22.1二次函数的图像和性质 第2讲二次函数的图像和性质讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第2讲 函数的图象及其性质 知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式 一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数. 其中：x的最高次数为2且a≠0。 【典例】 1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（　　） A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2 C. y=x2+ D. y= 【答案】A. 【解析】解：A、y=x（x﹣3）=x2﹣x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正确； B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误； C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误； D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误． 故选：A． 2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______ 【答案】-1 【解析】解：依题意得：a2+1=2且a﹣1≠0， 解得a=﹣1． 3.下列关系中，是二次函数关系的是（　　） A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D. 正方形的周长C与边长a之间的关系 【答案】C. 【解析】解：A、由题意可得：t=是反比例函数，故此选项错误； B、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误； C、S=πR2，是二次函数，正确； D、C=4a，是正比例函数，故此选项错误． 故选：C． 【方法总结】 1.本知识点需要掌握： （1）知道二次函数的一般表达式. （2）会利用二次函数的概念分析解题. 2. 注意： “变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。 3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【随堂练习】 1．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是____． 【解答】解：由题意，得 m2﹣2=2，且m+2≠0， 解得m=2， 故答案为：2． 　 2．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 【解答】解：（1）依题意m2﹣m=0且m≠0，所以m=1 （2）依题意m2﹣m≠0，所以m≠1且m≠0． 知识点2二次函数图象与基本性质 1. 2.二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中 3.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 4. 二次函数的性质 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． （2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 【典例】 1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______ 【答案】y=（x﹣4）2﹣25 【解析】解：y=x2﹣8x﹣9 =x2﹣8x+16﹣25 =（x﹣4）2﹣25． 2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6） C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10） 【答案】D. 【解析】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10， ∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误， 抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误， 抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误， 当x=0时，y=10，故选项D正确， 故选：D． 【方法总结】 1. 把一般形式化成顶点式有利于思考 2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）. 【随堂练习】 1我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=____． 【解答】解：∵由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x， ∵函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，两个函数的对称轴相同， ∴﹣=﹣， 解得b=﹣2或2， ∵互为交换函数a≠b， 故答案为：﹣2． 　 2．如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为____． 【解答】解：∵抛物线y=ax2+1与y轴交于点A， ∴A点坐标为（0，1）． 当y=1时，4x2=1， 解得x=±， ∴B点坐标为（﹣，1），C点坐标为（，1）， ∴BC=﹣（﹣）=1， 故答案为：1． 　　 3．用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解答】解：y=﹣2x2+6x+4 =， =， 开口向下，对称轴为直线，顶点． 知识点3 二次函数图象与系数之间的关系 二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系： a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小； b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴； c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。 【典例】 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧， ∴x=﹣＞1， ∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， ∵x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0． 故选：C． 2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0 【答案】D. 【解析】解：（A）由图象开口可知：a＜0 由对称轴可知：＞0， ∴b＞0， ∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故A正确； （B）由图象可知：x=﹣1，y＜0， ∴y=a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，故B正确； （C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2， ∴＞2，a＜0， ∴4ac﹣b2＜8a， ∴b2+8a＞4ac，故C正确； （D）对称轴x=＜1，a＜0， ∴2a+b＜0，故D错误； 故选：D． 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0 【答案】D. 【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴ac＜0，所以B选项错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线x=1， ∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误； ∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，所以D选项正确； 故选：D． 【方法总结】 1、抛物线与轴的交点个数与一元二次方程的有关系， ①当时，抛物线与x轴有两个交点； 1 当时，抛物线与x轴有一个交点； ③当时，抛物线与x轴没有交点.. 2、抛物线对称轴的位置与有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于.(“”的代数式多由此得到) 3、抛物线经过的特殊点与三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如的图象经过(1,0)，可以得到0=) 【随堂练习】 1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论： ①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2， 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误； ②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确； ③当x=﹣2，y＜0时，即4a﹣2b+c＜0 （1） 当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2） （1）+（2）×2得：6a+3c＜0， 即2a+c＜0 又∵a＜0， ∴a+（2a+c）=3a+c＜0． 故③错误； ④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0， ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0， 即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0， ∴（a+c）2＜b2， 故④正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 　 2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论（　　）①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵x=﹣=1， ∴b=﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c， 而当x=m时，y=am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 　 3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1．下列结论中： ①abc＞0； ②2a+b=0； ③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根； ④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）； ⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c． 其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：①∵对称轴是y轴的右侧， ∴ab＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ②∵﹣=1， ∴b=﹣2a，2a+b=0， 故②正确； ③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根； 故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）； 故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴是x=1， ∴y有最大值是a+b+c， ∵点A（m，n）在该抛物线上， ∴am2+bm+c≤a+b+c， 故⑤正确； 本题正确的结论有：②③④⑤，4个， 故选：B． 知识点4二次函数图象变换 1.图象的平移变换 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 2．二次函数图象与对称变换 二次函数关于坐标轴对称式规律： 原式 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 【典例】 1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________ 【答案】 y=﹣2（x﹣1）2+2 【解析】解：易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1）， ∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的， ∴抛物线B的坐标为（1，﹣2）， 可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2， 易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2）， ∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2． 2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______ 【答案】1 【解析】解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2， 把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1． 【方法总结】 1.理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。 【随堂练习】 1．为了得到函数y=3x2的图象，可以将函数y=﹣3x2﹣6x+1的图象（　　） A．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位 B．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位 C．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位 D．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位 【解答】解：函数y=﹣3x2﹣6x+1=﹣3（x+1）2+4，顶点的坐标为（﹣1，4），函数y=﹣x2的顶点坐标为（0，0）， ∴点（﹣1，4）先关于x轴对称，向右平移1个单位，再向上平移4单位可得（0，0）， 故选：A． 2．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． 【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：， 解得：， 则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+； （2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2， 将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2． 3．若两个不重合的二次函数图象关于y轴对称，则称这两个二次函数为“关于y轴对称的二次函数”． （1）请写出两“关于y轴对称的二次函数”； （2）已知两个二次函数y1=ax2+bx+c和y2=mx2+nx+p是“关于y轴对称的二次函数”，求函数y1+y2的顶点坐标（用含a，b，c的式子表示） 【解答】解：（1）答案不唯一，如y=x2﹣2x+1和y=x2+2x+1； （2）∵y1=ax2+bx+c和y2=mx2+nx+p是“关于y轴对称的二次函数”， 即a=m，﹣﹣=0，=， 整理得m=a，n=﹣b，p=c， 则y1+y2=ax2+bx+c+ax2﹣bx+c=2ax2+2c， ∴函数y1+y2的顶点坐标为（0，2c）． 　知识点5二次函数的解析式 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 【典例】 1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____　 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为　 ． 【答案】y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1 【解析】解：抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x+1）2+1； 抛物线y=﹣2（x+1）2+1的顶点坐标为（﹣1，1），由于抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x﹣1）2﹣1． 故答案为y=2（x+1）2+1；y=2（x﹣1）2﹣1． 2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为　 　． 【答案】y=4x2+5x 【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， ∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点， ∴代入得： 解得：a=4，b=5，c=0， 即二次函数的解析式是y=4x2+5x， 故答案为：y=4x2+5x． 3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表： 则该二次函数的解析式为　　． 【答案】y=x2+x﹣2 【解析】解：由于二次函数经过（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）、（1，0），则有： ， 解得； ∴该二次函数的解析式为：y=x2+x﹣2． 故答案为：y=x2+x﹣2 【方法总结】 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 【随堂练习】 1．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标． 【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3， 把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2， ∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）． 知识点6二次函数的最值 1. 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值； 2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定； 【典例】 1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________ 【答案】3+或1﹣ 【解析】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值﹣5， 可得：﹣（1﹣h）2+1=﹣5， 解得：h=1﹣或h=1+（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值﹣5， 可得：﹣（3﹣h）2+1=﹣5， 解得：h=3+或h=3﹣（舍）． 综上，h的值为1﹣或3+， 2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______ 【答案】1或﹣3 【解析】解：∵y=x2+2x+m2+2m﹣1=（x+1）2+m2+2m﹣2， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大， 根据题意，当x=1时，有m2+2m+2=5， 解得：m=1或m=﹣3， 【方法总结】 a＞0，离对称轴越远值越大 a＜0，离对称轴越远值越小 点与对称轴距离 【随堂练习】 1．二次函数y=x2﹣2x﹣5的最小值是____． 【解答】解：∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6， ∴最小值为﹣6． 故答案为：﹣6 2．在△ACB中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，如果运动时间为t秒． （1）t为何值时，P、Q间的距离等于4cm？ （2）t为何值时，S△PQB 有最大值？最大值是多少？ 【解答】解：（1）设经过t秒，PQ=4cm， 则AP=xtm，BQ=2tcm，BP=（6﹣t）cm， ∴（2t）2+（6﹣t）2=（4）2 解得：t=2或经检验y=2不合题意，舍去，故t=s． （2）∵S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9， ∵﹣1＜0，0＜t≤， ∴t=时，△PQB的面积最大，最大值= 　 3．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，且满足（k﹣1）x12+2k x2+k+2=4x1x2 ①求k的值； ②当k≤x≤k+2时，试求函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的最大值与最小值． 【解答】解：（1）△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0， 解得：k≤2． k的取值范围是k≤2； （2）①∵图象与x轴有两个交点，可知k＜2且k≠1． 由k2﹣k﹣2=0 解得：k1=﹣1，k2=2 （不合题意，舍去）． ∴所求k值为﹣1． ②如图，∵k=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+． 且﹣1≤x≤1． 由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=． ∴y的最大值为，最小值为﹣3． 综合运用: 函数的图象及其性质 1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式　 　（写一个即可） 【答案】y=x2+2x 【解析】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0）， ∴可设此二次函数的解析式为y=ax（x+2）， 把a=1代入，得y=x2+2x． 故答案为y=x2+2x（答案不唯一）． 2.已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最　　值，这个值是　　． 【答案】大, 1 【解析】解：根据反比例函数y=的图象经过点P（2，2）， 得k=2×2=4； 根据函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，得到a=﹣1； 根据经过反比例函数图象上一点Q（1，m）， 首先得到m=4，再进一步得到b=5，则二次函数的解析式是y=﹣x2+5x﹣． 根据顶点公式求得它的顶点坐标是（，1）， 因为a＜0， 所以它有最大值是1． 3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为　 　；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为　 　． 【答案】y=x2；y=﹣x2﹣1 【解析】解：将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为y=x2+1﹣1=x2； ∵原抛物线的顶点坐标为（0，1） ∴将原抛物线绕原点O旋转180°后顶点是（0，﹣1），而a=﹣1， ∴旋转后的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣1． 故答案为y=x2；y=﹣x2﹣1． 4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）． （1）求m的值，并写出二次函数的解析式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 【解析】解：（1）把（0，5）代入y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2得m+2=5， 解得m=3 所以二次函数解析式为y=x2+6x+5； （2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4， 所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3． 5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3 （1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象； （3）当x为何值时，函数值y＜0． 【解析】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4； （2）函数的图象如图所示： （3）当y＜0时，函数图象上的点都在x轴的下方， 此时﹣1＜x＜3． 6.如图是y=a（x+m）2的图象 （1）求二次函数的解析式； （2）把抛物线y=﹣x2经过怎样的平移才能得到此抛物线； （3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质； （4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式． 【解析】解：（1）由图象可知，顶点坐标为（2，0），所以可设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2， 将（0，﹣1）代入，得﹣1=4a， 解得a=﹣， 所以二次函数的解析式为y=﹣（x﹣2）2； （2）将抛物线y=﹣x2向右平移2个单位长度即可得到抛物线y=﹣（x﹣2）2； （3）∵y=﹣（x﹣2）2， ∴顶点坐标为（2，0），对称轴为x=2， 抛物线开口向下，当x=2时有最大值0， 当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小； （4）将（1）中所求抛物线绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线的解析式为y=（x﹣2）2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 函数的图象及其性质 知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式 一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数. 其中：x的最高次数为2且a≠0。 【典例】 1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（　　） A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2 C. y=x2+ D. y= 2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______ 3.下列关系中，是二次函数关系的是（　　） A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D. 正方形的周长C与边长a之间的关系 【方法总结】 1.本知识点需要掌握： （1）知道二次函数的一般表达式. （2）会利用二次函数的概念分析解题. 2. 注意： “变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。 3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【随堂练习】 1．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是____． 　 2．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 知识点2二次函数图象与基本性质 1. 2.二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中 3.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 4. 二次函数的性质 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． （2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 【典例】 1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______ 2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6） C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10） 【方法总结】 1. 把一般形式化成顶点式有利于思考 2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）. 【随堂练习】 1.我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=____． 　 2．如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为____． 　　 3．用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 知识点3 二次函数图象与系数之间的关系 二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系： a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小； b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴； c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。 【典例】 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（　　） A. B. C. D. 2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0 【方法总结】 1、抛物线与轴的交点个数与一元二次方程的有关系， ①当时，抛物线与x轴有两个交点； 1 当时，抛物线与x轴有一个交点； ③当时，抛物线与x轴没有交点.. 2、抛物线对称轴的位置与有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于.(“”的代数式多由此得到) 3、抛物线经过的特殊点与三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如的图象经过(1,0)，可以得到0=) 【随堂练习】 1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论： ①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2， 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论（　　）①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 　 3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1．下列结论中： ①abc＞0； ②2a+b=0； ③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根； ④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）； ⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c． 其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 知识点4二次函数图象变换 1.图象的平移变换 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 2．二次函数图象与对称变换 二次函数关于坐标轴对称式规律： 原式 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 【典例】 1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________ 2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______ 【方法总结】 1.理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。 【随堂练习】 1．为了得到函数y=3x2的图象，可以将函数y=﹣3x2﹣6x+1的图象（　　） A．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位 B．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位 C．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位 D．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位 2．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． 3．若两个不重合的二次函数图象关于y轴对称，则称这两个二次函数为“关于y轴对称的二次函数”． （1）请写出两“关于y轴对称的二次函数”； （2）已知两个二次函数y1=ax2+bx+c和y2=mx2+nx+p是“关于y轴对称的二次函数”，求函数y1+y2的顶点坐标（用含a，b，c的式子表示） 　知识点5二次函数的解析式 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 【典例】 1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____　 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为　 ． 2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为　 　． 3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表： 则该二次函数的解析式为　　． 【方法总结】 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 【随堂练习】 1．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标． 知识点6二次函数的最值 1. 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值； 2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定； 【典例】 1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________ 2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______ 【方法总结】 a＞0，离对称轴越远值越大 a＜0，离对称轴越远值越小 点与对称轴距离 【随堂练习】 1．二次函数y=x2﹣2x﹣5的最小值是____． 2．在△ACB中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，如果运动时间为t秒． （1）t为何值时，P、Q间的距离等于4cm？ （2）t为何值时，S△PQB 有最大值？最大值是多少？ 3．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，且满足（k﹣1）x12+2k x2+k+2=4x1x2 ①求k的值； ②当k≤x≤k+2时，试求函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的最大值与最小值． 综合运用: 函数的图象及其性质 1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式　 　（写一个即可） 2.已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最　　值，这个值是　　． 3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为　 　；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为　 　． 4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）． （1）求m的值，并写出二次函数的解析式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3 （1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象； （3）当x为何值时，函数值y＜0． 6.如图是y=a（x+m）2的图象 （1）求二次函数的解析式； （2）把抛物线y=﹣x2经过怎样的平移才能得到此抛物线； （3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质； （4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $