第七单元 数学广角——植树问题 培优精讲（知识梳理+4个考点讲练+巩固练习 共36题）-2025-2026学年人教版数学五年级上学期

第七单元 数学广角——植树问题 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一：两端都栽的植树问题 1 知识点二：两端不栽的植树问题 2 知识点三：只栽一端的植树问题 3 知识点四：封闭图形的植树问题 3 知识点五：植树问题的变式应用 4 知识点六：易错点与培优技巧 4 考点练习 5 考点一：两端都栽的植树问题 5 考点二：两端都不栽的植树问题 5 考点三：一端栽一端不栽的植树问题 6 考点四：封闭图形上的植树问题 6 巩固练习 7 知识梳理 知识点一：两端都栽的植树问题 定义：在直线型路线上植树，两端都要栽树的问题。 核心公式： 棵数 = 间隔数 + 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 总长度 = 间隔长度 × 间隔数 公式推导： 假设在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，两端都栽。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5 + 1 = 6（棵） 图示：（树用"△"表示，间隔用"—"表示） △—△—△—△—△—△（共6棵树，5个间隔） 注意事项： 1.区分"总长度"与"间隔数"，间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度。 2.计算时先求间隔数，再根据"两端都栽"加1。 示例： 在一条20米长的小路两侧栽树，每隔4米栽一棵，两端都栽，共需栽多少棵树？ 单侧间隔数 = 20 ÷ 4 = 5（个） 单侧棵数 = 5 + 1 = 6（棵） 两侧总棵数 = 6 × 2 = 12（棵） 知识点二：两端不栽的植树问题 定义：在直线型路线上植树，两端都不栽树的问题（如道路两侧安装路灯，两端不装）。 核心公式： 棵数 = 间隔数 - 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 公式推导： 在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，两端不栽。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5 - 1 = 4（棵） 图示：—△—△—△—△—（共4棵树，5个间隔） 注意事项： 1.与"两端都栽"对比，避免混淆"加1"和"减1"。 2.常见场景：锯木头（次数=段数-1）、爬楼梯（楼层间隔数=楼层数-1）。 示例： 一根木头长15米，要锯成每段3米的小段，需要锯几次？ 段数（间隔数）= 15 ÷ 3 = 5（段） 次数（棵数）= 5 - 1 = 4（次） 知识点三：只栽一端的植树问题 定义：在直线型路线上植树，只在一端栽树（另一端不栽）。 核心公式： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 公式推导： 在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，只栽左端。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5（棵） 图示：△—△—△—△—△（共5棵树，5个间隔） 注意事项： 常见场景：一端靠墙植树、圆形池塘边植树（封闭图形可看作"只栽一端"的特殊情况）。 示例： 一个长方形操场长100米，在长边一侧栽树，从起点开始每隔10米栽一棵，终点不栽，共栽多少棵？ 间隔数 = 100 ÷ 10 = 10（个） 棵数 = 10（棵） 知识点四：封闭图形的植树问题 定义：在封闭图形（如圆形、正方形、三角形）上植树，首尾相接，无起点和终点之分。 核心公式： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 封闭图形周长 ÷ 间隔长度 公式推导： 在周长20米的圆形花坛边植树，每4米栽一棵。 间隔数 = 20 ÷ 4 = 5（个） 棵数 = 5（棵） 图示：△—△—△—△—△（首尾相连，5棵树，5个间隔） 注意事项： 1.封闭图形的"总长度"即周长。 2.与"只栽一端"结论相同，但需注意区分直线型和封闭型的场景描述。 示例： 一个正方形池塘，边长20米，沿池塘边每隔5米栽一棵树，共栽多少棵？ 周长 = 20 × 4 = 80（米） 间隔数 = 80 ÷ 5 = 16（个） 棵数 = 16（棵） 知识点五：植树问题的变式应用 常见类型： 1.锯木头问题：次数 = 段数 - 1（段数=总长度÷每段长度） 2.爬楼梯问题：楼层间隔数 = 到达楼层 - 起始楼层（如从1楼到5楼，间隔数=5-1=4） 3.敲钟问题：间隔数 = 敲钟次数 - 1（如敲6下，间隔数=5，时间=间隔数×每个间隔时长） 示例： 一根木头锯成4段需要6分钟，锯成7段需要几分钟？ 解：锯4段需3次，每次用时6 ÷ 3 = 2（分钟）；锯7段需6次，总时间=6 × 2 = 12（分钟）。 从1楼走到3楼需12秒，照这样速度，从1楼走到6楼需几秒？ 解：1楼到3楼间隔数=2，每层用时12 ÷ 2 = 6（秒）；1楼到6楼间隔数=5，总时间=5 × 6 = 30（秒）。 知识点六：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.混淆公式：两端栽树"加1"与两端不栽"减1"混淆（如将"两端不栽"的棵数误算为间隔数+1）。 2.单位换算错误：总长度单位与间隔长度单位不统一（如总长度用"米"，间隔长度用"厘米"）。 3.封闭图形与直线型混淆：误将封闭图形的棵数计算为"间隔数+1"。 培优技巧： 1.画图法：通过画简单示意图（如用"△"表示树，"—"表示间隔）直观理解棵数与间隔数关系。 2.公式逆用：已知棵数求总长度或间隔长度（如：棵数=间隔数+1 → 间隔数=棵数-1 → 总长度=间隔长度×（棵数-1））。 3.分类讨论：遇到复杂问题（如"一侧栽树，另一侧不栽"），先明确类型（两端栽/不栽），再分步计算。 考点练习 考点一：两端都栽的植树问题 例题：学校运动会开幕式的入场通道长360米，体育老师计划在通道两侧插彩色标杆（用于指引队伍），每相邻两根标杆的间距是4米，且通道的两端都必须插标杆。一共需要准备多少根彩色标杆？ 跟踪练习：一条输电线路原有61根电线杆，每相邻两根电线杆间的距离是50米，经过调整现在只需41根电线杆（两端的电线杆不动）。调整之后每相邻两根电线杆之间的距离应为多少米？ 考点二：两端都不栽的植树问题 例题：和美学校新建了一座游泳池，宽20米。计划均匀的划分出若干条泳道，每条泳道宽2米，泳道间用分道线隔开，需要安装几条分道线？ 跟踪练习：元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 考点三：一端栽一端不栽的植树问题 例题：在学校教学楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成6排，每排6盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？ 跟踪练习：走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？ 考点四：封闭图形上的植树问题 例题：李叔叔在自家正方形菜地的边缘规划了三层环形种植区，用于种植不同蔬菜。最外层 4条边上每边种25棵白菜，第二层4条边上每边种15棵萝卜，最内层4条边上每边种5棵青菜。这三层种植区一共种了多少棵蔬菜？ 跟踪练习：王爷爷在自家圆形菜地的边缘等距离地搭了40个豇豆架（用于豇豆攀爬生长）。现在他打算拆除豇豆架，在菜地边缘改种茄子苗，每隔6米种一棵，一共种了60棵茄子苗。原来相邻两个豇豆架之间的距离是多少米？ 巩固练习 1．在一个边长为40米的正方形广场的3条边上栽树，若相邻两棵树的距离都为5米，则最多需要栽（    ）棵树。 A．21 B．23 C．25 D．28 2．公园管理处准备在新建的月潭周围栽上一圈柳树，月潭的周长是330米，计划栽种55棵垂柳，每相邻的两棵垂柳之间距离相等，相邻的垂柳相距（    ）米。 A．6.1 B．6.2 C．5.9 D．6 3．一个正方形花坛四周均匀地栽了128株郁金香，4个角上各栽了一株，花坛每条边上栽了（    ）株。 A．32 B．33 C．34 D．36 4．公交公司10路车早上7：00发第一班车，以后每隔半小时发一班车，最后一班车是晚上8：00，那么10路车一天共发了（    ）班车。 A．13 B．25 C．26 D．27 5．国家大力提倡“公交优先”策略，倡导市民绿色出行，某城市7号公交车行驶的是环形路线，从始发站到终点站共有13个车站（始发站与终点站为同一站），每两个车站间的平均距离是1千米，7号公交车行驶的环形路线长（    ）千米。 A．11 B．12 C．13 D．14 6．“菜园周边作物绕，一棵玉米两棵豆，菜地一周一百二，四米一棵全栽好，老农算产心欢喜，可知大豆多少棵？”根据这首诗，可以求出大豆有( )棵。 7．在一段长1000米的马路的两侧栽树，两端都栽，每相邻两棵树的间距是5米，一共可以栽( )棵。 8．在一条5千米的小路一旁栽树，每隔10米栽一棵树，如果两端不栽，要栽 棵树，如果一端栽，要栽 棵树，如果两端都栽，要栽 棵树。 9．甲、乙两人在一栋十几层楼的高楼中的某一层，甲向上走，每秒走2级楼梯，乙向下走，每秒走3级楼梯，两人同时出发，结果两人同时到达顶层和底层。已知这栋高楼的每一层之间的楼梯都是18级，他们在这栋楼的第( )层出发。 10．小明家住在6楼，他和爸爸从4楼开始玩“剪刀、石头、布”的游戏上楼，规定每次获胜者可以上3级台阶，输的人就得下1级台阶，当玩到第20次时，爸爸和小明都从4楼上到了6楼，那么这两层之间有( )个台阶。 11．校园活动：五年级20名同学坐在老师画好的圆形场地外围玩“丢手绢”的游戏。刚开始的时候，每相邻两人之间的距离是2米。玩了一会后，有12名同学被淘汰，剩下的同学继续玩。在不改变圆形场地的大小，且每相邻两人之间的距离依旧相等的情况下，每相邻两人之间的距离应该改为( )米。 12．某市公路自行车比赛全程30千米，平均每2.5千米设置一处服务点（起点不设，终点设），全程一共设有( )处这样的服务点。 13．丽丽乘电梯回家（中途不停），从1楼到3楼共花了6秒钟。照这样计算，到9楼共需( )秒钟。当她到达她家所在的楼层时，刚好花了1分钟，她家住在( )楼。 14．在公路两旁共栽100棵树，两头都栽，相邻两棵树之间的距离是4米，这条公路长396米。( ) 15．小明爬一层楼用20秒，他从1楼到7楼要用2分钟。( ) 16．同学们在操场上围成一个正方形玩游戏，每边有14名同学（四个顶点各有一个同学）。一共有52名同学。( ) 17．刘伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是150m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽15棵。( ) 18．“5路”公共汽车行驶路线全长12千米，如果每相邻两站之间的路程都是1千米。则需设有13个车站。( ) 19．一条路长300米，同学们在树的两边栽树，起点和终点都栽，一共栽了62棵，每两棵树之间相隔多少米？ 20．一条笔直公路的一侧原来每隔60米放一个垃圾桶，一共要放41个。现在要改为每隔50米放一个，一共要放多少个垃圾桶？（两端都要放） 21．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？ 22．为迎接春节的到来，黄梅县政府在长1200米的某路段两侧挂满中国红灯笼（两端都挂），相邻两个红灯笼之间相距30米，该路段一共挂了多少个红灯笼？ 23．在迎宾大道上，每两个路灯之间的距离都是45米。小明从第一根灯柱开始走，共数了28根灯柱（单侧），小明走了多少米？如果再往前走585米，小明共能数多少根灯柱？ 24．在一个长为80米，宽为50米的长方形水池的四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵树之间的距离是5米，一共要栽多少棵树？ 25．在一条长150米的大路两边各栽一行树，起点和终点都栽，相邻两棵树之间的距离相等，一共栽了102棵，相邻两棵之间的距离为多少米？ 26．笔直的跑道一旁插有25面小旗，它们的间隔是2米。现在要改为只插17面小旗（两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 27．池塘的四周栽了一些树，小明和小红沿同一方向绕池塘散步，边走边数树的棵数。由于两个人出发地点不同，因此小明数的第20棵树是小红数的第7棵树；小明数的第7棵树是小红数的第34棵树。那么池塘四周一共栽了多少棵树？ 28．五（4）班有60名学生，分两纵队去打疫苗，每两名同学间的距离为一米，这个队伍长多少米？有一队医务人员来支援，为加快打疫苗的进程，现需把学生分为四列，每列有几名同学，这个队伍现在长多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 数学广角——植树问题 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一：两端都栽的植树问题 1 知识点二：两端不栽的植树问题 2 知识点三：只栽一端的植树问题 3 知识点四：封闭图形的植树问题 3 知识点五：植树问题的变式应用 4 知识点六：易错点与培优技巧 4 考点练习 5 考点一：两端都栽的植树问题 5 考点二：两端都不栽的植树问题 6 考点三：一端栽一端不栽的植树问题 6 考点四：封闭图形上的植树问题 7 巩固练习 8 知识梳理 知识点一：两端都栽的植树问题 定义：在直线型路线上植树，两端都要栽树的问题。 核心公式： 棵数 = 间隔数 + 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 总长度 = 间隔长度 × 间隔数 公式推导： 假设在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，两端都栽。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5 + 1 = 6（棵） 图示：（树用"△"表示，间隔用"—"表示） △—△—△—△—△—△（共6棵树，5个间隔） 注意事项： 1.区分"总长度"与"间隔数"，间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度。 2.计算时先求间隔数，再根据"两端都栽"加1。 示例： 在一条20米长的小路两侧栽树，每隔4米栽一棵，两端都栽，共需栽多少棵树？ 单侧间隔数 = 20 ÷ 4 = 5（个） 单侧棵数 = 5 + 1 = 6（棵） 两侧总棵数 = 6 × 2 = 12（棵） 知识点二：两端不栽的植树问题 定义：在直线型路线上植树，两端都不栽树的问题（如道路两侧安装路灯，两端不装）。 核心公式： 棵数 = 间隔数 - 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 公式推导： 在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，两端不栽。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5 - 1 = 4（棵） 图示：—△—△—△—△—（共4棵树，5个间隔） 注意事项： 1.与"两端都栽"对比，避免混淆"加1"和"减1"。 2.常见场景：锯木头（次数=段数-1）、爬楼梯（楼层间隔数=楼层数-1）。 示例： 一根木头长15米，要锯成每段3米的小段，需要锯几次？ 段数（间隔数）= 15 ÷ 3 = 5（段） 次数（棵数）= 5 - 1 = 4（次） 知识点三：只栽一端的植树问题 定义：在直线型路线上植树，只在一端栽树（另一端不栽）。 核心公式： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度 公式推导： 在10米长的小路一边植树，每2米栽一棵，只栽左端。 间隔数 = 10 ÷ 2 = 5（个） 棵数 = 5（棵） 图示：△—△—△—△—△（共5棵树，5个间隔） 注意事项： 常见场景：一端靠墙植树、圆形池塘边植树（封闭图形可看作"只栽一端"的特殊情况）。 示例： 一个长方形操场长100米，在长边一侧栽树，从起点开始每隔10米栽一棵，终点不栽，共栽多少棵？ 间隔数 = 100 ÷ 10 = 10（个） 棵数 = 10（棵） 知识点四：封闭图形的植树问题 定义：在封闭图形（如圆形、正方形、三角形）上植树，首尾相接，无起点和终点之分。 核心公式： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 封闭图形周长 ÷ 间隔长度 公式推导： 在周长20米的圆形花坛边植树，每4米栽一棵。 间隔数 = 20 ÷ 4 = 5（个） 棵数 = 5（棵） 图示：△—△—△—△—△（首尾相连，5棵树，5个间隔） 注意事项： 1.封闭图形的"总长度"即周长。 2.与"只栽一端"结论相同，但需注意区分直线型和封闭型的场景描述。 示例： 一个正方形池塘，边长20米，沿池塘边每隔5米栽一棵树，共栽多少棵？ 周长 = 20 × 4 = 80（米） 间隔数 = 80 ÷ 5 = 16（个） 棵数 = 16（棵） 知识点五：植树问题的变式应用 常见类型： 1.锯木头问题：次数 = 段数 - 1（段数=总长度÷每段长度） 2.爬楼梯问题：楼层间隔数 = 到达楼层 - 起始楼层（如从1楼到5楼，间隔数=5-1=4） 3.敲钟问题：间隔数 = 敲钟次数 - 1（如敲6下，间隔数=5，时间=间隔数×每个间隔时长） 示例： 一根木头锯成4段需要6分钟，锯成7段需要几分钟？ 解：锯4段需3次，每次用时6 ÷ 3 = 2（分钟）；锯7段需6次，总时间=6 × 2 = 12（分钟）。 从1楼走到3楼需12秒，照这样速度，从1楼走到6楼需几秒？ 解：1楼到3楼间隔数=2，每层用时12 ÷ 2 = 6（秒）；1楼到6楼间隔数=5，总时间=5 × 6 = 30（秒）。 知识点六：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.混淆公式：两端栽树"加1"与两端不栽"减1"混淆（如将"两端不栽"的棵数误算为间隔数+1）。 2.单位换算错误：总长度单位与间隔长度单位不统一（如总长度用"米"，间隔长度用"厘米"）。 3.封闭图形与直线型混淆：误将封闭图形的棵数计算为"间隔数+1"。 培优技巧： 1.画图法：通过画简单示意图（如用"△"表示树，"—"表示间隔）直观理解棵数与间隔数关系。 2.公式逆用：已知棵数求总长度或间隔长度（如：棵数=间隔数+1 → 间隔数=棵数-1 → 总长度=间隔长度×（棵数-1））。 3.分类讨论：遇到复杂问题（如"一侧栽树，另一侧不栽"），先明确类型（两端栽/不栽），再分步计算。 考点练习 考点一：两端都栽的植树问题 例题：学校运动会开幕式的入场通道长360米，体育老师计划在通道两侧插彩色标杆（用于指引队伍），每相邻两根标杆的间距是4米，且通道的两端都必须插标杆。一共需要准备多少根彩色标杆？ 【答案】182根 【分析】两端都栽的植树问题，棵数比间隔数多1，根据“间隔数＝总长÷间距”求出通道一侧的间隔数，再加上1求出通道一侧彩色标杆的数量，最后乘2求出通道两侧需要彩色标杆的总数量，据此解答。 【详解】（360÷4＋1）×2 ＝（90＋1）×2 ＝91×2 ＝182（根） 答：一共需要准备182根彩色标杆。 跟踪练习：一条输电线路原有61根电线杆，每相邻两根电线杆间的距离是50米，经过调整现在只需41根电线杆（两端的电线杆不动）。调整之后每相邻两根电线杆之间的距离应为多少米？ 【答案】75米 【分析】本题属于两端都栽的植树问题，间隔数＝棵数－1，先根据“总长＝间距×间隔数”求出这条输电线路的总长度，再根据“间距＝总长÷间隔数”求出现在两根电线杆之间的距离，据此解答。 【详解】（61－1）×50 ＝60×50 ＝3000（米） 3000÷（41－1） ＝3000÷40 ＝75（米） 答：调整之后每相邻两根电线杆之间的距离应为75米。 考点二：两端都不栽的植树问题 例题：和美学校新建了一座游泳池，宽20米。计划均匀的划分出若干条泳道，每条泳道宽2米，泳道间用分道线隔开，需要安装几条分道线？ 【答案】 9条 【分析】用游泳池总宽度除以每条泳道宽度，即可求出10条泳道数量；分道线用于分隔相邻泳道，因此分道线数量为泳道数减1，据此解答。 【详解】（条） （条） 答：需要安装9条分道线。 跟踪练习：元旦到了，学校准备开元旦联欢会。计划在相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），要求每相邻两个红灯笼之间的距离相等，那么相邻两个红灯笼之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】根据题意，相距100米的两栋教学楼间拉一条彩条，挂19个红灯笼（两端不挂），属于植树问题中两端都不栽的情况，则间隔数＝棵数＋1，即19个红灯笼有（19＋1）个间隔；再用两栋教学楼的距离除以间隔数，求出相邻两个红灯笼之间的距离。 【详解】100÷（19＋1） ＝100÷20 ＝5（米） 答：相邻两个红灯笼之间的距离是5米。 考点三：一端栽一端不栽的植树问题 例题：在学校教学楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成6排，每排6盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？ 【答案】红花60盆；黄花48盆 【分析】根据题意可知方阵是一个正方形的方阵，一个方阵的花盆总数＝每排盆数×排数，求出每个方阵的总盆数，再利用方阵最外层四周盆数＝（每排盆数－1）×4计算出一个方阵最外层四周红花的盆数，然后作差求出一个方阵黄花的盆数，再分别乘3求出3个方阵两种颜色的花各多少盆即可。 【详解】6×6＝36（盆） （6－1）×4 ＝5×4 ＝20（盆） 36－20＝16（盆） 20×3＝60（盆） 16×3＝48（盆） 答：一共要准备红花60盆，黄花48盆。 跟踪练习：走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？ 【答案】240秒 【分析】从1楼走到5楼，需要走（5－1）层楼梯，用120÷（5－1），求出走1层楼梯需要的时间；从1楼走的9楼，需要走（9－1）层楼梯，用走1层楼梯需要的时间×（9－1），即可解答。 【详解】120÷（5－1）×（9－1） ＝120÷4×8 ＝30×8 ＝240（秒） 答：小刚走到自己家所在楼层共需要240秒。 考点四：封闭图形上的植树问题 例题：李叔叔在自家正方形菜地的边缘规划了三层环形种植区，用于种植不同蔬菜。最外层 4条边上每边种25棵白菜，第二层4条边上每边种15棵萝卜，最内层4条边上每边种5棵青菜。这三层种植区一共种了多少棵蔬菜？ 【答案】168棵 【分析】用正方形每边棵数×4，重复计算了4个顶点的棵数，因此正方形每边棵数×4－4＝每层棵数，据此分别计算出三层的棵数，相加即可。 【详解】25×4－4 ＝100－4 ＝96（棵） 15×4－4 ＝60－4 ＝56（棵） 5×4－4 ＝20－4 ＝16（棵） 96＋56＋16＝168（棵） 答：这三层种植区一共种了168棵蔬菜。 跟踪练习：王爷爷在自家圆形菜地的边缘等距离地搭了40个豇豆架（用于豇豆攀爬生长）。现在他打算拆除豇豆架，在菜地边缘改种茄子苗，每隔6米种一棵，一共种了60棵茄子苗。原来相邻两个豇豆架之间的距离是多少米？ 【答案】9米 【分析】封闭图形里植树，棵数＝段数，茄子苗的间距×段数＝菜地周长，菜地周长÷豇豆架的个数＝豇豆架的间距，据此列式解答。 【详解】6×60÷40 ＝360÷40 ＝9（米） 答：原来相邻两个豇豆架之间的距离是9米。 巩固练习 1．在一个边长为40米的正方形广场的3条边上栽树，若相邻两棵树的距离都为5米，则最多需要栽（    ）棵树。 A．21 B．23 C．25 D．28 【答案】C 【分析】计算每条边（边长40米，间距5米）包含顶点时的栽树数量，并且要确定3条边的组合（包含两个相邻顶点），计算总数量。 【详解】根据植树问题中“两端都栽树时，棵数＝间隔数＋1”以及已知条件正方形边长为40米，相邻两棵树距离5米得知间隔数为40÷5＝8（个）。所以一条边（包含两个端点）能栽树的数量为8＋1＝9（棵）。 已知每条边能栽9棵树，而3条边直接相乘可得到不考虑顶点重复情况下的总棵数：9×3＝27（棵）。 正方形3条边栽树时，会有2个顶点处的树被重复计算，每个重复顶点的树多算1次，所以需要减去重复的2棵树：27－2＝25（棵）。 故答案为：C。 【点睛】解决这类在多边形边上栽树且求最多数量的问题，关键是让尽可能多的顶点栽树，利用“两端都栽树时，棵数＝间隔数＋1”的规律，同时注意顶点处树的重复情况，通过合理选择边并调整重复计算的部分来得到结果。 2．公园管理处准备在新建的月潭周围栽上一圈柳树，月潭的周长是330米，计划栽种55棵垂柳，每相邻的两棵垂柳之间距离相等，相邻的垂柳相距（    ）米。 A．6.1 B．6.2 C．5.9 D．6 【答案】D 【分析】分析题目，封闭路线植树问题：棵数＝段数，据此用月潭的周长除以栽的棵数即可得到相邻的两棵树之间的距离。 【详解】330÷55＝6（米） 公园管理处准备在新建的月潭周围栽上一圈柳树，月潭的周长是330米，计划栽种55棵垂柳，每相邻的两棵垂柳之间距离相等，相邻的垂柳相距6米。 故答案为：D 3．一个正方形花坛四周均匀地栽了128株郁金香，4个角上各栽了一株，花坛每条边上栽了（    ）株。 A．32 B．33 C．34 D．36 【答案】B 【分析】4个角上各栽了一株，也就是每个角上的郁金香都被相邻的两个边上都计算了一次，据此用郁金香的总株数加上4，再除以4即可求解。 【详解】（128＋4）÷4 ＝132÷4 ＝33（株） 则一个正方形花坛四周均匀地栽了128株郁金香，4个角上各栽了一株，花坛每条边上栽了33株。 故答案为：B 4．公交公司10路车早上7：00发第一班车，以后每隔半小时发一班车，最后一班车是晚上8：00，那么10路车一天共发了（    ）班车。 A．13 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】先把早上7：00换算成24时计时法即7时，晚上8：00换算成24时计时法即20时；已知每隔半小时发一班车，那么1小时发2班车，看7时到20时有几小时，就有几个2，再加上第一班车，就是一天共发几班车。 【详解】早晨7时＝7时，晚上8时＝20时。 20－7＝13（小时） 1小时＝60分 60÷30＝2（班） 2×13＋1 ＝26＋1 ＝27（班） 10路车一天共发了27班车。 故答案为：D 5．国家大力提倡“公交优先”策略，倡导市民绿色出行，某城市7号公交车行驶的是环形路线，从始发站到终点站共有13个车站（始发站与终点站为同一站），每两个车站间的平均距离是1千米，7号公交车行驶的环形路线长（    ）千米。 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】因为始发站与终点站为同一站，所以这个环形路线也就是“封闭型”植树问题：不管要种树的区域是圆形，正方形还是长方形，车站数＝间隔数；用间隔数乘1可以计算出整条环形路线的长度，据此解答。 【详解】根据分析： 13×1＝13（千米） 所以7号公交车行驶的环形路线长13千米。 故答案为：C 6．“菜园周边作物绕，一棵玉米两棵豆，菜地一周一百二，四米一棵全栽好，老农算产心欢喜，可知大豆多少棵？”根据这首诗，可以求出大豆有( )棵。 【答案】20 【分析】在封闭图形上植树，棵数等于间隔数，先根据“间隔数＝总长÷间距”求出玉米和大豆的总棵数，把一棵玉米两棵豆看作一组，用除法求出总棵数里面有几组，最后乘一组里面大豆的棵数，据此解答。 【详解】120÷4＝30（棵） 30÷（1＋2）×2 ＝30÷3×2 ＝10×2 ＝20（棵） 所以，大豆有20棵。 7．在一段长1000米的马路的两侧栽树，两端都栽，每相邻两棵树的间距是5米，一共可以栽( )棵。 【答案】402 【分析】两端都栽，则棵数＝段数＋1，据此先求出马路一侧的棵数，再乘2即可求解。 【详解】1000÷5＋1 ＝200＋1 ＝201（棵） 201×2＝402（棵） 在一段长1000米的马路的两侧栽树，两端都栽，每相邻两棵树的间距是5米，一共可以栽402棵。 8．在一条5千米的小路一旁栽树，每隔10米栽一棵树，如果两端不栽，要栽 棵树，如果一端栽，要栽 棵树，如果两端都栽，要栽 棵树。 【答案】 499 500 501 【分析】我们要在单位统一的情况下运用对应的栽树涉及到的变量进行关系转化，不同栽树情况对应不同的公式。间隔数＝总长÷间隔距离；两端不栽：棵数＝间隔数－1；一端栽：棵数＝间隔数；两端都栽：棵数＝间隔数＋1。 【详解】首先统一单位：5千米＝5000米 然后计算间隔数：因为每隔10米载一棵树，所以间隔数为：5000÷10＝500（个） 再根据实际栽树情况，如果两端都不栽，棵数＝间隔数－1，即棵数＝500－1＝499（棵）；如果一端栽，则棵数＝间隔数＝500棵；如果两端都栽，则棵数＝间隔数＋1，即棵数＝500＋1＝501（棵） 【点睛】无论哪种栽树情况，间隔数都是连接 “总长、间隔距离” 与 “棵数” 的桥梁，先算间隔数，再结合规则算棵数，思路更清晰。 9．甲、乙两人在一栋十几层楼的高楼中的某一层，甲向上走，每秒走2级楼梯，乙向下走，每秒走3级楼梯，两人同时出发，结果两人同时到达顶层和底层。已知这栋高楼的每一层之间的楼梯都是18级，他们在这栋楼的第( )层出发。 【答案】7或10 【分析】根据时间相等列出方程，利用总台阶数÷每秒走楼梯级数＝所用时间，则甲到顶层所用时间＝（总楼层数－出发楼层数）×每一层之间的楼梯级数÷甲每秒走楼梯级数；乙到底层所用时间＝（出发楼层数－1）×每一层之间的楼梯级数÷乙每秒走楼梯级数，整理出总楼层数和出发楼层数的关系，通过两者皆为整数，并且楼层数在11—19之间即可求出结果。 【详解】设出发楼层数为层，楼一共有层，题中描述这栋楼为十几层楼的高楼，则； 甲到顶层需走楼梯级数为，时间为； 乙到底层需走楼梯级数为，时间为； 两人所花时间相同则，化简为，即（层）； 因为和均为整数，且，那么： 当时，（层），即他们在这栋楼的第7层出发； 或当时，（层），即他们在这栋楼的第10层出发。 综上可知，他们在这栋楼的第7或10层出发。 【点睛】涉及到这种两人在多层建筑中同时出发，一个向上走，一个向下走，最终同时到达顶层或是底层，需要结合楼层间隔数，每层楼梯层数等信息，通过时间相等或是其他等量关系求出出发楼层数。 10．小明家住在6楼，他和爸爸从4楼开始玩“剪刀、石头、布”的游戏上楼，规定每次获胜者可以上3级台阶，输的人就得下1级台阶，当玩到第20次时，爸爸和小明都从4楼上到了6楼，那么这两层之间有( )个台阶。 【答案】20 【分析】由题意可知，当玩到第20次时，爸爸和小明都从4楼上到了6楼，则他们每玩一次都要上2个台阶，20次共上40个台阶，再除以2就是两层之间的台阶个数。 【详解】（3－1）×20 ＝2×20 ＝40（个） 40÷2＝20（个） 这两层之间有20个台阶。 【点睛】本题主要考查了植树问题，解答本题的关键是理解每玩一次要上2个台阶。 11．校园活动：五年级20名同学坐在老师画好的圆形场地外围玩“丢手绢”的游戏。刚开始的时候，每相邻两人之间的距离是2米。玩了一会后，有12名同学被淘汰，剩下的同学继续玩。在不改变圆形场地的大小，且每相邻两人之间的距离依旧相等的情况下，每相邻两人之间的距离应该改为( )米。 【答案】5 【分析】根据封闭图形的植树问题，“棵数＝间隔数”可知，20名同学围成一圈，那么就有20个间隔；根据“间距×间隔数＝全长”，求出这个圆形场地的周长；淘汰12名同学，还剩下20－12＝8（名）同学，此时有8个间隔，根据“全长÷间隔＝间距”，即可求出每相邻两人之间的距离应该改为多少米。 【详解】（20×2）÷（20－12） ＝40÷8 ＝5（米） 每相邻两人之间的距离应该改为5米。 12．某市公路自行车比赛全程30千米，平均每2.5千米设置一处服务点（起点不设，终点设），全程一共设有( )处这样的服务点。 【答案】12 【分析】根据植树问题，一端点植树则间隔数等于服务点数，用除法计算间隔数即可得解。 【详解】（处） 某市公路自行车比赛全程30千米，平均每2.5千米设置一处服务点（起点不设，终点设），全程一共设有12处这样的服务点。 13．丽丽乘电梯回家（中途不停），从1楼到3楼共花了6秒钟。照这样计算，到9楼共需( )秒钟。当她到达她家所在的楼层时，刚好花了1分钟，她家住在( )楼。 【答案】 24 21 【分析】从1楼到3楼，只需要乘坐电梯上2层楼，间隔数是2，花了6秒，用6÷2＝3秒，乘坐电梯上升一次楼梯需要3秒，从1楼到9楼，有（9－1）层楼梯，用乘电梯上升一层楼梯需要的时间×（9－1），即求出需要的时间；1分钟＝60秒；用60除以电梯上升一层楼梯需要的时间，求出间隔数，再加1，即可求出丽丽家住的楼层。 【详解】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（秒） 3×（9－1） ＝3×8 ＝24（秒） 1分钟＝60秒 60÷3＋1 ＝20＋1 ＝21（楼） 丽丽乘电梯回家（中途不停），从1楼到3楼共花了6秒钟。照这样计算，到9楼共需24秒钟。当她到达她家所在的楼层时，刚好花了1分钟，她家住在21楼。 14．在公路两旁共栽100棵树，两头都栽，相邻两棵树之间的距离是4米，这条公路长396米。( ) 【答案】× 【分析】栽树总棵数除以2即可算出公路的一边栽树（100÷2）棵，两端都要栽树，则植树棵数＝间隔数＋1，间隔数＝植树棵数－1，有（100÷2－1）个间隔，每相邻两棵树之间的距离乘间隔数即可算出这条公路有多长。 【详解】100÷2－1 ＝50－1 ＝49（个） 49×4＝196（米） 这条公路长196米，原题说法错误。 故答案为：× 15．小明爬一层楼用20秒，他从1楼到7楼要用2分钟。( ) 【答案】√ 【分析】根据植树原理，小明从1楼爬到7楼，实际他爬了6层楼，乘他爬一层楼的时间，可得出答案。 【详解】小明从1楼爬到7楼用时： （秒）＝2分钟，则题干表述正确。 故答案为：√ 16．同学们在操场上围成一个正方形玩游戏，每边有14名同学（四个顶点各有一个同学）。一共有52名同学。( ) 【答案】√ 【分析】每边14名学生，正方形一共4条边，则就是有56名同学。但是每一个顶点的同学多算了一次。则总人数＝每边的人数×边数－顶点数。 【详解】14×4－4 ＝56－4 ＝52（名） 故答案为：√ 17．刘伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是150m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽15棵。( ) 【答案】√ 【分析】在圆形池塘周围栽树时，相当于一端植树一端不植树，则植树棵数＝间隔数，用池塘的周长÷两棵树间隔＝间隔数，据此求出栽树的棵数，再进行比较，即可解答。 【详解】150÷10＝15（棵） 刘伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是150m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽15棵。 原题干说法正确。 故答案为：√ 18．“5路”公共汽车行驶路线全长12千米，如果每相邻两站之间的路程都是1千米。则需设有13个车站。( ) 【答案】√ 【分析】本题属于“两端都栽”的植树问题，车站的数量＝段数＋1。据此用12除以1求出分成的段数，再加上1即可求出需设车站的数量。 【详解】12÷1＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 则需设有13个车站。原题说法正确。 故答案为：√ 19．一条路长300米，同学们在树的两边栽树，起点和终点都栽，一共栽了62棵，每两棵树之间相隔多少米？ 【答案】10米． 【详解】试题分析：起点和终点都栽属于两端都栽的植树问题，间隔数=植树棵数﹣1，两边一共栽了62棵树，那么一边就是栽了62÷2=31棵树；由此可得一边有31﹣1=30个间隔，由此可以求得间隔距离为：300÷30=10米． 解：300÷（62÷2﹣1） =300÷30 =10（米） 答：每两棵树之间相隔10米． 【点评】植树问题中，两端都要栽的情况：间隔数=植树棵数﹣1；根据题干，先求得路一边的植树棵数是本题的关键． 20．一条笔直公路的一侧原来每隔60米放一个垃圾桶，一共要放41个。现在要改为每隔50米放一个，一共要放多少个垃圾桶？（两端都要放） 【答案】49个 【分析】从头到尾每隔60米放一个垃圾桶，两端都要放，间隔数等于放的垃圾桶的数量减1，先用相邻物体之间的距离×间隔数，求出这条笔直公路的全长，再用总长除以改过后的间隔距离，求出间隔数，再加1即可一共要放垃圾桶的数量。 【详解】60×（41－1） ＝60×40 ＝2400（米） 2400÷50＋1 ＝48＋1 ＝49（个） 答：一共要放49个垃圾桶。 【点睛】此题的关键是根据植树问题解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 21．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】64名 【分析】根据题意，方阵最外层共有28名同学，最外层每条边上4个点上的人员是重复的，即最外层人数＝每边人数×4－4，代入数据先求出每边的人数，再根据实心方阵总人数＝每边人数×每边人数，代入数据求解即可。 【详解】（28＋4）÷4 ＝32÷4 ＝8（名） 8×8＝64（名） 答：整个方阵一共有64名学生。 【点睛】本题考查方阵问题，掌握方阵的特点及公式的灵活运用是解题的关键。 22．为迎接春节的到来，黄梅县政府在长1200米的某路段两侧挂满中国红灯笼（两端都挂），相邻两个红灯笼之间相距30米，该路段一共挂了多少个红灯笼？ 【答案】82个 【分析】先求出1200里面有几个30，即求出间隔数，再用间隔数加1求出一侧挂灯笼的个数，最后乘2求出两边一共挂灯笼的个数。 【详解】（1200÷30＋1）×2 ＝（40＋1）×2 ＝41×2 ＝82（个） 答：该路段一共挂了82个红灯笼。 【点睛】本题问题原型是考查植树问题，植树问题中，两端都要栽的情况：植树棵数＝间隔数＋1。 23．在迎宾大道上，每两个路灯之间的距离都是45米。小明从第一根灯柱开始走，共数了28根灯柱（单侧），小明走了多少米？如果再往前走585米，小明共能数多少根灯柱？ 【答案】1215米；41根 【分析】28根灯柱之间有（28－1）个间距，再用间距×间隔米数，求出走的长度；再用585除以间隔米数，求出间隔数，就是灯柱数，再加上28根灯柱，即可解答。 【详解】（28－1）×45 ＝27×45 ＝1215（米） 585÷45＋28 ＝13＋28 ＝41（根） 答：小明走了1215米，小明共能数41根灯柱。 【点睛】本题考查植树问题，关键是求出他走了几个间隔。 24．在一个长为80米，宽为50米的长方形水池的四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵树之间的距离是5米，一共要栽多少棵树？ 【答案】52棵 【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，求出它的周长，再除以它的间隔距离5米即可求出一共要栽多少棵树。 【详解】（80＋50）×2÷5 ＝130×2÷5 ＝260÷5 ＝52（棵） 答：一共要栽52棵树。 【点睛】在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以间隔距离就是植树棵数。 25．在一条长150米的大路两边各栽一行树，起点和终点都栽，相邻两棵树之间的距离相等，一共栽了102棵，相邻两棵之间的距离为多少米？ 【答案】3米 【分析】先求出大路一边栽树的总棵数；再根据在一条线段上植树（两端都栽树）问题的规律：棵数－1＝间隔数求出间隔数，总距离÷间隔数＝株距求出相邻两棵之间的米数。 【详解】102÷2＝51（棵） 51－1＝50（个） 150÷50＝3（米） 答：相邻两棵之间的距离为3米。 【点睛】解决植树问题的关键要弄清以下两点： （1）是否两旁都要植树。 （2）根据两端植树的情况理清棵数与间隔数之间的关系。 26．笔直的跑道一旁插有25面小旗，它们的间隔是2米。现在要改为只插17面小旗（两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 【答案】3米 【分析】在一条线段上植树（两端都栽树）问题的规律：间隔数＝棵数－1，总距离＝株距×间隔数。据此先求出插25面小旗的间隔数；再求出道路的全长；然后求出插17面小旗的间隔数；最后再用道路的全长÷间隔数求出一个间隔的长。 【详解】2×（25－1） ＝2×24 ＝48（米） 48÷（17－1） ＝48÷16 ＝3（米） 答：间隔应改为3米。 【点睛】解决植树问题的关键要弄清以下两点： （1）是否两旁都要植树。 （2）根据两端植树的情况理清棵数与间隔数之间的关系。 27．池塘的四周栽了一些树，小明和小红沿同一方向绕池塘散步，边走边数树的棵数。由于两个人出发地点不同，因此小明数的第20棵树是小红数的第7棵树；小明数的第7棵树是小红数的第34棵树。那么池塘四周一共栽了多少棵树？ 【答案】40棵 【分析】小明小红的运动方向相同，但起点不同。小红从第7棵树走到第34棵树，多了27棵树，相应的小明也应该从第20棵树多走了27棵树。但是题目交代此时小明在第7棵树，说明小明已经走完了一圈，开始走下一圈。所以，再减去多走的7棵即可求出一圈有多少棵树。 小明/棵 20 ＋27 7（47） 小红/棵 7 ＋27 34 【详解】34－7＝27（棵） 27＋20＝47（棵） 47－7＝40（棵） 答：池塘四周一共栽了40棵树。 【点睛】采用列表法，在变化中找不变量，抓住不变量解决问题。 28．五（4）班有60名学生，分两纵队去打疫苗，每两名同学间的距离为一米，这个队伍长多少米？有一队医务人员来支援，为加快打疫苗的进程，现需把学生分为四列，每列有几名同学，这个队伍现在长多少米？ 【答案】29米；15名；14米 【分析】60名学生，分两纵队，则每队有30人；把学生分为四列，每列有15人。此题属于两端都栽的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数＋1，总长度＝间隔数×间距。 【详解】（60÷2－1）×1 ＝（30－1）×1 ＝29×1 ＝29（米） 60÷4＝15（人） （60÷4－1）×1 ＝（15－1）×1 ＝14×1 ＝14（米） 答：这个队伍长29米；把学生分为四列，每列有15名同学，这个队伍现在长14米。 【点睛】此题主要考查了两端都栽的植树问题的公式，要熟练掌握。 1 学科网（北京）股份有限公司 $