3.3.1抛物线及其标准方程第1、2课时（定义、标准方程）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程第1、2课时（定义、标准方程）同步练习、解答、细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．已知抛物线的焦点为为上一点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 2．已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．8 3．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，点，记点到轴的距离为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是（    ） A．5 B． C． D． 二、多选题 5．设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 6．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（    ） A．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点 B．若为上的动点，则的最小值为5 C．直线与抛物线相交所得弦长为8 D．抛物线与圆交于两点，则 7．已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D．抛物线C上的动点到直线距离的最小值为 三、填空题 8．求焦点在直线的抛物线的标准方程 . 9．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为 ． 10．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 四、解答题 11．已知抛物线与圆相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 3.3.1抛物线及其标准方程第1、2课时（定义、标准方程）同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C C C BD CD ABD 1．A 【分析】根据为抛物线上一点，且，利用抛物线的定义，由得到p即可. 【详解】解：抛物线的准线为， 因为为上一点，且，所以，解得， 所以抛物线，所以，所以.故选：A. 2．C 【分析】利用切线性质，构造的长度关于的函数关系，再求函数的最小值即可. 【详解】圆的方程：， 可知，，，， 故四边形的面积， ， 当取最小值时最小，设，则， 当时，取最小值为，的最小值为．故选：． 3．C 【分析】求抛物线准线，过作，垂足为，根据抛物线的定义可得，再利用三点共线时，取得最小，即可求得结论． 【详解】记是抛物线的准线，过作，垂足为， 则，.因为到轴的距离比到的距离少， 所以.由两点之间线段最短可得， 当，，三点共线时，且点在线段内时， 最小，且最小值为.故选：C. 4．C 【分析】求得圆心坐标与半径，由抛物线的定义可知：可知当三点共线时，到点的距离与点到直线距离之和取最小值，利用点到圆心距离减半径即可求得答案． 【详解】抛物线的焦点为，准线为； 圆的圆心为，半径为， 根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 进而推断出当三点共线时，到点的距离与点到直线距离之和取最小值， 最小值为：，故选：C. 5．BD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对.故选：BD 6．CD 【分析】利用直线与抛物线位置关系的知识判断选项A；利用抛物线的定义进行距离转化进而判断选项B；利用焦点弦公式计算并判断选项C；由抛物线方程设出点M坐标，利用M到圆心的距离等于半径求出M的坐标，就可以判断选项D. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以， 从而抛物线的方程是.过点可以作2条直线与抛物线相切， 而直线与抛物线相交，只有1个交点，从而过点恰有3条直线与抛物线有且只有一个公共点，故A不正确； 抛物线的准线方程是，设T到准线的距离为，则； 过P作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义知，所以，所以的最小值为4，故B不正确； 抛物线的焦点为，直线过焦点， 不妨设直线与抛物线的两个交点分别是，， 则，又得，则， 所以，故C正确； 抛物线与圆交于两点，则关于轴对称. 设(t>0)，则，解得，所以，故D正确； 故选：CD 7．ABD 【分析】A选项，求出，从而得到，求出；B选项，联立直线方程和抛物线方程，得到两根之和，由焦点弦弦长公式求出；C选项，在B选项基础上求出，结合焦半径公式得到；D选项，设，表达出点到直线的距离为，求出最小值. 【详解】A选项，由抛物线，可得焦点为， 因为过抛物线的焦点，可得，解得，所以A正确； B选项，联立方程组，整理得， 设，则，， 由抛物线的焦点弦的性质，可得，所以B正确； C选项，由，解得， 根据抛物线的定义，可得， 所以，所以C错误； D选项，设是抛物线上的任意一点，可得， 则点到直线的距离为， 当时，，所以D正确.故选：ABD. 8． 【分析】由，分别令，得到在y，x轴上的焦点坐标，再写出抛物线方程. 【详解】因为，令，得，所以， 所以抛物线的标准方程 ；令，得，所以， 所以抛物线的标准方程，综上：抛物线的标准方程为：. 故答案为： 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力.属于基础题. 9．或 【分析】由题意分情况可得点的坐标为，代入抛物线方程中可求出的值，从而可得抛物线的方程 【详解】抛物线的焦点为， 由抛物线的对称性，不妨设点为第一象限的点， 因为点为上一点，点为轴上一点，是边长为2的正三角形， 所以当在的右边时，点的坐标为， 所以，化简得，解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为，当在的左边时，点的坐标为， 所以，化简得，解得或， 所以抛物线的方程为，综上，所求的抛物线方程为或 故答案为：或 10． 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即，所以点P的轨迹方程为.故答案为： 11．(1)(2) 【分析】（1）根据对称性，设，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及抛物线的焦半径公式可求得的周长. 【详解】（1）因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设， 因为点在圆上，所以， 解得（负值舍去），所以的方程是. （2）由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，，所以， ， 所以的周长为.   题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 抛物线定义的理解 2 全部 抛物线上的点到定点的距离及最值 3 全部 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 4 全部 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 二、多选题 5 全部 根据定义求抛物线的标准方程,抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 6 全部 根据抛物线上的点求标准方程,抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 7 全部 求抛物线的轨迹方程,抛物线的焦半径公式 三、填空题 8 全部 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 9 全部 根据抛物线上的点求标准方程 10 全部 利用抛物线定义求动点轨迹 四、解答题 11 全部 求抛物线的轨迹方程,抛物线的焦半径公式,根据抛物线的方程求参数,抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $