2025-2026学年高二上学期期中考试数学模拟卷2（人教A版选择性必修第一册-范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆）

2025-2026学年高二数学上学期期中考试模拟卷2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：新人教A版选择性必修第一册：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆. 考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．设直线l过原点，其倾斜角为，若将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分情况讨论，直线的倾斜角为大于或小于 上，可得本题答案. 【详解】由倾斜角的取值范围知，当， 即时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为（如图所示）．    故选：D 【点睛】本题考查直线的倾斜角的概念，采用数形结合的思想，属于基础题. 2．已知圆的圆心在直线上，且过两点，，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设圆心，根据题意得到，从而得到圆心，再计算半径即可得到答案. 【详解】由题知：圆心在直线上，设圆心，因为在圆上， 所以，解得. 则，， 所以圆. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 3．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接与交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解. 【详解】连接与交于点，连接， 由题意得，，且平面， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    设四棱锥各棱长均为2，则，， 可得， 则， 设异面直线与所成角为， 则． 故选：A． 4．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到线的距离公式，列不等式求解. 【详解】因为，， 所以点到直线的距离为， 所以，化简得 解得. 故选：A 5．已知点是圆上任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意画出图形，再由的几何意义，即圆上的动点与原点连线的斜率求解即可 【详解】如图， 的几何意义为圆上的动点与原点连线的斜率， 由图可知，当动点与重合时，与圆相切，此时最大为所在直线的斜率. 由图可知，，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是利用的几何意义，即圆上的动点与原点连线的斜率求解，考查数形结合思想，属于中档题 6．若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据点到直线距离模型，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】依题意 表示到两条平行直线和的距离之和的5倍． 因为这个距离之和与x，y无关， 故两条平行直线和在圆的两侧， 画出图像如图所示， 故圆心到直线的距离， 解得或， 当时，两直线在圆的同侧，不符合题意， 所以    故选：D． 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据点到直线距离公式模型确定所求代数式的几何意义. 7．已知椭圆C的焦点为、，若C上存在点P满足：，且（O为坐标原点），则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，设，在中，求得，再在中，利用余弦定理求出，进而可得出答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则， 由椭圆的定义可得， 因为，所以， 设，则， 在中，， 则， 在中，由余弦定理得， 即， 化简得， 所以，所以， 所以C的方程为. 故选：B.    【点睛】关键点点睛：根据题意把几何关系转化为数量关系是解决本题的关键. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线方程，与椭圆联立可得点纵坐标，进而求得三角形面积. 【详解】解：因为，所以， 设，，在中， 由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆定义有：，所以， 所以， 因为， 因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得， 因为，所以， 所以直线， 联立，可得 ， 显然，则，因为，所以， 所以 ． 故选：C 【点睛】思路点睛：该题考查直线与椭圆的综合问题，属于中难题，关于焦点三角形问题的思路有： （1）设出两个焦半径为，求得； （2）先由余弦定理建立等式； （3）再由椭圆定义建立，两式联立可得； （4）再根据等面积法，即可求得点坐标. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．与直线平行且到l的距离为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用直线平行关系设出直线的方程为，再利用平行线距离公式求解即可. 【详解】设所求直线的方程为， 因为两直线的距离为2，所以， 解得或， 故选：AC. 10．如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C没有公共点 【答案】ABC 【分析】将直线与椭圆的公共点的个数问题，转化为联立方程组成方程组的解的个数问题，消元后得到一元二次方程，结合，，分别判断即可. 【详解】对于A，由方程组消去y，得①， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．故A正确； 对于B，由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线与椭圆有且只有一个公共点．故B正确； 对于C，由，得，或．此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．故C正确； 对于D，由选项A与选项B可知，D错误. 故选：ABC. 11．正方体的棱长为分别为线段和中点，则（    ） A．到直线的距离为3 B．直线到直线的距离为3 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为1 【答案】AD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量逐项计算后可得正确的选项. 【详解】    根据正方体建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，故. 对于A，， 故到直线的距离为， 故A成立. 对于B，, 故，故， 故直线到直线的距离为， 故B错误. 对于C，，设平面的法向量为， 则，取，则，故， 而，故到平面的距离为，故C错误. 对于D，由A中分析可得，而平面，平面， 故平面，直线到平面的距离即为到平面的距离， 且该距离为，故D正确. 故选：AD.    3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 13．点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为 ． 【答案】. 【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得． 【详解】∵直线， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得， 由此可得直线系恒过点， P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA， ∴． 故答案为：. 14．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．平面直角坐标系中，圆C过点，，且圆心C在直线上， （1）求圆C的标准方程； （2）求过点A 的圆C的切线方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意建立方程组，解之即可求出结果； （2）根据圆心C与点A所在直线的斜率，进而求出过点A 的圆C的切线的斜率，然后根据点斜式即可求出结果. 【详解】（1）设圆C的标准方程为，圆心为，则，解得，故圆C的标准方程为； （2）因为直线的斜率为，则所求切线的斜率为，所以过点A 的圆C的切线方程为，即. 16．已知直线：. (1)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程. (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）将直线化成点斜式，由垂直关系可求出值，进而得解； （2）由直线方程分别求出，表示出，结合基本不等式可求面积的最小值. 【详解】（1）由变形得，则设直线过，要使点到直线距离最大，则满足，，则，直线方程为，即； （2）由题知，，，令得，即，令得，即，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为4. 17．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1． （1）若G为△ABC的重心，，设，用向量表示向量； （2）若平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1＝O，求证：OE⊥平面ABC1D1． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将用基底表示，再在三角形A1AG中，将用基底表示； （2）连接C1E，AE，由已知证明△C1EA为等腰三角形，从而OE⊥AC1，同理可证明OE⊥BD1，最后由线面垂直的判定定理证明结论. 【详解】（1）依题意，， ∵G为△ABC的重心， ∴， 又∵， ∴[] . （2）连接C1E，AE， ∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1， ∴C1E＝AE， ∴△C1EA为等腰三角形， ∵O为AC1的中点， ∴OE⊥AC1， 同理可证 OE⊥BD1， ∵AC1∩BD1＝O， ∴OE⊥平面ABC1D1． 18．如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，从而可得，，在中，由勾股定理可得，由线面垂直的判定定理可得平面，即可证明平面平面； （2）利用空间向量求解. 【详解】（1）证明：因为在中，, 由正弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，所以， 在中，， 所以，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）解：取中点，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）可知平面，又因为，所以平面， 平面，所以， 所以以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以， 设， 所以， 则， 又因为, 所以直线的距离 ， 又因为， 所以， 解得或(舍)， 所以， 因为，， 设平面的法向量为， 则有， 取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 又因为，所以， 所以直线与平面所成的角为. 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M在椭圆C上移动，的周长为. (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，O为坐标原点，点P为直线上的动点，连接AP交椭圆于点Q（异于点A）.判断是否为定值，若是，求出该定值；若否，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，4 【分析】（1）由离心率及的周长列出方程组，解出与，进而求出椭圆方程； （2）设出，表达出直线，联立椭圆方程，表达出Q点坐标，计算出为4，得到答案. 【详解】（1）由题意得：离心率，由椭圆定义可得：的周长为，解得：，，则. ∴椭圆方程为. （2），，设，， 则，，， 则直线，即， 联立，得， ∵， ∴，， ∴，， ∴. 所以为定值4. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中考试模拟卷2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：新人教A版选择性必修第一册：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆. 考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．设直线l过原点，其倾斜角为，若将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 2．已知圆的圆心在直线上，且过两点，，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是圆上任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 7．已知椭圆C的焦点为、，若C上存在点P满足：，且（O为坐标原点），则C的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．与直线平行且到l的距离为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C没有公共点 11．正方体的棱长为分别为线段和中点，则（    ） A．到直线的距离为3 B．直线到直线的距离为3 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为1 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 13．点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为 ． 14．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．平面直角坐标系中，圆C过点，，且圆心C在直线上， （1）求圆C的标准方程； （2）求过点A 的圆C的切线方程. 16．已知直线：. (1)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程. (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值. 17．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1． （1）若G为△ABC的重心，，设，用向量表示向量； （2）若平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1＝O，求证：OE⊥平面ABC1D1． 18．如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M在椭圆C上移动，的周长为. (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，O为坐标原点，点P为直线上的动点，连接AP交椭圆于点Q（异于点A）.判断是否为定值，若是，求出该定值；若否，请说明理由. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $