第3章代数式 期中复习讲义（知识点清单+4大常考题清单+3大易错题型清单）2025-2026学年人教版七年级数学上学期

期中复习清单--第3章代数式 第1部分 知识点清单 一、代数式的概念与书写规范 1.代数式定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把______或表示数的______连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2.书写规范： 数字与字母相乘时，乘号通常写作“·”或省略不写，且数字写在字母______。 除法运算一般写成分数形式，如应写作______。 带分数与字母相乘时，需将带分数化为______，如应写作______。 3.书写规范纠错： 错误写法：应改为______。 错误写法：应改为______。 二、列代数式表示数量关系 1.基本步骤： 分析题目中的______关系，抓住关键词（如“和”“差”“积”“商”“倍”“分”等）。 明确运算顺序，必要时添加______。 2.常考题型： 增长率问题：原价为元，涨价后价格为______。 行程问题：速度为km/h，时间为小时，路程为______。 几何问题：边长为的正方形面积为______。 三、代数式的值 1.定义：用______代替代数式中的字母，按照代数式指定的运算顺序计算出的结果。 2.求值步骤： 代入：将字母的值代入代数式。 计算：按运算顺序计算结果。 3.常考题型： 直接代入：当时，代数式的值为______。 整体代入：已知，则代数式的值为______。 四、反比例关系 1.定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且它们的______一定，这两个量叫做成反比例的量。 2.表达式：若用和表示两个量，为常数()，则反比例关系可表示为______。 第2部分常考题型清单 【题型1】代数式的书写规范与概念识别 高频考点： 1.代数式的定义（区分等式、不等式与代数式） 2.代数式的书写规范（乘号省略、分数形式、带分数转化等） 3.单项式与多项式的判断（系数、次数、项的识别） 【例题1】．（2024-2025•淮安区校级月考）在下列各式中：①x；②ab＝ba；③5；④2m﹣1＞0；⑤．其中代数式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-1】．（2024-2025•思明区校级月考）下列代数式的书写格式规范的是（　　） A． B．a×b÷5+1 C．ab2 D． 【变式题1-2】．（2024-2025•南岗区校级月考）在下列各式：1，5t，，，9＞2，3y+2＝7，中，代数式共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式题1-3】．（2024-2025•瑞金市期末）下列代数式符合书写要求的是（　　） A． B．m×3 C．m÷2n D．3mn 【题型2】代数式求值与整体代入 高频考点： 1.直接代入法（注意符号和运算顺序） 2.整体代入法（如已知，求） 3.特殊值法（如赋值或求系数和) 【例题2】．（2024-2025•澄迈县校级模拟）当x＝﹣2时，代数式3x+1的值是（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 【变式题2-1】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）若2a2﹣3b＝5，则9b﹣6a2+2的值是（　　） A．17 B．15 C．﹣17 D．﹣13 【变式题2-2】．（2024-2025•苏州校级月考）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题2-3】．（2024-2025•威海期末）在数学学习中，运用整体思想方法在求代数式值的过程中非常重要．例如：已知2a2+4a＝2，则代数式4﹣2a2﹣4a＝4﹣（2a2+4a）＝4﹣2＝2． 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若x2﹣3x＝2，求1﹣x2+3x的值； （2）当x＝﹣1，y＝2时，代数值ax2y﹣bxy2的值是6，则当x＝1，y＝﹣2时，求代数式xy﹣ax2y+bxy2的值． 【题型3】整式的加减运算与应用 高频考点： 1.合并同类项(符号处理、指数运算) 2.去括号法则(括号前系数为负数时的符号变化) 3.实际问题中的整式应用(如周长、面积计算，费用优化) 【例题3】．（2024-2025•抚松县校级月考）若|a﹣1|+|b+2|＝0，求2a﹣b的值． 【变式题3-1】．（2024-2025•梁溪区月考）已知有理数a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，有理数e和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，求的值． 【变式题3-2】．（2024-2025•浦口区校级月考）如图所示的图形由一个正方形和一个长方形组成． （1）求该图形的面积（用含x的式子表示）； （2）若x＝1，求该图形的面积． 【变式题3-3】．（2024-2025•渝中区校级月考）某校组织七年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．每张门票原价是30元，暑假期间有优惠促销，预计有n人报名． 方案一：30人以上（含30人）可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买9张送1张，不满9张不赠送． 方案三：每满500元返还50元． （1）请你用含n的代数式表示方案一的费用． （2）最后一共有61名学生报名参加．请你算一算，哪种购票方案最划算？ 【题型4】规律探索与代数式表示 高频考点： 1.数字规律（如等差数列、等比数列、平方数列） 2.图形规律（如点阵、拼图、循环周期） 3.生活场景中的规律建模（如年龄问题、费用问题） 【例题4】．（2024-2025•钟楼区月考）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如（a+b）2＝a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①（x﹣1）2025的计算结果中x2024项的系数为﹣2025； ②（x﹣1）2025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025； ③当x＝﹣3时，（x﹣1）2025的计算结果为﹣24050； ④当x＝2025，（x﹣1）2025除以2025，余数为2023． 上述结论中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题4-1】．（2024-2025•拱墅区期末）我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用“”来表示代数式，观察其中的规律，则“”表示的代数式是（　　） A． B． C． D． 【变式题4-2】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）． （1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示） （2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下： 甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折； 乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃． 当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？ 【变式题4-3】．（2024-2025•秦安县期末）某地下停车场的收费标准如下表所示，已知小刚某日开车去购物游玩，10：00进场停车，当日20：00～24：00离开停车场，若设停车时间为x小时（x为正整数），则他此次停车的费用是（　　） 停车时段 收费方式 08：00～20：00 10元/小时，该时段最多收80元 20：00～08：00 5元/小时，该时段最多收40元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A．（5x+30）元 B．（5x+50）元 C．（5x+150）元 D．（5x+200）元 第3部分 题错题型清单 【题型5】去括号与符号处理错误 易错点预警： 括号前系数为负数时漏变号(如错误展开为) 多重括号去括号顺序错误(如错误化简为) 典型错误案例： 化简时，错误计算为，正确应为。 【例题5】．（2024-2025•丛台区校级一模）已知式子x﹣3y的值是3，则式子1﹣3x+9y的值是（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 【变式题5-1】．（2024-2025•东平县期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是（　　） A．156 B．231 C．6 D．21 【变式题5-2】．（2024-2025•威海期末）中学数学有一种重要的解题思维方式是“整体思想”． 例如：x2+x＝1，求x2+x+2022的值． 我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2022＝2023． 请运用“整体思想”解决下列问题： （1）①若m﹣3n＝﹣3，则（m﹣3n）2+3（m﹣3n）﹣2的值为　 　 ． ②已知a2﹣2b＝﹣7，则3+2a2﹣4b的值为　 　 ． （2）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当a+c＝﹣1，化简求值：﹣2|a+b|+2|c﹣b|． 【变式题5-3】．（2024-2025•达日县期末）综合与探究 【问题情境】 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如已知x2+x＝1，求x2+x+2024的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2024＝2025． 【探索发现】 如图，若a﹣b＝4，求长方形A与B的面积差． 【尝试应用】 若当x＝2时，代数式ax5+bx3+cx﹣1的值为m，当x＝﹣2时，求代数式ax5+bx3+cx+4的值．（用含m的代数式表示） 【题型6】代数式求值时的代入错误 易错点预警： 代入负数时漏加括号(如代入误算为) 整体代入时忽略系数变化(如已知，求误算为5) 典型错误案例： 已知，求时，错误计算为，正确应为(该案例实际正确，但常见错误是将直接替换为3后未乘系数)。 【例题6】．（2024-2025•嘉兴月考）已知代数式k2x+k，当x取一个值时，代数式k2x+k对应的值如下表所示：则下列代数式的值最大的是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 k2x+k 0 0.25 0.5 0.75 1 A．﹣4k2+2k B．﹣2k2+2k C．2k2+2k D．4k2+2k 【变式题6-1】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【变式题6-2】．（2024-2025•富平县期末）已知b＝2a2﹣4，则式子3﹣2a2+b的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7 【变式题6-3】．（2024-2025•乳山市期末）当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2，则当x＝﹣1时，该多项式的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【题型7】规律探索中的归纳错误 易错点预警： 1.未验证前几项导致规律错误(如数列1,3,6,10…误认为是等差数列) 2.图形规律中忽略循环周期(如旋转问题未发现4次一循环) 典型错误案例： 观察图形，第20个图形误判为，实际应为，对应。 【例题7】．（2024-2025•大洼区校级期末）如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动列点C，秤杆处于平衡，当秤盘中放入x克物品后移动秤砣．秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表，由表中数据的规律可知，当x＝24克时，y的长度是（　　） x/克 0 2 4 6 10 y/毫米 10 14 18 22 30 A．50毫米 B．52毫米 C．58毫米 D．60毫米 【变式题7-1】．（2024-2025•陕州区期末）在月历上，某些数满足一定的规律，某月的月历如图所示，任意选择其中含4个数的涂色方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述正确的是（　　） A．右上角的数为a﹣1 B．左下角的数为a+8 C．右下角的数为a+7 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【变式题7-2】．（2024-2025•闵行区校级月考）自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为2.5cm，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．则n个链节依次连在一起的长度是 　 　 cm． 【变式题7-3】．（2024-2025•凤阳县一模）如图，用5个实心圆圈，5个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串；相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 　 　 　 　 　 　 （1）把表格补充完整： （2）设圆环串由x个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数 　 　 个（用含x的代数式表示）； （3）如果圆环串由这样的圆环18个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习清单--第3章代数式 第1部分 知识点清单 一、代数式的概念与书写规范 1.代数式定义：用运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2.书写规范： 数字与字母相乘时，乘号通常写作“·”或省略不写，且数字写在字母前面。 除法运算一般写成分数形式，如应写作。 带分数与字母相乘时，需将带分数化为假分数，如应写作。 3.书写规范纠错： 错误写法：应改为。 错误写法：应改为。 二、列代数式表示数量关系 1.基本步骤： 分析题目中的数量关系，抓住关键词(如“和”“差”“积”“商”“倍”“分”等)。 明确运算顺序，必要时添加括号。 2.常考题型： 增长率问题：原价为元，涨价后价格为。 行程问题：速度为km/h，时间为小时，路程为。 几何问题：边长为的正方形面积为。 三、代数式的值 1.定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指定的运算顺序计算出的结果。 2.求值步骤： 代入：将字母的值代入代数式。 计算：按运算顺序计算结果。 3.常考题型： 直接代入：当时，代数式的值为5。 整体代入：已知，则代数式的值为13。 四、反比例关系 1.定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且它们的乘积一定，这两个量叫做成反比例的量。 2.表达式：若用和表示两个量，为常数()，则反比例关系可表示为。 第2部分常考题型清单 【题型1】代数式的书写规范与概念识别 高频考点： 1.代数式的定义（区分等式、不等式与代数式） 2.代数式的书写规范（乘号省略、分数形式、带分数转化等） 3.单项式与多项式的判断（系数、次数、项的识别） 【例题1】．（2024-2025•淮安区校级月考）在下列各式中：①x；②ab＝ba；③5；④2m﹣1＞0；⑤．其中代数式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：式子x，5，，符合代数式的定义，是代数式； 式子ab＝ba是等式，不是代数式； 式子2m﹣1＞0是不等式，不是代数式． 故代数式有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 【变式题1-1】．（2024-2025•思明区校级月考）下列代数式的书写格式规范的是（　　） A． B．a×b÷5+1 C．ab2 D． 【答案】D． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是2ab，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•南岗区校级月考）在下列各式：1，5t，，，9＞2，3y+2＝7，中，代数式共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：式子1，5t，，，，符合代数式的定义，是代数式； 式子9＞2是不等式，不是代数式； 式子3y+2＝7是等式，不是代数式． 故代数式有5个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 【变式题1-3】．（2024-2025•瑞金市期末）下列代数式符合书写要求的是（　　） A． B．m×3 C．m÷2n D．3mn 【答案】D 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是3m，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【题型2】代数式求值与整体代入 高频考点： 1.直接代入法（注意符号和运算顺序） 2.整体代入法（如已知，求） 3.特殊值法（如赋值或求系数和) 【例题2】．（2024-2025•澄迈县校级模拟）当x＝﹣2时，代数式3x+1的值是（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 【答案】A． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝﹣2时，原式＝3×（﹣2）+1＝﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题2-1】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）若2a2﹣3b＝5，则9b﹣6a2+2的值是（　　） A．17 B．15 C．﹣17 D．﹣13 【答案】D． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当2a2﹣3b＝5时，原式＝﹣3（2a2﹣3b）+2＝﹣3×5+2＝﹣13． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题2-2】．（2024-2025•苏州校级月考）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b＝0，cd＝1，由m的绝对值是2，得m＝±2，然后分类计算即可得出答案． 【解答】解：由条件可知a+b＝0，cd＝1，m＝±2， 当m＝2时，原式； 当m＝﹣2时，原式； 故的值为3， 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，相反数，倒数等知识点的应用，解题的关键是掌握知识点的应用． 【变式题2-3】．（2024-2025•威海期末）在数学学习中，运用整体思想方法在求代数式值的过程中非常重要．例如：已知2a2+4a＝2，则代数式4﹣2a2﹣4a＝4﹣（2a2+4a）＝4﹣2＝2． 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若x2﹣3x＝2，求1﹣x2+3x的值； （2）当x＝﹣1，y＝2时，代数值ax2y﹣bxy2的值是6，则当x＝1，y＝﹣2时，求代数式xy﹣ax2y+bxy2的值． 【答案】（1）﹣1； （2）4． 【分析】（1）将1+3x﹣x2变形为1﹣（x2﹣3x），再将x2﹣3x＝2代入即可； （2）将x＝﹣1，y＝2代入ax2y﹣bxy2求出2a+4b，再利用整体代入法即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知1﹣x2+3x＝1﹣（x2﹣3x）＝1﹣2＝﹣1； （2）由条件可得12×2a﹣1×22b＝6， ∴2a+4b＝6， ∴当x＝1，y＝﹣2时，xy﹣ax2y+bxy2的 xy﹣ax2y+bxy2＝﹣2+2a+4b＝﹣2+6＝4． 【点评】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 【题型3】整式的加减运算与应用 高频考点： 1.合并同类项(符号处理、指数运算) 2.去括号法则(括号前系数为负数时的符号变化) 3.实际问题中的整式应用(如周长、面积计算，费用优化) 【例题3】．（2024-2025•抚松县校级月考）若|a﹣1|+|b+2|＝0，求2a﹣b的值． 【答案】4 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣1|+|b+2|＝0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴2a﹣b＝2×1﹣（﹣2）＝4． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•梁溪区月考）已知有理数a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，有理数e和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，求的值． 【答案】1或25． 【分析】利用相反数，倒数，以及数轴的性质确定出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：a+b＝0，1，cd＝1，e＝1或﹣5， 当e＝1时，原式＝1+1+0﹣1＝1；当e＝﹣5时，原式＝25+1+0﹣1＝25． 【点评】此题考查了有理数的混合运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•浦口区校级月考）如图所示的图形由一个正方形和一个长方形组成． （1）求该图形的面积（用含x的式子表示）； （2）若x＝1，求该图形的面积． 【答案】（1）x2+9x； （2）10， 【分析】（1）利用正方形和长方形面积公式，根据正方形的面积+长方形的面积列式计算即可； （2）把x＝1代入（1）中得到的代数式并求值即可． 【解答】解：（1）x2+3×3x＝x2+9x， ∴该图形的面积是x2+9x． （2）当x＝1时， x2+9x ＝12+9×1 ＝10， ∴该图形的面积是10． 【点评】本题考查列代数式、代数式求值，掌握正方形和长方形面积计算公式是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•渝中区校级月考）某校组织七年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．每张门票原价是30元，暑假期间有优惠促销，预计有n人报名． 方案一：30人以上（含30人）可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买9张送1张，不满9张不赠送． 方案三：每满500元返还50元． （1）请你用含n的代数式表示方案一的费用． （2）最后一共有61名学生报名参加．请你算一算，哪种购票方案最划算？ 【答案】（1）当n＜30时，费用为30n元，当n≥30时，费用为27n元； （2）方案一购票方案最划算． 【分析】（1）分两种情况列代数式即可； （2）根据题意，运用有理数的混合运算法则计算每种方案的钱数，比较即可． 【解答】解：（1）当n＜30时，费用为30n元， 当n≥30时，费用为30×0.9n＝27n元， （2）方案一：30人以上可购团体票，每张按九折出售， 61×30×90%＝1647（元）； 方案二：61人需61张票，可认为需要6组10张票和1张单票， 因此需买6组“9送1”的票并单买1张， 共需付费的票数为 9×6+1＝55（张），费用为 55×30＝1650（元）； 方案三：61×30＝1830（元），1830÷500＝3⋯⋯330， ∴1830﹣3×50＝1680（元）； ∵1647＜1650＜1680， ∴第一种购票方案最划算． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，列代数式，理解数量关系，正确列式求解是关键． 【题型4】规律探索与代数式表示 高频考点： 1.数字规律（如等差数列、等比数列、平方数列） 2.图形规律（如点阵、拼图、循环周期） 3.生活场景中的规律建模（如年龄问题、费用问题） 【例题4】．（2024-2025•钟楼区月考）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如（a+b）2＝a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①（x﹣1）2025的计算结果中x2024项的系数为﹣2025； ②（x﹣1）2025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025； ③当x＝﹣3时，（x﹣1）2025的计算结果为﹣24050； ④当x＝2025，（x﹣1）2025除以2025，余数为2023． 上述结论中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①x2024项为kx2024•（﹣1），其中k为第2026行的第2个数2025，则系数为2025×（﹣1）＝﹣2025； ②通过“杨辉三角”得到规律：第n行系数的绝对值之和为2n﹣1，所以（x﹣1）2025所在的第2026行系数的绝对值之和为22025； ③第n行计算结果为（﹣3﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1•4n﹣1，所以（x﹣1）2025的计算结果为﹣24050； ④“杨辉三角”奇数行除以2025余数为1，偶数行除以2025余数为2024，所以（x﹣1）2025除以2025余数为2024， 【解答】解：根据“杨辉三角”得到的规律，逐项分析判断如下： ①观察“杨辉三角”可知，（a+b）n各项系数对应“杨辉三角”中第n+1行的数，该行共有n+1个数， an项的系数对应“杨辉三角”所在行的第1个数，an﹣1项的系数对应第2个数，a项的系数对应第n+1个数， （x﹣1）2025各项系数对应“杨辉三角”中第2026行的数， x2024项的系数对应“杨辉三角”所在行的第2个数，即2025， 由于（x﹣1）2025中，b＝﹣1， ∴x2024项的系数为﹣2025，说法正确，符合题意； ②首先在“杨辉三角”中找规律， 第3行系数的绝对值之和为1+2+1＝22， 第4行系数的绝对值之和为1+3+3+1＝23， 第5行系数的绝对值之和为1+4+6+4+1＝24， ∴第n行系数的绝对值之和为2n﹣1， ∴（x﹣1）2025所在的第2026行系数的绝对值之和为22025，说法正确，符合题意； ③当x＝﹣3时， 第3行计算结果为42， 第4行计算结果为﹣43， 第5行计算结果为44， 因此第n行计算结果为 （﹣3﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1•4n﹣1， ∴（x﹣1）2025的计算结果为（﹣3﹣1）2026﹣1＝（﹣1）2026﹣1•42026﹣1＝﹣42025＝﹣24050，说法正确，符合题意； ④当x＝2025时， 计算第3行除以2025，，余数为1， 计算第4行除以2025，，余数为2024， 计算第5行除以2025，，余数为1， 因此得出规律，奇数行除以2025，余数为1，偶数行除以2025，余数为2024， （x﹣1）2025系数所在行为2026行，为偶数行， ∴（x﹣1）2025除以2025余数为2024，说法错误，不符合题意． 综上所述符合题意有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的计算方法是关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•拱墅区期末）我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用“”来表示代数式，观察其中的规律，则“”表示的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意即可得出答案． 【解答】解：由题意可得， 原式表示． 故选：C． 【点评】本题主要考查列代数式，理解题意是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•沙坪坝区校级月考）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）． （1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示） （2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下： 甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折； 乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃． 当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？ 【答案】（1）30x2平方米的艺术玻璃，（10xy﹣30x2）平方米的实木材料； （2）当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要0.3平方米的艺术玻璃和1.7平方米的实木材料；该酒店在乙厂商购买屏风合算，最终总费用是1268元． 【分析】（1）根据3个形状由1个正方形和4个半圆形构成的图形面积得出艺术玻璃的面积，根据长方形的面积减去艺术玻璃的面积得出实木材料的面积； （2）将x＝0.1，y＝2代入（1）中代数式，求得艺术玻璃和实木材料的面积，进而分别计算甲、乙的费用，比较大小，即可求解． 【解答】解：（1）需要平方米的艺术玻璃，（10xy﹣30x2）平方米的实木材料； （2）当x＝0.1，y＝2时，30x2＝10×0.12＝0.3平方米的艺术玻璃， 10xy﹣30x2＝10×0.1×2﹣0.3＝1.7平方米的实木材料， 甲厂商：（0.3×500+1.7×800）×0.9＝1359（元）， 乙厂商购买实木材料费用：（元）， ∵1268＜1359， ∴该酒店在乙厂商购买屏风合算，最终总费用是1268元． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•秦安县期末）某地下停车场的收费标准如下表所示，已知小刚某日开车去购物游玩，10：00进场停车，当日20：00～24：00离开停车场，若设停车时间为x小时（x为正整数），则他此次停车的费用是（　　） 停车时段 收费方式 08：00～20：00 10元/小时，该时段最多收80元 20：00～08：00 5元/小时，该时段最多收40元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A．（5x+30）元 B．（5x+50）元 C．（5x+150）元 D．（5x+200）元 【答案】A 【分析】先判断08：00～20：00停车时段的收费情况，再算出剩下时间的收费，用加法计算即可． 【解答】解：20﹣10＝10（小时）， 10×10＝100（元）， ∵100＞80， ∴80+5（x﹣10） ＝80+5x﹣50 ＝（30+5x）元． 故选：A． 【点评】本题主要考查列代数式，理解题意是解题的关键． 第3部分 题错题型清单 【题型5】去括号与符号处理错误 易错点预警： 括号前系数为负数时漏变号(如错误展开为) 多重括号去括号顺序错误(如错误化简为) 典型错误案例： 化简时，错误计算为，正确应为。 【例题5】．（2024-2025•丛台区校级一模）已知式子x﹣3y的值是3，则式子1﹣3x+9y的值是（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵1﹣3x+9y＝﹣3x+9y+1， ∴当x﹣3y＝3时，原式＝﹣3x+9y+1＝﹣3（x﹣3y）+1＝﹣3×3+1＝﹣8． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题5-1】．（2024-2025•东平县期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是（　　） A．156 B．231 C．6 D．21 【答案】B 【分析】先把x＝3代入代数式得代数式的值为6，利用计算程序，再把x＝6代入代数式的值为21；接着把x＝21代入代数式得231，从而得到最后输出的结果． 【解答】解：当x＝3时，3×（3+1）＝6； 当x＝6时，6×（6+1）＝21； 当x＝21时，21×（21+1）＝231＞100， 所以最后输出的结果是231， 故选：B． 【点评】本题考查了代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 【变式题5-2】．（2024-2025•威海期末）中学数学有一种重要的解题思维方式是“整体思想”． 例如：x2+x＝1，求x2+x+2022的值． 我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2022＝2023． 请运用“整体思想”解决下列问题： （1）①若m﹣3n＝﹣3，则（m﹣3n）2+3（m﹣3n）﹣2的值为　﹣2　 ． ②已知a2﹣2b＝﹣7，则3+2a2﹣4b的值为　﹣11　 ． （2）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当a+c＝﹣1，化简求值：﹣2|a+b|+2|c﹣b|． 【答案】（1）①﹣2； ②﹣11； （2）﹣2． 【分析】（1）①利用整体思想，代入求值即可； ②代数式变形后，利用整体思想，代入求值即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值后，整体思想求值即可． 【解答】解：（1）①∵m﹣3n＝﹣3， ∴（m﹣3n）2+3（m﹣3n）﹣2 ＝（﹣3）2+3×（﹣3）﹣2 ＝9﹣9﹣2 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． ②∵a2﹣2b＝﹣7， ∴3+2a2﹣4b ＝3+2（a2﹣2b） ＝3+2×（﹣7） ＝﹣11． 故答案为：﹣11． （2）由数轴可知：a＜b＜0＜c， ∴a+b＜0，c﹣b＞0， ∴﹣2|a+b|+2|c﹣b| ＝﹣2（﹣a﹣b）+2（c﹣b） ＝2a+2b+2c﹣2b ＝2a+2c ＝2（a+c）， ∵a+c＝﹣1， ∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2． 【点评】本题考查代数式求值、数轴、绝对值，熟练掌握整体思想，是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•达日县期末）综合与探究 【问题情境】 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．例如已知x2+x＝1，求x2+x+2024的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2024＝2025． 【探索发现】 如图，若a﹣b＝4，求长方形A与B的面积差． 【尝试应用】 若当x＝2时，代数式ax5+bx3+cx﹣1的值为m，当x＝﹣2时，求代数式ax5+bx3+cx+4的值．（用含m的代数式表示） 【答案】【探索发现】8；【尝试应用】﹣m+3． 【分析】【探索发现】长方形的面积＝长×宽，分别表示出长方形A、B的面积，再求出差即可； 【尝试应用】将x＝2代入，求出m＝32a+8b+2c﹣1，将x＝﹣2代入，求出ax5+bx3+cx+4＝﹣32a﹣8b﹣2c+4＝﹣（32a+8b+2c）+4＝﹣m+3，据此解答． 【解答】解：【探索发现】 4（5a﹣2b）﹣3（6a﹣2b） ＝20a﹣8b﹣18a+6b ＝2a﹣2b， ∵a﹣b＝4， ∴原式＝2（a﹣b）＝8． 【尝试应用】 当x＝2时，则m＝32a+8b+2c﹣1， 所以m+1＝32a+8b+2c， 当x＝﹣2时， ax5+bx3+cx+4 ＝﹣32a﹣8b﹣2c+4 ＝﹣（32a+8b+2c）+4 ＝﹣（m+1）+4 ＝﹣m+3． 【点评】本题考查了代数式求值、列代数式，解决本题的关键是熟练运用整体代入思想． 【题型6】代数式求值时的代入错误 易错点预警： 代入负数时漏加括号(如代入误算为) 整体代入时忽略系数变化(如已知，求误算为5) 典型错误案例： 已知，求时，错误计算为，正确应为(该案例实际正确，但常见错误是将直接替换为3后未乘系数)。 【例题6】．（2024-2025•嘉兴月考）已知代数式k2x+k，当x取一个值时，代数式k2x+k对应的值如下表所示：则下列代数式的值最大的是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 k2x+k 0 0.25 0.5 0.75 1 A．﹣4k2+2k B．﹣2k2+2k C．2k2+2k D．4k2+2k 【答案】D 【分析】先根据x＝﹣2以及x＝0时k2x+k＝0求出k的关系，再分别代入选项中的代数式求值，最后比较大小． 【解答】解：当x＝﹣2时，k2x+k＝﹣2k2+k＝0①， 当x＝0时，k2x+k＝0+k＝0.5②， 由①②解得：k＝0.5， 当k＝0.5时， A、﹣4k2+2k＝﹣4×0.52+2×0.5＝﹣4×0.5+1＝﹣1+1＝0； B、﹣2k2+2k＝﹣2×0.52+2×0.5＝﹣2×0.25+1＝﹣0.5+1＝0.5； C、2k2+2k＝2×0.52+2×0.5＝2×0.25+1＝0.5+1＝1.5； D、4k2+2k＝4×0.52+2×0.5＝4×0.25+1＝1+1＝2， ∵， ∴4k2+2k的值最大． 故选：D． 【点评】本题考查了代数式求值，有理数大小比较，掌握代数式求值的方法是关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【答案】D 【分析】把m＝1，n＝﹣2代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：由题意可得： ∴原式＝2×1﹣（﹣2）＝2+2＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了代数式求值，正确进行计算是解题关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•富平县期末）已知b＝2a2﹣4，则式子3﹣2a2+b的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7 【答案】B 【分析】将b＝2a2﹣4代入3﹣2a2+b，再合并同类项即可． 【解答】解：∵b＝2a2﹣4， ∴3﹣2a2+b ＝3﹣2a2+2a2﹣4 ＝3﹣4 ＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，掌握用整体代入法求代数式的值是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•乳山市期末）当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2，则当x＝﹣1时，该多项式的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】由已知先求出a+b的值，再整体代入即可得到答案． 【解答】解：∵当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2， ∴a+b﹣2＝2， ∴a+b＝4， 当x＝﹣1时， ax3+bx﹣2 ＝﹣a﹣b﹣2 ＝﹣（a+b）﹣2 ＝﹣4﹣2 ＝﹣6， 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的应用． 【题型7】规律探索中的归纳错误 易错点预警： 1.未验证前几项导致规律错误(如数列1,3,6,10…误认为是等差数列) 2.图形规律中忽略循环周期(如旋转问题未发现4次一循环) 典型错误案例： 观察图形，第20个图形误判为，实际应为，对应。 【例题7】．（2024-2025•大洼区校级期末）如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动列点C，秤杆处于平衡，当秤盘中放入x克物品后移动秤砣．秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表，由表中数据的规律可知，当x＝24克时，y的长度是（　　） x/克 0 2 4 6 10 y/毫米 10 14 18 22 30 A．50毫米 B．52毫米 C．58毫米 D．60毫米 【答案】C 【分析】先观察表格中数据的变化规律，找到x与y之间的数量关系，再将x＝24代入求出y的值． 【解答】解：当x＝0时，y＝10； 当x＝2时，y＝14， 当x＝4时，y＝18， 当x＝6时，y＝22， 当x＝8时，y＝26， ∴y＝10+2x， ∴x＝24时，y＝10+2×24＝10+48＝58． 故选：C． 【点评】本题主要考查了通过数据找规律，熟练掌握观察数据变化趋势并总结规律是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•陕州区期末）在月历上，某些数满足一定的规律，某月的月历如图所示，任意选择其中含4个数的涂色方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述正确的是（　　） A．右上角的数为a﹣1 B．左下角的数为a+8 C．右下角的数为a+7 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据月历特点上下相差7，左右相差1的特点即可得解． 【解答】解：当左上角的数为a时， A、右上角的数为a+1，不符合题意； B、左下角的数为a+7，不符合题意； C、右下角的数为a+8，不符合题意； D、∵a+（a+1）+（a+7）+（a+8）＝4a+16＝4（a+4）， ∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式的加法，代数式的应用，熟练掌握其月历规律是解决此题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•闵行区校级月考）自行车的链条由一个个小的链节组成，如图，每个链节的长度为2.5cm，链节与链节之间交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．则n个链节依次连在一起的长度是 　（1.7n+0.8）　 cm． 【答案】（1.7n+0.8）． 【分析】根据图形，可以发现连节长度的变化特点，从而可以写出n个链节依次连在一起的长度，进而问题可求解． 【解答】解：0.8+（2.5﹣0.8）n＝（1.7n+0.8）cm， 故答案为：（1.7n+0.8）． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式题7-3】．（2024-2025•凤阳县一模）如图，用5个实心圆圈，5个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串；相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 　37　 　46　 　55　 （1）把表格补充完整： （2）设圆环串由x个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数 　（9x+1）　 个（用含x的代数式表示）； （3）如果圆环串由这样的圆环18个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【答案】（1）表格补充完整见解析；（2）（9x+1）；（3）实心圆圈和空心圆圈的总数有9×18+1＝163个，空心圆圈有81个． 【分析】（1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数． 【解答】解：（1）表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 37 46 55 （2）∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个， ∴当圆环串由x个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为（9x+1）个， 故答案为：（9x+1）； （3）当x＝18时，实心圆圈和空心圆圈的总数有9×18+1＝163个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个， ∴空心圆圈有个． 【点评】本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $