a） 4.相同字母相乘写成幂的形式（如a×a=a²） 示例： 用字母表示乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 用字母表示长方形面积公式：S=ab（a表示长，b表示宽） 每支铅笔a元，买5支应付：5a元 知识点二：方程的意义 定义：含有未知数的等式叫做方程。 核心要素：①必须是等式 ②必须含有未知数 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不是方程） 示例： 下列式子中是方程的有：3x=18（√）、20-8=12（×）、5y+3＞10（×）、x÷4=2.5（√） 知识点三：等式的性质 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 如：若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 如：若a=b，则ac=bc，a÷c=b÷c（c≠0） 示例： 根据等式性质填空： 若x+5=12，则x+5-5=12-（5）（性质1） 若4x=28，则4x÷4=28÷（4）（性质2） 知识点四：解方程 定义：求方程的解的过程叫做解方程。 基本步骤： 1.写“解”字并注明“：” 2.利用等式性质化简方程（去分母、去括号、移项、合并同类项） 3.求出未知数的值 4.检验（把解代入原方程，看左右两边是否相等） 示例：解方程 3(x-2)=18 解：3(x-2)÷3=18÷3（性质2） x-2=6 x-2+2=6+2（性质1） x=8 检验：左边=3×(8-2)=18，右边=18，左边=右边，所以x=8是方程的解 知识点五：实际问题与方程 解题步骤： 1.审题：找出关键信息，明确已知量和未知量 2.设未知数：一般设所求问题为x（直接设元），复杂问题可间接设元 3.列方程：根据等量关系列出方程 4.解方程并检验 5.答语：完整回答问题 常见等量关系类型： 和差关系：甲+乙=总和，甲-乙=相差数 倍数关系：甲=乙×倍数，甲=乙×倍数+几（或-几） 公式应用：路程=速度×时间，总价=单价×数量 示例： 学校图书馆有故事书280本，比科技书的3倍少20本，科技书有多少本？ 解：设科技书有x本 3x-20=280（等量关系：科技书×3-20=故事书） 3x=300 x=100 答：科技书有100本 知识点六：稍复杂的方程 类型1：含有两步运算的方程（如ax±b=c、a(x±b)=c） 示例：解方程 2x+1.5×2=6 解：2x+3=6 → 2x=3 → x=1.5 类型2：含有两个未知数的方程（如ax+bx=c） 解题关键：根据两个未知数的关系，用一个字母表示另一个字母 示例：苹果和梨共20千克，苹果质量是梨的3倍，苹果和梨各多少千克？ 解：设梨有x千克，则苹果有3x千克 x+3x=20 → 4x=20 → x=5 苹果：3×5=15（千克） 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.字母表示数时，数字与字母相乘遗漏乘号（如x×5写成x5，正确应为5x） 2.解方程时未写“解”字或忘记检验 3.列方程时等量关系错误（如“比乙的2倍多3”写成2x-3，正确应为2x+3） 培优技巧： 1.用“顺向思维”列方程：根据题目叙述直接写出等量关系（如“甲数比乙数的2倍少5”→甲=2乙-5） 2.复杂问题“画图分析”：通过线段图、示意图直观呈现数量关系 3.方程验算“代入法”：将解代入原方程，确保左边=右边 考点练习 考点一：用字母表示数、数量关系 例题：小丽的爸爸今年岁，小丽同学今年岁，年以后，爸爸比小丽大（    ）岁。 A． B． C． D． 跟踪练习：小明有一本他特别喜欢看的故事书，这本书有页，小明每天看5页，看了天，用式子表示还没有看的页数是( )页。 考点二：用字母表运算定律及计算公式 例题：小军把27×（m－0.3）错算成27×m－0.3，他计算的结果与正确结果相差( )。 跟踪练习：用2个边长为a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 考点三：用字母表示稍微复杂的数量关系 例题：一套运动服里有一件上衣和一条裤子，田径队买了12套，共用去m元，如果一件上衣的价钱是n元，那么一条裤子的价钱是（    ）元。 A． B． C． D． 跟踪练习：同学们在“秋收”项目化学习中，化身助农小帮手，帮王伯伯运送吨稻谷，每次运走吨，运了5次。运走了( )吨，“”表示( )。 考点四：含有字母式子的化简与求值 例题：水果店运来a箱苹果，运来的梨比苹果的3倍少8箱。 （1）用含有字母的式子表示运来多少箱梨。 （2）当a＝80时，水果店运来多少箱梨？ 跟踪练习：最早使用字母来表示数的人是16世纪末法国数学家韦达，韦达一生致力于对数学的研究，作出很多重要贡献，后世称他为“代数之父”。请应用代数的知识解决问题：粮油公司第一次运来m车面粉，每车5吨；第二次运来3车面粉，每车n吨。 （1）两次一共运来多少吨面粉？（请用含有字母的式子表示） （2）当m＝6，n＝4时，求两次一共运来多少吨面粉？ 考点五：等式的认识及列等量关系式 例题：用等式表示a比b的3倍少5，下列正确的是（    ）。 A．3b－a＝5 B．a－3b＝5 C．3b＋5＝a D．3a－5＝b 跟踪练习：根据“足球的白色皮比黑色皮的2倍少4块”列出数量关系，错误的是（    ）。 A．黑色皮块数×2－4＝白色皮块数 B．白色皮块数－黑色皮块数×2＝4 C．黑色皮块数×2－白色皮块数＝4 D．黑色皮块数×2＝白色皮块数＋4 考点六：方程的认识 例题：下列式子中，属于方程的是（    ）。 A． B． C． D． 跟踪练习：①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 考点七：列简易方程 例题：小明今年12岁，爸爸年龄比小明的3倍少2岁。设爸爸年龄为x岁，正确的方程是（    ）。 A．x＋2＝12×3 B．3x－2＝12 C．x＝12÷3−2 D．x－12＝3×2 跟踪练习：看图列方程。 方程： 考点八：等式的性质1 例题：3a＋8＝24，在等式的两边都加上b，左右两边仍然相等。( ) 跟踪练习：如果3a＋5＝23，那么3a－7＝( )。 考点九：等式的性质2 例题：如果b＝c，那么b÷10＝c÷( )，b＋( )＝c＋3，bd＝c×( )。 跟踪练习：如果，那么根据等式的性质：( )；2m×d＝（n＋3）×( )。 考点十：应用等式的性质解方程 例题：解方程。 9x＋0.65×12＝19.5     31x－15－13x＝31.8       （4x－4）÷15＝4 跟踪练习：解方程。           考点十一：解等号两边都有未知数的方程 例题：解方程。 ①x÷12＝2.4       ②5x＝3x＋6       ③2（8.5＋x）＝30 跟踪练习：解方程。（带★的要写出检验过程） （1）x－97＝34.2     （2）★2x＋1.5x＝17.5      （3）（57－3x）÷2＝8x 考点十二：方程的检验 例题：解方程，方法巧妙，重检验！ 1.8＝0.972               ÷7.5＝90 9x－40＝5                 3.5x＋1.7x＝31.2 跟踪练习：解下列方程。 3.6x＝4.32（检验）        5x－1.4＝54 8x＋7x＝45（检验）        （x＋8）÷1.2＝16 考点十三：列方程解含有一个未知数的问题 例题：有两根同样长度的铁丝，第一根用去12.3米，第二根用去了47.5米。第一根铁丝余下的长度正好是第二根余下的6.5倍。铁丝原来的长度是多少米？ 跟踪练习：李强和王刚在操场200米的环形跑道上赛跑，李强的速度是4.5米/秒，王刚的速度是6.1米/秒，两人同时从同一起跑线向同一方向跑，经过多少秒两人第一次相遇？ 考点十四：列方程解含有两个未知数的问题 例题：动物园儿童票价是成人票价的一半。小明和爸爸星期天去动物园玩，爸爸付了20元，还差2.5元。一张成人票和一张儿童票各是多少元？ 跟踪练习：四年级两个班的学生参加植树活动。上午甲班每人种了3棵树，乙班每人种了4棵树，共计269棵；下午甲班每人种4棵树，乙班每人种3棵树，共计263棵。甲、乙两班各有多少人？ 考点十五：列方程解决稍复杂的实际问题 例题：红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走。走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红。求他们家到图书馆的距离。 跟踪练习：市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ （2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 巩固练习 1．下面算式中，（    ）是方程。 A．0.5＝0.5m B．16＋3x C．a＋b＜c D．15＋45＝60 2．下面方程的解与的解不同的是（    ）。 A． B． C． D． 3．甲、乙两工程队铺一条长2400m的公路，他们从两端同时施工，甲队每天铺160m，乙队每天铺140m。几天后能铺完这条公路？如果设x天后铺完这条公路，下列方程错误的是（    ）。 A．160x＝2400＋140x B．160x＝2400－140x C．160x＋140x＝2400 D．（160＋140）x＝2400 4．妈妈去超市购物，微信的钱包余额为m元，买了12个同样的玻璃杯，每个玻璃杯n元，微信钱包里还剩（    ）元。 A．m－n B．12n C．m－12n D．12（m－n） 5．小丁和妈妈今年的年龄和是49岁，再过年，他们的年龄和是（    ）岁。 A．49＋ B．49－ C．49＋2 D．49－2 6．小华有50元，买了支钢笔，每支6元，花了( )元，还剩( )元。 7．文具盒的价格是n元/个，书包的价格是文具盒的4倍，书包的价格是( )元，一个书包比一个文具盒贵( )元，一个书包和一个文具盒共( )元。 8．果园里梨树有a棵，苹果树的棵数比梨树的3倍少8棵，苹果树有( )棵。 9．甲、乙两地相距千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行60千米，行驶了小时后，距离乙地还剩( )千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩( )千米。 10．学校举行乒乓球比赛，分年级进行，每2人之间都要进行一场比赛，五年级共进行了15场比赛，五年级共有( )名同学参赛。 11．等式两边都乘同一个数，等式成立。( ) 12．100x＝0，x的值是0，所以此方程没有解。( ) 13．今天上午8时的气温是9℃，中午12时的气温比上午8时高x℃，中午12时的气温是（9＋x）℃。( ) 14．用两个边长都是a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（6a）厘米。( ) 15．2023年萱萱和妈妈年龄相差a岁，2033年时，妈妈比萱萱大（a＋10）岁。( ) 16．解方程。 8x＝48    3y＋24＝144     4x－7＝125     1.6＋x＝7.2 17．解方程。 6.8÷x＝2        x－0.75x＝5         0.3×（18－x）＝4.8 18．解方程。 1.9x＝5.7         48－x＝2       2x＋4.8＝5.6       5.8x－4.5x＝3.9 19．解方程。 2.1÷x＝3           3×（x＋2.1）＝10.5           5x＋3×0.4＝4.5 20．货车和客车同时从甲乙两地相对开出，经过2小时24分相遇。相遇时，客车比货车多行了19.2千米，已知客车从甲地到乙地要行4小时30分钟，客车和货车的速度各是多少千米？ 21．张明、王亮两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。张明的速度是6.5米/秒，王亮的速度是4.5米/秒。经过多少秒张明正好比王亮多跑一圈？（列方程解答） 22．为丰富同学们的校园生活，学校开展了各种社团活动，参加篮球社团的有75人，比象棋社团的2倍还多15人，参加象棋社团的有多少人？（用方程解答） 23．立德小学把每年的五月定为劳动月，六一班进行“劳动月积分评比”活动。第一组和第二组共得到了200积分，第一组的积分是第二组的1.5倍。两个组各获得了多少劳动积分？（列方程解答） 24．甲仓库存粮130吨，乙仓库存粮80吨。现在从乙仓库调运粮食到甲仓库，问：乙仓库调运多少吨后，才能使甲仓库的存粮是乙仓库的2倍？ 25．正义路小学共有1000名学生，为支援“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 26．毕业在即，六年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课教师每人一本纪念，其中送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元，请问，这两种不同留念册的单价分别是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $