专题3.2整式重难点题型专训（2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年北师大版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题3.2整式重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型九 整式的判断 题型十 数字类规律探索 题型十一 图形类规律探索 拓展训练一 单项式的相关问题求解 拓展训练二 多项式的相关问题求解 拓展训练三 数字、 图形规律探索综合 知识点一：整式 1.单项式 （1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数字与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【说明】单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数做这个单项式的系数． 【说明】 ①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． ②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数． ③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写． ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【说明】没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏． 2．多项式 (1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式． 【说明】“几个”是指两个或两个以上． (2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【说明】 ①多项式的每一项包括它前面的符号． ②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． (3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 【说明】 ①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． （4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为 -5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4． 【说明】 ①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； ②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 3.整式：单项式与多项式统称为整式． 【说明】（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏·期中）下列哪个是单项式（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的定义，掌握单项式的定义“单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）”是解题的关键．根据单项式的定义判定即可． 【详解】单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）．A和C是多项式，D分母中含有未知数，只有B符合单项式定义． 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．根据多项式的定义分析即可． 【详解】解：，，是多项式，共3个， 0，是单项式， 的分母含字母，不是整式； 故答案为：3． 知识点二：规律探索型问题常见类型 1、数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式. 说明： 由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 2、图形规律 根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律. 说明： 图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想. 3、数表规律 解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江西宜春·阶段练习）已知，以此类推，则为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律．通过计算探索出运算规律是解题的关键． 先计算，通过计算结果得到规律，利用发现的规律得出的值． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴每 3 次为一个循环． ， ， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南·阶段练习）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索，合理找出规律是解题的关键． 找出规律运算即可． 【详解】 解：观察可得：， 观察可得：， 观察可得：， 则为：． 故答案为：． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（23-24七年级上·山东·期末）下列式子：，，，，，其中单项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式的概念，掌握数与字母的积是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式是解题的关键． 根据数与字母的积是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式进行解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，共3个． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 【答案】都是单项式 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察可发现以上式子都为单项式， 故它们的共同点为都是单项式． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的识别，解题的关键是掌握单项式的定义． 利用单项式的定义逐项进行判断即可，即单项式是数与字母或字母与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式． 【详解】解：A.该选项是单项式，不符合题意； B. 该选项不是单项式，符合题意； C. 该选项是单项式，不符合题意； D. 该选项是单项式，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单项式为，， ∴单项式的个数是2个， 故选：C． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各式中是单项式的有： ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧c． 【答案】②③④⑥⑦⑧ 【分析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键．直接根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式解答即可． 【详解】解：①不是单项式； ②是单项式； ③是单项式； ④是单项式； ⑤不是单项式， ⑥是单项式； ⑦是单项式； ⑧是单项式； 故答案为：②③④⑥⑦⑧． 4．（23-24七年级上·浙江·课后作业）下列表述中，字母各表示什么？ （1）有一条边长为4的三角形的面积为2b； （2）高为40的圆柱的体积是20S； （3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元． 【答案】（1）b表示边长为4的边上的高；（2）S表示底面积的2倍；（3）a表示橡皮的单价，b表示练习本的单价 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据圆柱的体积公式即可求解； （3）根据题意的代数式的即可求解． 【详解】（1）有一条边长为4的三角形的面积为2b，b表示边长为4的边上的高； （2）高为40的圆柱的体积是20S，S表示底面积的2倍； （3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元，a表示橡皮的单价，b表示练习本的单价． 【点睛】此题主要考查代数式中字母的含义，解题的关键是熟知常见的几何公式． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，6 B．5，7 C．，7 D．，6 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，解题的关键是熟练掌握单项式的系数和次数的定义． 根据单项式的系数和次数的定义进行求解即可，即单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：的系数是，次数是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）若单项式的次数是5，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查单项式的次数，解题的关键是掌握单项式的次数的定义． 根据单项式次数的定义得出的值，即所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，然后代数求值即可． 【详解】解：依题意，得， 解得：． 当时，． 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）单项式的次数等于7，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的次数，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．直接利用单项式的次数为7，得出，求出答案即可． 【详解】解：∵单项式的次数等于7， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 【答案】A 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、是单项式，原说法正确，符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 、是次单项式，原说法错误，不符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·四川乐山·期末）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 根据单项式的概念作答即可． 【详解】单项式的系数是，次数是． 故答案为：，4． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答题 (1)若单项式的次数与六次四项式的次数相同，求的值． (2)若关于的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查多项式的次数、单项式的系数的定义，解决问题的关键是熟练掌握多项式的次数、单项式的系数的定义． （1）根据单项式和六次四项式次数相同求解； （2）先根据多项式的次数与最高次项的系数的定义求出的值． 【详解】解：（1）因为多项式的次数是6， ，解得． 由题意，得， 即， 解得． ． （2）多项式中次数最高的项是， 对于多项式， 当时，该多项式为，次数为，次数最高的项的系数为， 而多项式的次数最高的项的系数为，二者不相等，故； 当时，多项式中次数最高的项为， ， 解得． ． 【经典例题三 写出满足某些特征的单项式】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A、系数是，次数是5，故本选项不符合题意； B、系数是2，次数是5，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项不符合题意； D、系数是-2，次数是5，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查单项式的次数与系数，解题的关键是掌握单项式的系数和次数的定义． 【例2】（23-24七年级·全国·假期作业）写出系数是12，均含有字母x，y而不含其他字母的所有四次单项式． 【答案】． 【分析】根据单项式的概念进行解答，系数是12，字母指数和是4的单项式. 【详解】解：符合题意的单项式由：共三个. 故答案是： 【点睛】本题考查了单项式的知识点，熟练掌握单项式次数的定义是解决此题的关键，属于 基础题. 1．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）在下列代数式中，次数为4的单项式是（　　） A．xy3 B．x4+y4 C．x2y D．4xy 【答案】A 【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案． 【详解】A、xy3，是次数为4的单项式，故此选项符合题意； B、x4+y4，是多项式，不合题意； C、x2y，是次数为3的单项式，故此选项不合题意； D、4xy，是次数为2的单项式，故此选项不合题意； 故选A． 【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义. 2．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出(   )  ． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】根据单项式的概念求解． 【详解】这样的单项式为：xy2，x2y，，，共4个． 故选C． 【点睛】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 3．（23-24七年级上·甘肃武威·期中）有一单项式的系数是2，次数为3，且只含有，，则这个单项式可能是 【答案】或 【分析】本题考查单项式． 根据单项式的定义写出符合条件的单项式即可． 【详解】解：系数是2，次数为3，且只含有，的单项式可能是或． 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 【经典例题四 单项式规律题】 【例1】（24-25八年级下·云南丽江·期末）现有按一定规律排列的单项式，…，则第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．从三方面(符号、系数的绝对值、指数)观察可得规律：符号的规律：都是负、正交替出现，即第奇数个为负，第偶数个为正；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第n个对应的指数是．即可求第8个单项式． 【详解】解：∵，…， ∴第n个单项式是， 当时，第8个单项式是： 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）观察以下一系列单项式的特点：，，，，…，写出第6个单项式，并指出它的系数和次数． 【答案】第6个单项式，系数是，次数是8． 【分析】本题考查了整式的规律探索题、单项式的系数及次数，准确找出规律是解题的关键．根据整式的规律、单项式的系数及次数进行求解即可． 【详解】解：按此规律得第6个单项式，系数是，次数是8． 1．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵x ，， ， ，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：． 故选C． 2．（23-24六年级下·山东淄博·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式变化规律，找到变化规律是解题的关键．分别从符号、指数两个方面找规律，再计算． 【详解】解：，，，，， 第n个单项式是 故选：C． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，解题的关键是找出题目中单项式之间的规律，并用代数式表示出来． 根据单项式系数、字母指数之间的规律，第n个单项式是，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，第n个单项式的系数是，次数是， ∴第n个单项式是， ∴第2024个单项式是． 故答案是：． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． （1）根据单项式的特点写出第9个单项式即可； （2）通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为，由此可解出本题． 【详解】（1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴第9个单项式是，即； （2）解：∵n为偶数时，单项式为负数，x的指数为n时，2的指数为， ∴猜想第个单项式为． 【经典例题五 多项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中，是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的识别，解题的关键是掌握多项式的定义． 根据多项式的定义逐项进行判断即可，即几个单项式的和叫作多项式． 【详解】解：A、该选项为单项式，不符合题意； B、该选项为单项式，不符合题意； C、 该选项为多项式，符合题意； D、该选项为单项式，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？与单项式有什么联系？ 【答案】每个式子都是多项式，都是几个单项式的和组成的 【分析】本题考查了单项式与多项式的定义，根据单项式与多项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察式子可以发现，每个式子都是多项式，都是几个单项式的和组成的， 故它们的共同点为：每个式子都是多项式； 与单项式的联系为：都是几个单项式的和组成的． 1．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式的概念，数字和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，正确理解单项式和多项式的概念是解题的关键. 【详解】解：A、是几个单项式的和，这是个多项式，故A不符合题意； B、是数字与字母的积，是一个单项式，故B不符合题意； C、是与的和，这是个多项式，故C不符合题意； D、是与的商，既不是单项式也不是多项式，故D符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 【答案】 ， 【分析】本题考查多项式和单项式的定义，解题的关键是熟悉多项式和单项式的定义．单项式的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式．多项式的定义：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，再结合题目即可得出答案． 【详解】解：根据单项式与多项式的定义可知： 单项式有： ，， 多项式有：， 的分母含字母，既不是单项式也不是多项式， 故答案为：，；． 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【答案】单项式：；多项式： 【分析】本题主要考查了单项式、多项式及整式的定义．根据单项式、多项式及整式的概念来分类：单项式：数与字母的乘积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（1）数字与字母的乘积的形式叫做单项式；（2）单个字母也是单项式；（3）单个数字是单项式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．据此解答即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：． 【经典例题六 多项式的项、项数或次数】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 【例2】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）已知多项式，指出该多项式是几次几项式，并写出它的二次项、一次项和常数项． 【答案】四次五项式；二次项为，一次项为x，常数项是 【分析】本题考查了多项式的相关定义，熟练掌握多项式的有关定义是解题的关键．根据多项式的次数，项等定义解答即可． 【详解】解：该多项式的次数是4，项数是5，因此该多项式是四次五项式，它的二次项为，一次项为x，常数项是． 1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知是关于的二次多项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的相关概念，由是关于的二次多项式，得且，然后求出的值即可，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次多项式， ∴且， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是四次： B．一定是七次； C．一定是三次； D．无法确定． 【答案】A 【分析】本题考查整式的次数，根据多项式的次数概念即可求出答案． 【详解】解：由于是一个四次整式，A、B都是关于的单项式， ∴A、B的次数都不能超过四次的单项式， ∵是一个七次单项式， ∴A与B中必定有一个是四次单项式，另外一个是三次单项式， ∴一定是四次多项式， 故选：A． 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若代数式是五次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数与项数的定义，熟记定义是解题的关键．根据多项式的次数定义得出且， 即可求得的值． 【详解】解：∵代数式是五次二项式， 且， ． 故答案为： ． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）已知多项式是关于x、y的多项式，且该多项式的次数为6．若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了多项式．根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得m，n的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：因为多项式的次数为6， 所以， 解得， 因为单项式的次数和该多项式的次数相同， 所以，即， 解得， 所以． 【经典例题七 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和系数，多项式的次数是指多项式中的次数最大的项的次数，根据多项式是关于的四次二项式，列式，则． 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）若关于的多项式中不含二次项和一次项，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了多项式不含问题，不含哪一项，则哪一项的系数为0．根据多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式中不含二次项和一次项， ∴，， 解得，， ∴． 1．（25-26七年级上·全国·期中）如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于x的一元多项式（其中a，b，c，d为常数）恒等，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，根据两个多项式恒等可得对应系数相等，即可得解，熟练掌握多项式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴，，，， ∴， 答案：A． 2．（24-25七年级上·广东江门·期中）关于x的多项式不含和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了多项式系数、指数中字母求值，熟练掌握定义是解题的关键．根据多项式不含有的项的系数为零，得到方程，解之可得m、n的值． 【详解】解：∵多项式不含和， ∴，， ∴，， 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．多项式不含项，则其系数为零，即可求出k的值，进而求出所求代数式的值． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴ 得， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项，熟练掌握不含某项就让这项的系数等于0是解题的关键．根据题意可知，，从而求得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：x的多项式不含项和项， ，， ，， ． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【答案】C 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排列的定义． 根据降幂排序和升幂排列的定义进行解答即可． 【详解】解：多项式是按y的升幂排列． 故选：C 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）把多项式按的升幂排列． 【答案】 【分析】此题考查将多项式按照某个字母升幂或降幂排列，按照字母r的最低次幂到最高次幂排列即可，注意项的符号不要改变 【详解】解：按的升幂排列为：． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将多项式进行升降幂排列，根据题意，按照x的降幂进行排列即可． 【详解】解：由题意把多项式按x的降幂排列，得； 故选B． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，各项以和的形式组成多项式（有时加号省略不写），所以在升幂或降幂排列时，各项要保持自己原有的符号．根据升幂排列的定义，将多项式的各项按照x的指数从小到大排列起来． 【详解】解∶多 项式按x的升幂排列为， 故选∶C． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）把多项式按字母作降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排列，熟练掌握确定各项中指定字母的指数并按从高到低顺序排列是解题的关键．先确定多项式中每一项的指数，然后依据指数大小从高到低重新排列各项． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的有关知识，关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念． （1）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母降幂排列，由此即可得到答案． （2）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母升幂排列，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：多项式按的降幂排列为： （2）解：多项式按的升幂排列： 【经典例题九 整式的判断】 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）下列代数式是整式的有（   ） ①； ②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查整式的判断，根据单项式和多项式统称为整式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，①③⑤⑦⑧，是整式，②④⑥分母中有字母，不是整式； 故选C． 【例2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 【答案】①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式的定义，根据单项式、多项式、整式的定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式：①③⑤⑦， 多项式：②④⑥， 整式：①②③④⑤⑥⑦， 故答案为：①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦． 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）下列式子中：整式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的概念，熟知单项式和多项式统称整式是解题的关键； 根据单项式和多项式统称整式逐一判断求解即可. 【详解】解：是多项式，是整式； 不是整式； 是多项式，是整式； 0是单项式，是整式； 是多项式，是整式； 综上，整式有4个； 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列叙述中不正确的个数是（　　） 不是单项式；的系数是，次数是4；代数式三次四项式，其中二次项是；不是整式，而是整式；是单项式． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式及多项式．利用单项式及多项式的定义判断即可． 【详解】解：是单项式，原来的说法不正确，符合题意； 的系数是π，次数是3，原来的说法不正确，符合题意； 代数式是三次三项式，原来的说法不正确，符合题意； 不是整式，而是整式，说法正确，不符合题意； 是单项式，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）在，，，，中，整式有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的定义，整式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，，，中，整式有，，，，共4个， 故答案为：4． 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{            …}； 多项式：{            …} 整式：{            …}． 【答案】单项式：；多项式：；整式： 【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【点睛】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义． 【经典例题十 数字类规律探索】 【例1】（25-26七年级上·陕西·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．7 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查数字的规律探索，由题中可以看出，以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的，利用即可知的个位数字，即可得出结论．解题的关键是找到为底的幂的末位数字的循环规律． 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故选A． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，请你计算等式的右边求出S的值． 【答案】 【分析】利用错位相减法来求解．先给原式乘以公比，再与原式相减，从而消去中间项，求出和． 【详解】解：， ．① 两边同时乘以，得．② ①②，得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等比数列求和，解题关键是掌握错位相减法求等比数列和的方法，通过乘以公比后相减消去中间项，进而求出和． 1．（25-26七年级上·北京·阶段练习）已知整数，满足下列条件：，依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数列的变化规律问题． 先分别求出，根据数字变化特点得出规律解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 可知当时，若为奇数，则；若为偶数，则， ， 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川·期中）一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律，发现数字规律是解题的关键． 观察数列规律，分母为n的项连续出现n次．计算前n项和，确定第200项所在的分母组即可解答． 【详解】解：数列中分母为n的项有n个，总项数到分母n时为：． 由题意可得，则当时，；当时，． 因此，第191至210项对应分母20，第200项在分母20的组内，值为． 故选D． 3．（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）观察下列各数：0，，，，，…，根据它们的排列规律写出第45个数为 ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，发现数字之间的联系，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 根据目中所给分数的特征，总结规律即可得解． 【详解】解：∵0，，，，，…， ∴每一项的符号是奇数位置为负，偶数位置为正，分子是所在位置的序号少1，分母是所在位置的序号的平方，故第45个数为 ， 故答案为：. 4．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式： = ； (2)按以上规律写出第个等式： = ；（为正整数） (3)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算，熟练掌握裂项相消法，是解题的关键： （1）根据给出的等式，写出第5个等式即可； （2）根据给出的等式，推出第个等式即可； （3）利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为：，； （2）解：由题意，； 故答案为：，； （3）解： ． 【经典例题十一 图形类规律探索】 【例1】（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是由个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格，则该图中包含正方形的个数为（　　） A．20 B．18 C．36 D．12 【答案】A 【分析】本题考查从图形中找规律，按照正方形边长分类逐个求解即可得到答案，由正方形边长分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：由题知，边长为1的正方形个数为：， 边长为2的正方形个数为：， 边长为3的正方形个数为：， 所以由个边长为1的正方形拼接成的长方形网格图中有正方形（个）． 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)第6个图形灰色方块共有______个，白色方块共有______个； (2)第100个图形白色方块共有______个； (3)第n个图形（）白色方块的总数______（用含n的式子表示）． 【答案】(1)30；19 (2)301 (3) 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现灰色和白色方块个数变化的规律是解题的关键． （1）依次求出每个图形中灰色方块和白色方块的个数，发现规律即可解决问题； （2）由（1）的发现，即可解决问题； （3）由（1）的发现，即可解决问题． 【详解】（1）解：第1个图形灰色方块共有个，白色方块共有个； 第2个图形灰色方块共有个，白色方块共有个； 第3个图形灰色方块共有个，白色方块共有个； ……， 第6个图形灰色方块共有个，白色方块共有个； 故答案为：30；19； （2）解：由（1）得：第100个图形白色方块共有个； 故答案为：301； （3）解：根据题意得：第n个图形（）白色方块的总数为个． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第①个图形中有4朵梅花，第②个图形中有8朵梅花，第③个图形中有14朵梅花，第④个图形中有22朵梅花，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中梅花朵数为（    ）． A．32 B．44 C．58 D．74 【答案】C 【分析】本题考查了图形变化的规律．根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：C． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（   ）个棋子． A．18 B．20 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中棋子个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，通过归纳得出第n个图形的棋子的个数，最后把代入规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， ……， 由此发现，第n个图形有个棋子， ∴第6个图形有个棋子． 故选：C 3．（25-26七年级上·四川南充·阶段练习）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． ∴ 故答案为： 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表． 黑色正方形个数 1 2 3 4 … n 白色正方形个数 8 13 18 … 【答案】23； 【分析】此题考查了图形类规律题，根据题意找到规律是关键．找到规律：第n幅图黑色正方形有n个，白色正方形有个，进行填表即可． 【详解】解：观察可知规律，图一黑色正方形有1个，白色正方形有个； 图二黑色正方形有2个，白色正方形有个； 图三黑色正方形有3个，白色正方形有个； 图四黑色正方形有4个，白色正方形有个；； 即第n幅图黑色正方形有n个，白色正方形有个． 图四白色正方形的个数： （个）； 黑色正方形个数 1 2 3 4 n 白色正方形个数 8 13 18 23 【拓展训练一 单项式的相关问题求解】 【例1】（23-24七年级上·广西来宾·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是 D．的系数为，次数为 【答案】C 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、是单项式，原选项说法错误，不符合题意； 、的系数是，原选项说法错误，不符合题意； 、的系数是，次数是，原选项说法正确，符合题意； 、的系数为，次数为，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【例2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知是关于、的五次单项式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，代数式求值，根据题意可得，，求出的值，再代入代数式计算即可求解，由单项式的有关概念求出的值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于、的五次单项式， ∴，， ∴，， ∴． 1．（24-25七年级上·全国·期末）关于单项式，下列说法中正确的是（   ） A．它的次数是2 B．它的系数是2 C．它的系数是 D．它的次数是4 【答案】C 【分析】此题考查单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：∵单项式的次数是，系数是， ∴A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 2．（2026九年级·广西·专题练习）按一定规律排列的一列单项式如下：，则第11个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察分母的规律：分母依次为，可分解为连续两个整数的乘积，即．确定变量指数：每个单项式的指数与项数对应，即第n项的指数为n.将分母和指数的规律结合，得到通项公式． 【详解】解：观察前四项的分母：第项： 第项： 第项： 第项： 通项公式：分母为 因此第n项的系数为 . 指数规律分析每个单项式的指数依次为与项数n一致，即第n项的指数为n. 通项公式综合上述规律，第n个单项式为：， 将代入通项公式：分母： 指数：， 单项式：. 故选：A． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化规律，单项式，解题的关键是找到规律． 3．（24-25七年级上·广东云浮·期末）写出系数为-1，含有字母的四次单项式 ． 【答案】 【分析】根据给出的条件写出符合的四次单项式即可． 【详解】解：系数为-1，含有字母的四次单项式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据条件写出符合的单项式，解题的关键是熟练掌握单项式的有关概念． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 【拓展训练二 多项式的相关问题求解】 【例1】（24-25七年级上·广东河源·期末）在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关键．根据多项式的定义求解即可得． 【详解】解：，，，都是多项式，共有4个， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知代数式是关于、的三次二项式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据“三次二项式”求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵代数式是关于、的三次二项式， ∴， 解得：， ∴． 1．（24-25七年级上·江西宜春·期末）多项式的次数和项数分别是（   ） A．3，5 B．8，3 C．5，2 D．5，3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数与项数，根据有几个单项式有几项，单项式中最高的次数是多项式的次直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 多项式有3项，最高次数是5次， 故答案为：D． 2．（24-25七年级上·广东·期中）若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，熟悉掌握多项式的定义是解题的关键． 根据多项式的定义求出这个多项式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式为二次三项式， ∴，， ∴，， 即多项式为， 当时，二次三项式． 故选：B． 3．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）将多项式按字母升幂排列是 ． 【答案】 【分析】根据的升幂排列，即按照次，次，次，次的方式排列，排列时带着系数及符号． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的次数，理解和掌握多项式的次数是解题的关键． 4．（24-25七年级上·河南开封·期中）已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． (3)若 ，求该多项式的值． 【答案】(1)  ， (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． （3）根据非负数的性质可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 将这个多项式按x的降幂排列为． （3）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ ； 【点睛】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，非负数的性质．掌握基础概念是解本题的关键． 【拓展训练三 数字、[图形规律探索综合】 【例1】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 2 … A．3 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查数字规律，找准规律是解决问题的关键． 根据题意，在表中填上字母，列式得到循环规律，即可得到答案． 【详解】解：如表所示： 3 2 … 从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ；； 解得，， 则如表所示： 3 2 … 得到规律：在表中三个数循环下去， 则如表所示： 3 3 3 … 则， 即得到规律：在表中三个数循环下去， ， 第2025个格子中的数为2， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f ，f ，f ，f ，……． (1)利用以上运算的规律写出f ______． (2)计算：f ……⋅f 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据以上运算的规律确定出的值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据运算的规律得：； 故答案为：； （2）解：根据题中的新定义得： 原式…… 1．（25-26七年级上·河南·阶段练习）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点A、C沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2025次相遇在哪条边上？（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据题意得出从第1次相遇开始，相遇点每四次循环一次是解题的关键．根据题意，分别求出每次相遇时的位置，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令正方形的边长为a， 因为甲，乙分别从A和C出发，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动， 所以第1次相遇时两人所走的路程之和为 又因为乙的速度是甲的3倍， 所以第1次相遇时甲走的路程为，乙走的路程为， 所以第1次相遇时在的中点处． 因为第2次相遇时，两人又走了， 所以甲走了， 所以第2次相遇时在的中点处， 依此类推，第3次相遇时在的中点处，第4次相遇时在的中点处，第5次相遇时在的中点处，…， 由此可见，从第1次相遇开始，相遇点每四次循环一次． 因为， 所以第2025次相遇时在的中点处． 故选：A 2．（24-25七年级上·山东·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去…，第次输出的结果是（   ） A．3 B．6 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据题意可以先求出前几次输出结果，发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环，进而可得出第次输出的结果与第3次输出的结果一样． 本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 【详解】解：根据题意可知： 开始输入的值是7，第1次输出的结果是12， 第2次输出的结果是6， 第3次输出的结果是3， 第4次输出的结果是8， 第5次输出的结果是4， 第6次输出的结果是2， 第7次输出的结果是1， 第8次输出的结果是6， 依次继续下去， …， 发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环， 因为， 所以第次输出的结果与第3次输出的结果一样是． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河南·阶段练习）古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们经常研究用多少个点能排列成不同的正多边形，组成美丽的图案．如图是他们研究多少个点可以组成正五边形的研究过程，第6个正五边形是由 个点组成． 【答案】70 【分析】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．观察图案，可以发现这组数是有规律的，由此可以根据规律得出第5、第6个正五边形各由多少个点组成．依此解答即可． 【详解】解：①0个五边形的点数：1个； ②第1个五边形的点数：5个，， ③第2个五边形的点数：12个，， ④第3个五边形的点数：22个，， ⑤第4个五边形的点数：（个）， ⑥第5个五边形的点数：（个）， ⑦第6个五边形的点数：（个）， 故答案为：70． 4．（24-25七年级上·宁夏·期中）找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起． (1)4张桌子拼在一起可坐______人； (2)10张桌子拼在一起可坐______人； (3)n张桌子拼在一起可坐______人． 【答案】(1)12 (2)24 (3) 【分析】本题考查图形的规律，找到规律是解题关键．（1）（2）（3）找到规律即可解答：左右两边可坐4人，上下两边可坐人数是桌子数量的2倍． 【详解】（1）解：3张桌子拼在一起可坐10人， 4张桌子拼在一起比3张时多坐2人，故可坐12人， 故答案为：12； （2）解：10张桌子拼在一起，左右两边共可坐4人，上下可坐（人）， 故共可坐24人， 故答案为：24； （3）解：从图片中可以看出，左右两边可坐4人，上下两边可坐人数是桌子数量的2倍， 故n张桌子拼在一起时，可坐人， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中： ； ； ； ； ； ； ； ； ．单项式有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的概念，掌握单项式的概念是解题的关键． 根据单项式的概念逐一判断即可． 【详解】解：单项式是数与字母的乘积，单独的数字和字母也是单项式,其中分母中含有字母的不是单项式，所以单项式有； 故选:B． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）系数为的单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式系数的定义解答即可． 本题考查了单项式，掌握单项式的数字因数是单项式的系数是解答本题的关键． 【详解】解：A、的系数是，故本选项不符合题意； B、不是单项式，故本选项不符合题意； C、的系数是，故本选项不符合题意； D、的系数为，故本选项符合题意． 故选：D 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式规律问题的求解能力，关键是根据所给代数式准确归纳出该组代数式的规律． 根据各式符号、式子的规律求解此题即可． 【详解】根据、、、、，得第各式子是，所以第21 个式子是． 故选：C． 4．（23-24七年级上·吉林·期中）对于式子，说法正确的有（　　） ①是整式；②是多项式；③一次项是；④次数是2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由数和字母的积组成的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；整式为单项式和多项式的统称；多项式中，未知数的次数为1的项称为一次项，多项式的次数就是次数和最高的那一项的次数。 【详解】解：对于式子，是整式，是多项式，一次项为，次数是2， 说法正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的相关概念，理解并掌握整式的相关概念是解题关键． 5．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）下列说法正确的有（   ） ①0不是单项式 ②一个数前面带有“”号，则这个数是负数 ③的底数是，指数是4 ④ ⑤多项式是四次四项式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查单项式，正负数，有理数幂，多项式，根据相关概念，逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：0是单项式，单独一个数属于单项式．故①错误； 若原数为负数或0，加负号后可能为正数或0，不一定是负数．故②错误； 的底数是3，指数是4，负号不参与乘方运算．故③错误； ，，显然．故④正确； 多项式中，最高次项为四次，共有四项，故为四次四项式．故⑤正确； 故选：B． 6．（24-25六年级下·黑龙江·期末）如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟记多项式的次数的定义是解题关键．根据多项式的次数可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．四次项的系数是8 D．按b降幂排列为 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式的含义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用多项式的定义，多项式的项，次数，降幂排列的含义逐一分析得出答案． 【详解】解：A选项：多项式 ，是五次四项式，故此选项正确. B选项：的常数项是1，故此选项正确. C选项：的四次项的系数是，故此选项错误. D选项：按b降幂排列为，故此选项正确. 故选：C． 8．（24-25七年级上·甘肃·期中）下列说法正确的是（   ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是五次三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式和单项式的知识，解题的关键是学会识别多项式和单项式，根据多项式和单项式的定义即可解答． 【详解】解：A、整式包括多项式和单项式，原说法错误，不符合题意； B、是单项式，原说法正确，符合题意； C、是三次三项式，原说法错误，不符合题意； D、是多项式，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 9．（24-25七年级上·重庆·期中）一列数．中的第34个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于数列中的规律，解答此题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律． 根据数列找出规律，根据规律进行求解即可． 【详解】解：根据数列的规律可知，每个数的个数依次多1，即1有1个，2有2个，3有3个，… ∵，， ∴第34个数为8， 故选：C． 10．（2024·重庆·模拟预测）如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，归纳总结出图形中黑点的个数与白点的个数之差的规律是解题的关键．观察图形可知，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，再代入即可得出答案． 【详解】解：第1个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第2个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第3个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， …… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 当时，， ∴第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为28． 故选：B． 11．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列代数式中有 个单项式． ，，，，0，，， 【答案】5 【分析】根据单项式的定义进行判断即可． 本题主要考查了单项式的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单个的字或数字也是单项式． 【详解】单项式有，，0，，y，共5个． 故答案为：5． 12．（23-24七年级上·河南南阳·期中）观察下列式子： ， ， ， ，…，按此规律，第 (为正整数)个式子是 ． 【答案】 【分析】观察已知的四个式子，找出规律，进而写出第个式子. 【详解】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第3个式子：； …… 第n个式子： 故答案为：. 【点睛】本题考查了多项式规律题，找出对应项系数和次数的规律是解题的关键． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若两个只含字母的多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后并降次排列，其系数一定对应相等．例如，若与恒等，则，，．已知多项式与恒等（其中a，b，c为常数），则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了多项式的定义，代数式求值，根据多项式与恒等，得出，，，再代入求值即可． 【详解】解：∵多项式与恒等， ∴，，， ∴． 故答案为：5． 14．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：① ；②；④；⑤；⑥．是整式，共有5个， 故答案为：5． 15．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）根据，……的规律．可以得出的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律探究、有理数的乘方，解答的关键是认真观察，从简单入手，发现规律．先根据已知规律得出式子的化简形式，再分析化简后数的个位数字规律． 【详解】解：观察已知规律 据， ， ， 可以总结出规律：， 分析的个位数字规律 ，个位数字是； ，个位数字是； ，个位数字是； ，个位数字是； ，个位数字是； ，个位数字是； 可以发现的个位数字是以这个数字为一个周期循环的, ∵， ∴的个位数字是一个周期中的第个数字，也就是， ∴的个位数字是， 综上，的个位数字是， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，用大小相同的点拼图，则拼出的第⑩个图形需要 个点． 【答案】55 【分析】本题考查图形类规律探索，根据已知图形找出数字变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：第个图形需要点的个数：1， 第个图形需要点的个数：， 第个图形需要点的个数：， 第个图形需要点的个数：， …… 以此类推，第⑩个图形需要点的个数为：， 故答案为：55． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列式子分别填入所属圈中． ，，，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式，掌握这三个概念是解题的关键． 根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行判断；根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行判断；根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式进行判断． 【详解】解：单项式：，，，，， 多项式：， 整式：，，，，，，，． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列各式： (1)请你写出第2019个和第2020个单项式； (2)请你写出第n个单项式． 【答案】(1) ；；(2) 【分析】(1)首先分析给出的各式的特点和规律，利用规律即可得出答案； (2)根据规律即可求出第n个单项式． 【详解】(1)第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， …… 第2019个单项式：； 第2020个单项式：． (2)根据规律可知，第n个单项式：． 【点睛】本题主要考查根据规律求单项式，找到规律是解题的关键． 19．（23-24七年级上·河南南阳·期中）（1）已知代数式的值为9，求代数式的值； （2）如果关于字母x的多项式是五次三项式，分别求m、n的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）已知的值为9，则可变形求出，代入求值的代数式计算即可； （2）根据五次三项式的概念可知，解出m和n即可． 【详解】解：（1） （2）∵关于字母x的多项式是五次三项式， 【点睛】本题考查了代数式求值以及多项式的相关概念，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式． 20．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④______；⑤；… (2)请写出第n个等式：______； (3)利用（2）中的等式，计算：． 【答案】(1) (2) (3)9375 【分析】本题考查了数字之间的规律，仔细观察图形、发现其中规律是本题的解题关键． （1）由规律可得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，由此可得到答案； （2）由小问1可知第n个等式为从1开始连续n个奇数的和，由此可知答案； （3）首先将原式改写成，然后利用（2）中的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：④； 故答案为： （2）解：第n个等式：； 故答案为： （3）解： 21．（2025七年级上·四川·专题练习）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 【答案】(1)24 (2)最小用型号16 【分析】本题考查图形的规律探究，找到规律是解题的关键． (1)根据图形中的数量关系即可求解； (2)将代入，解方程即可． 【详解】（1）解：型号1：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号2：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号3：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， ∴型号4可以坐：(人)． （2）由题意得，， 整理得，， 解得， ∵n为整数， ∴最小用型号16． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【答案】(1)4 ； (2)11 (3)0 (4)或 【分析】本题主要考查了多项式的定义和化简求值，也考查了新定义齐次多项式． （1）将代入多项式，再根据多项式相关的定义解答即可； （2）将代入（1）的条件下的多项式求值即可； （3）根据齐次多项式的定义，由多项式是齐次四项式得，，得出a、b的值代入计算即可； （4）分两种情况讨论：①当为六次项，时；②当为六次项，时；分别求出a、b的值，再代入原多项式，并把该多项式按x的升幂排列即可． 【详解】（1）解：当时，该多项式为，此时该多项式是一个四次三项式，所以该多项式的次数为4，一次项为， 故答案为：4，； （2）解：当时，该多项式为， 将代入，得： 原式； （3）解：由题意可知该多项式的所有项的次数为4， ∴， ∴或， ∵该多项式有四项， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：因为该多项式是一个六次三项式，而和的次数不定，所以需分以下两种情况讨论： ①当为六次项，时，此时多项式为， 即， 所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； ②当为六次项，时， 此时多项式为， 即，所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）根据题意列出代数式，并指出是不是整式，如果是整式，指明是多项式还是单项式． (1)已知正方形的边长为，若边长增加，则面积增加多少？ (2)七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名，则全班共有多少名学生？ (3)钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔，共花多少钱？如果他拿一张100元面值的人民币购买，售货员应找回多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列代数式，整式定义，判断单项式，多项式等． （1）先求出则之前面积，再求出增加后面积，再作减法即可列出代数式，继而再判断整式； （2）先表示出男生人数，再和女生的人数相加即可，继而再判断整式； （3）先表示出三支钢笔钱数，再加上一支圆珠笔钱数，再用100元减去花掉的钱即为结果，继而再判断整式． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为， ∴面积为：， ∵边长增加， ∴增加后面积为：， ∴面积增加：， ∴是整式也是多项式； （2）解：∵七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名， ∴男生人数：名， ∴全班共有名学生， ∴是整式也是多项式； （3）解：∵钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔， ∴三支钢笔花费的钱：， ∴小明共花元，售货员应找回元， ∴是整式也是多项式，是整式也是多项式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2整式重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型九 整式的判断 题型十 数字类规律探索 题型十一 图形类规律探索 拓展训练一 单项式的相关问题求解 拓展训练二 多项式的相关问题求解 拓展训练三 数字、 图形规律探索综合 知识点一：整式 1.单项式 （1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数字与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【说明】单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数做这个单项式的系数． 【说明】 ①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． ②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数． ③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写． ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【说明】没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏． 2．多项式 (1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式． 【说明】“几个”是指两个或两个以上． (2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【说明】 ①多项式的每一项包括它前面的符号． ②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． (3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 【说明】 ①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． （4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为 -5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4． 【说明】 ①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； ②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 3.整式：单项式与多项式统称为整式． 【说明】（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏·期中）下列哪个是单项式（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 知识点二：规律探索型问题常见类型 1、数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式. 说明： 由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 2、图形规律 根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律. 说明： 图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想. 3、数表规律 解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江西宜春·阶段练习）已知，以此类推，则为（    ） A．3 B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南·阶段练习）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 ． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（23-24七年级上·山东·期末）下列式子：，，，，，其中单项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各式中是单项式的有： ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧c． 4．（23-24七年级上·浙江·课后作业）下列表述中，字母各表示什么？ （1）有一条边长为4的三角形的面积为2b； （2）高为40的圆柱的体积是20S； （3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，6 B．5，7 C．，7 D．，6 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）若单项式的次数是5，求代数式的值． 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）单项式的次数等于7，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 3．（24-25七年级上·四川乐山·期末）单项式的系数是 ，次数是 ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答题 (1)若单项式的次数与六次四项式的次数相同，求的值． (2)若关于的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求的值． 【经典例题三 写出满足某些特征的单项式】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级·全国·假期作业）写出系数是12，均含有字母x，y而不含其他字母的所有四次单项式． 1．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）在下列代数式中，次数为4的单项式是（　　） A．xy3 B．x4+y4 C．x2y D．4xy 2．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出(   )  ． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．（23-24七年级上·甘肃武威·期中）有一单项式的系数是2，次数为3，且只含有，，则这个单项式可能是 4．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【经典例题四 单项式规律题】 【例1】（24-25八年级下·云南丽江·期末）现有按一定规律排列的单项式，…，则第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）观察以下一系列单项式的特点：，，，，…，写出第6个单项式，并指出它的系数和次数． 1．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·山东淄博·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 【经典例题五 多项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中，是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？与单项式有什么联系？ 1．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【经典例题六 多项式的项、项数或次数】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【例2】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）已知多项式，指出该多项式是几次几项式，并写出它的二次项、一次项和常数项． 1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知是关于的二次多项式，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是四次： B．一定是七次； C．一定是三次； D．无法确定． 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若代数式是五次二项式，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）已知多项式是关于x、y的多项式，且该多项式的次数为6．若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【经典例题七 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）若关于的多项式中不含二次项和一次项，求的值． 1．（25-26七年级上·全国·期中）如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于x的一元多项式（其中a，b，c，d为常数）恒等，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25七年级上·广东江门·期中）关于x的多项式不含和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）把多项式按的升幂排列． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）把多项式按字母作降幂排列是 ． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【经典例题九 整式的判断】 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）下列代数式是整式的有（   ） ①； ②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）下列式子中：整式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列叙述中不正确的个数是（　　） 不是单项式；的系数是，次数是4；代数式三次四项式，其中二次项是；不是整式，而是整式；是单项式． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）在，，，，中，整式有 个． 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{            …}； 多项式：{            …} 整式：{            …}． 【经典例题十 数字类规律探索】 【例1】（25-26七年级上·陕西·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．7 C．5 D．9 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，请你计算等式的右边求出S的值． 1．（25-26七年级上·北京·阶段练习）已知整数，满足下列条件：，依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川·期中）一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）观察下列各数：0，，，，，…，根据它们的排列规律写出第45个数为 ． 4．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式： = ； (2)按以上规律写出第个等式： = ；（为正整数） (3)求的值． 【经典例题十一 图形类规律探索】 【例1】（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是由个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格，则该图中包含正方形的个数为（　　） A．20 B．18 C．36 D．12 【例2】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)第6个图形灰色方块共有______个，白色方块共有______个； (2)第100个图形白色方块共有______个； (3)第n个图形（）白色方块的总数______（用含n的式子表示）． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第①个图形中有4朵梅花，第②个图形中有8朵梅花，第③个图形中有14朵梅花，第④个图形中有22朵梅花，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中梅花朵数为（    ）． A．32 B．44 C．58 D．74 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（   ）个棋子． A．18 B．20 C．24 D．36 3．（25-26七年级上·四川南充·阶段练习）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表． 黑色正方形个数 1 2 3 4 … n 白色正方形个数 8 13 18 … 【拓展训练一 单项式的相关问题求解】 【例1】（23-24七年级上·广西来宾·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是 D．的系数为，次数为 【例2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知是关于、的五次单项式，求的值． 1．（24-25七年级上·全国·期末）关于单项式，下列说法中正确的是（   ） A．它的次数是2 B．它的系数是2 C．它的系数是 D．它的次数是4 2．（2026九年级·广西·专题练习）按一定规律排列的一列单项式如下：，则第11个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东云浮·期末）写出系数为-1，含有字母的四次单项式 ． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【拓展训练二 多项式的相关问题求解】 【例1】（24-25七年级上·广东河源·期末）在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知代数式是关于、的三次二项式，求的值． 1．（24-25七年级上·江西宜春·期末）多项式的次数和项数分别是（   ） A．3，5 B．8，3 C．5，2 D．5，3 2．（24-25七年级上·广东·期中）若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）将多项式按字母升幂排列是 ． 4．（24-25七年级上·河南开封·期中）已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． (3)若 ，求该多项式的值． 【拓展训练三 数字、[图形规律探索综合】 【例1】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 2 … A．3 B．2 C．0 D． 【例2】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f ，f ，f ，f ，……． (1)利用以上运算的规律写出f ______． (2)计算：f ……⋅f 的值． 1．（25-26七年级上·河南·阶段练习）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点A、C沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2025次相遇在哪条边上？（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去…，第次输出的结果是（   ） A．3 B．6 C．2 D．8 3．（25-26七年级上·河南·阶段练习）古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们经常研究用多少个点能排列成不同的正多边形，组成美丽的图案．如图是他们研究多少个点可以组成正五边形的研究过程，第6个正五边形是由 个点组成． 4．（24-25七年级上·宁夏·期中）找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起． (1)4张桌子拼在一起可坐______人； (2)10张桌子拼在一起可坐______人； (3)n张桌子拼在一起可坐______人． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中： ； ； ； ； ； ； ； ； ．单项式有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）系数为的单项式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（     ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·吉林·期中）对于式子，说法正确的有（　　） ①是整式；②是多项式；③一次项是；④次数是2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）下列说法正确的有（   ） ①0不是单项式 ②一个数前面带有“”号，则这个数是负数 ③的底数是，指数是4 ④ ⑤多项式是四次四项式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25六年级下·黑龙江·期末）如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 7．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．四次项的系数是8 D．按b降幂排列为 8．（24-25七年级上·甘肃·期中）下列说法正确的是（   ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是五次三项式 D．是单项式 9．（24-25七年级上·重庆·期中）一列数．中的第34个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（2024·重庆·模拟预测）如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 11．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列代数式中有 个单项式． ，，，，0，，， 12．（23-24七年级上·河南南阳·期中）观察下列式子： ， ， ， ，…，按此规律，第 (为正整数)个式子是 ． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若两个只含字母的多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后并降次排列，其系数一定对应相等．例如，若与恒等，则，，．已知多项式与恒等（其中a，b，c为常数），则 ． 14．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 15．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）根据，……的规律．可以得出的个位数字是 ． 16．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，用大小相同的点拼图，则拼出的第⑩个图形需要 个点． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列式子分别填入所属圈中． ，，，，，，，． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列各式： (1)请你写出第2019个和第2020个单项式； (2)请你写出第n个单项式． 19．（23-24七年级上·河南南阳·期中）（1）已知代数式的值为9，求代数式的值； （2）如果关于字母x的多项式是五次三项式，分别求m、n的值． 20．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④______；⑤；… (2)请写出第n个等式：______； (3)利用（2）中的等式，计算：． 21．（2025七年级上·四川·专题练习）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）根据题意列出代数式，并指出是不是整式，如果是整式，指明是多项式还是单项式． (1)已知正方形的边长为，若边长增加，则面积增加多少？ (2)七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名，则全班共有多少名学生？ (3)钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔，共花多少钱？如果他拿一张100元面值的人民币购买，售货员应找回多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $