1.2 30°，45°，60°角的三角函数值（题型专练）数学北师大版九年级下册

1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 题型一 求30°，45°，60°角的三角函数值 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）的值等于（   ） A． B．1 C． D． 3．（2025·天津·二模）计算：（　　） A． B．1 C． D． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）计算的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东淄博·开学考试）若的余角是，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2024九年级下·广东·学业考试）下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22九年级上·河南安阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）的值等于（   ） A． B． C． D．1 9．（2025·河南郑州·模拟预测）若，则其正弦值为 ． 题型二 有理数与无理数的有关判断 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）下列各数为无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 4．（2025·甘肃武威·二模）数字，，π，，中是无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·江苏南京·三模）下列各数中的无理数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）在实数，0，中，无理数的个数是 ． 题型一 特殊角三角函数值的混合运算 1．（2025·湖南长沙·二模）计算： 2．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 3．（2025·江苏盐城·三模）计算： 4．（2025九年级下·广东深圳·学业考试）计算：． 5．（2025·广东清远·二模）计算：． 6．（2025·江苏盐城·三模）计算：． 7．（2025·浙江金华·三模）计算：． 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）计算：． 9．（2025·浙江绍兴·三模）计算：． 10．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）计算：． 11．（2025·云南·模拟预测）计算：． 12．（2025·宁夏银川·二模）计算： 13．（2025·山东滨州·二模）计算：． 14．（2025·广东深圳·三模）计算： 15．（2025·湖北·二模）计算：． 16．（2025·浙江金华·三模）计算：． 题型二 由三角函数值求锐角度数 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，那么为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 2．（2023·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 3．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，的对边分别为，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知，则锐角 ． 5．（2023·上海金山·一模）中，若，则 ． 6．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）若，则锐角的度数为 ． 7．（2024·甘肃武威·二模）在中，若与互为相反数，则 . 8．（2024·甘肃武威·一模）已知a，β均为锐角，且满足，则 °． 9．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，如果、均为锐角，且满足，那么 ． 10．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型三 利用特殊角三角函数值进行化简求值 1．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 3．（20-21九年级上·河南驻马店·期末）先化简，再求值：，其中，y是一个与最接近的整数． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中是的小数部分． 6．（2025·广东东莞·二模）先化简：，再求当时此代数式的值． 7．（2025·广东广州·二模）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 题型四 特殊角三角函数值在几何中的简单应用 1．（2021·四川·模拟预测）如图，在边长为的等边中，动点D、E分别在边上，且保持，连接，相交于点P，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2025·广东佛山·模拟预测）已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，将沿翻折，得到，延长交的延长线于点，若，则 ． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 5．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）在等腰梯形中，，，，P为的中点，则等于 ． 6．（2024·安徽·二模）如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）． （1）当时， ； （2）连接，当时， ． 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 题型一 特殊角三角函数值的综合运用 1．（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；……；第次爬行到点的坐标是 ．（用含p的代数式表示） 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，于点，于点，、相交于点． (1)如图，当时，则与的数量关系是______； (2)如图，当时，探究与的数量关系并证明； (3)如图，在（）的条件下，延长至点，使，连接，取的中点，连接交于点，若，，求的长． 3．（2023·山西·模拟预测）问题提出：如图，已知四边形是平行四边形，，请在中画出一个矩形并加以验证． 操作探究： 方法一：如图①，过顶点A、C分别作于点E，于点F，则四边形是矩形； 理由如下：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴（依据1）， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（依据2）； 方法二：如图②，连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接，则四边形是矩形． 问题解决： (1)方法一中的依据1是指_______；依据2是指________； (2)请你依据方法二的操作方法完成相应的证明过程； (3)如图③，若点是上一点，连接，以为边长作正方形经过点，已知，请直接写出的长． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 题型一 求30°，45°，60°角的三角函数值 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据特殊三角形的三角函数求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）的值等于（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，即可得解． 【详解】解：． 故选：A． 3．（2025·天津·二模）计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5．（25-26九年级上·山东淄博·开学考试）若的余角是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，求特殊角三角函数值，度数之和为90度的两个角互余，据此可得的度数，再根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2024九年级下·广东·学业考试）下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的大小比较，还考查了无理数的估算．先估算实数的大小,然后即可判断大小进而可得出答案. 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴最小的数是， 故选：A． 7．（21-22九年级上·河南安阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法，熟知相关计算法则及定义是解决本题的关键．根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可． 【详解】解：A、，此选项正确，符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项错误，不符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：A． 8．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）的值等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 9．（2025·河南郑州·模拟预测）若，则其正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握其特殊值是解题的关键． 利用特殊锐角三角函数值即可求得答案． 【详解】解：若， 则其正弦值为， 故答案为：． 题型二 有理数与无理数的有关判断 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握无理数的概念．先化简各数，根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可． 【详解】解：A、是有限的小数，不是无理数，故A不符合题意； B、是整数，不是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C符合题意； D、为整数，不是无理数，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 3．（2024·广东·模拟预测）下列各数为无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是无理数，有理数的乘方，特殊角的三角函数值，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 【详解】解：，是有理数，故A不符合题意； ，是有理数，故B不符合题意； 0是有理数，故C不符合题意； 是无理数，故D符合题意， 故选：D． 4．（2025·甘肃武威·二模）数字，，π，，中是无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，求一个数的立方根，特殊角的三角函数值等整式，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数字，，π，，中，无理数有，π，，共3个， 故选：C． 5．（2025·江苏南京·三模）下列各数中的无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义，0指数，特殊角的三角函数，算术平根性质，是解题的关键．无限不循环小数为无理数．如带根号开不尽方的，化简结果含π的，特殊构造的，像0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0），等形式的数才是无理数． 分别根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】解： A. ，是无理数，符合题意： B. ，是有理数，不符合题意； C. ，是有理数，不符合题意； D. ，是有理数，不符合题意． 故选：A． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）在实数，0，中，无理数的个数是 ． 【答案】2个 【分析】本题考查无理数，特殊锐角三角函数值，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：，0是整数，是分数，是有限小数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它们是无理数，共2个， 故答案为：2个． 题型一 特殊角三角函数值的混合运算 1．（2025·湖南长沙·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求特殊角三角函数的值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义，根据绝对值的意义，特殊角三角函数的值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（2025·江苏盐城·三模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． 4．（2025九年级下·广东深圳·学业考试）计算：． 【答案】3 【分析】此题考查了实数、二次根式及三角函数的混合运算，掌握相关运算的运算法则及特殊角的三角形函数值是解题的关键． 根据零次幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数及绝对值的意义分别进行计算，合并后即可得解． 【详解】解： ． 5．（2025·广东清远·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，特殊角的正切值，先分别计算零指数幂，特殊角的正切值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： 6．（2025·江苏盐城·三模）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，算术平方根和零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 7．（2025·浙江金华·三模）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查实数的混合运算．原式分别计算算术平方根、特殊角三角函数值、零指数幂，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的化简，实数的混合运算．先根据特殊角的三角函数值，二次根式的化简，进行计算，再根据实数的混合运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解： ． 9．（2025·浙江绍兴·三模）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查零次幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值的计算，掌握实数的混合运算法则是关键． 分别算出零次幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数，再计算和差即可． 【详解】解： ． 10．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、二次根式的运算、零指数幂、乘方和绝对值运算，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解：原式 ． 11．（2025·云南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 12．（2025·宁夏银川·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，二次根式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先利用特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，二次根式进行化简，再进行加减． 【详解】解： ． 13．（2025·山东滨州·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，绝对值，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 14．（2025·广东深圳·三模）计算： 【答案】3 【分析】本题考查了实数的混合运算，三角函数. 先计算乘方，三角函数，零指数幂，有理数的除法，再计算加减即可. 【详解】 15．（2025·湖北·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数、特殊角的三角函数、化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先计算0指数，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 16．（2025·浙江金华·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，三角函数值. 先计算零指数幂，三角函数，负整数指数幂，再计算加减即可. 【详解】原式 题型二 由三角函数值求锐角度数 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，那么为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】本题考查了特殊角的三角函数值，把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， ， 故选：C． 2．（2023·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、三角函数、等边三角形的判定等知识点，熟记等边三角形的判定是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形． 故选：C． 3．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，的对边分别为，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，等边三角形的判定，特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握非负数的性质，等边三角形的判定，熟记特殊角的锐角三角函数值是解决问题的关键． 根据非负数的性质得且，由，得，则是等腰三角形，由，得锐角，则是等边三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 又， 且， 由，得：， 是等腰三角形， 由，得：， 锐角， 又是等腰三角形， 是等边三角形． 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知，则锐角 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：， 锐角， 故答案为：． 5．（2023·上海金山·一模）中，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 6．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）若，则锐角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的正切值，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·甘肃武威·二模）在中，若与互为相反数，则 . 【答案】/105度 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 8．（2024·甘肃武威·一模）已知a，β均为锐角，且满足，则 °． 【答案】105 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值、掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．根据非负数的性质求出、的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数． 【详解】解析：∵， ∴ ，， ∴，， 则． 故答案为： 9．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，如果、均为锐角，且满足，那么 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．先根据条件求出、度数，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解析　∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为： 10．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示 【分析】此题考查了尺规作角平分线，特殊角的三角函数值， 作出的平分线交于点D即为所求，，即可得到． 【详解】如图所示，点D即为所求． 由作图得， ∴． 题型三 利用特殊角三角函数值进行化简求值 1．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，分式的化简求值；特殊角的三角函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先利用分式的除法法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简求值，先计算多项式的乘法、括号内的分式的加法，同时将分式的除法转化为乘法，然后再约分化成最简形式，然后根据零指数幂及特殊角的三角函数值将化简，再代入计算即可．掌握相应的运算法则、运算顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 3．（20-21九年级上·河南驻马店·期末）先化简，再求值：，其中，y是一个与最接近的整数． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化等知识点，正确计算是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简为最简分式，再求出，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， ； ， ， ∵， ∴与最接近的整数是，即， 原式． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值．先根据分式的混合运算法则对式子进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出x的值，代入式子求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中是的小数部分． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 先通分，然后进行四则运算，最后将代入即可求得答案． 【详解】解：原式 ， ∵是的小数部分， ∴． ∴原式． 6．（2025·广东东莞·二模）先化简：，再求当时此代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再关键特殊角的三角函数值求出x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 7．（2025·广东广州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】【解】解： ， 当时，原式． 8．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出，再代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 题型四 特殊角三角函数值在几何中的简单应用 1．（2021·四川·模拟预测）如图，在边长为的等边中，动点D、E分别在边上，且保持，连接，相交于点P，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用全等三角形的性质证明，得出，利用外角求出，构造圆确定点P的运动轨迹是，，连接，证明，求出，利用锐角三角函数求出，通过即可求出最小值． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P的运动轨迹是，，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，圆的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上性质，并构造出圆． 2．（2025·广东佛山·模拟预测）已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、矩形性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据矩形性质得到，根据条件证明，利用相似三角形性质得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，将沿翻折，得到，延长交的延长线于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形和折叠性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，证得是等边三角形是解答的关键． 先根据矩形的性质和全等三角形的性质，结合线段垂直平分线的性质得到，再证明得到，进而证明是等边三角形得到，在中，利用正切定义即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， 由折叠性质得，， ∴，又， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】先证明为等边三角形得到．再证明为的中垂线得到，则，进而求得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由及旋转性质可知，， 为等边三角形． ， ． 又， ， 为的中垂线， ． ， ， 又D为中点， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、线段垂直平分线的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关性质是解答的关键． 5．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）在等腰梯形中，，，，P为的中点，则等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰梯形，锐角三角函数，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定及性质、三角形全等，解题的关键是得出，然后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：根据题意作图，过点，作的垂线交于点，，如下： ，， 等腰梯形中， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， ， ，     , ， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：． 6．（2024·安徽·二模）如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）． （1）当时， ； （2）连接，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质； （1）根据折叠的性质求出，，然后利用三角函数的定义解答即可； （2）根据可得，然后证明，根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴由折叠得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 【答案】3 【分析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由，可得是等腰直角三角形，即可得出，再结合即可得出，利用矩形性质可得，，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等，根据找出是解题的关键． 题型一 特殊角三角函数值的综合运用 1．（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；……；第次爬行到点的坐标是 ．（用含p的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查旋转，锐角三角函数，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，点的位置每6次循环，所以点在第三象限，，且与轴的负半轴夹角为，过作轴，解三角形即可求解题目． 【详解】解：∵射线绕O点每次逆时针旋转， ， ∴点所在的直线每6次循环， ， 点在第三象限，且与轴的负半轴夹角为， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 过作轴， ∵， ， ， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，于点，于点，、相交于点． (1)如图，当时，则与的数量关系是______； (2)如图，当时，探究与的数量关系并证明； (3)如图，在（）的条件下，延长至点，使，连接，取的中点，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）证明即可求证； （）证明，可得，又由锐角三角函数可得，进而即可求解； （）延长至，使，连接，可证，可得，，即得，进而得到，即得到，可得，得到，又可证，得到，由等腰三角形的性质得到，，即得，再由得，可得，得到，最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 同理（）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2023·山西·模拟预测）问题提出：如图，已知四边形是平行四边形，，请在中画出一个矩形并加以验证． 操作探究： 方法一：如图①，过顶点A、C分别作于点E，于点F，则四边形是矩形； 理由如下：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴（依据1）， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（依据2）； 方法二：如图②，连接对角线，取的中点，以点为圆心，的长为半径画弧交于，连接并延长交于点，连接，则四边形是矩形． 问题解决： (1)方法一中的依据1是指_______；依据2是指________； (2)请你依据方法二的操作方法完成相应的证明过程； (3)如图③，若点是上一点，连接，以为边长作正方形经过点，已知，请直接写出的长． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；有三个角是直角的四边形是矩形 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”和“有三个角是直角的四边形是矩形”即可解答； （2）证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得证； （3）过点作于点，延长和交于点，过点作于点．证明，得到边长关系，再证明，根据边长关系，求出，从而可求． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，三角形相似，三角形全等，作出适当的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴（依据1）， 则依据1为：两直线平行，同旁内角互补； ∵， ∴四边形是矩形（依据2） 则依据2为：有三个角是直角的四边形是矩形； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；有三个角是直角的四边形是矩形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ． 为的中点， ． 在和中，， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形； （3）解：如图： 过点作于点，延长和交于点，过点作于点， 四边形是平行四边形， ． ∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $