18.4 整数指数幂 导学案 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦整数指数幂与科学记数法，第1课时通过自主预习回顾正整数指数幂运算性质，结合分式约分与同底数幂除法引入负整数指数幂，搭建从旧知到新知的学习支架，第2课时在此基础上学习用科学记数法表示小于1的正数。 资料以“自主预习-合作探究-题型精讲-变式训练”为主线，通过实例推导负整数指数幂意义，结合跨学科问题（如单位换算、水分子质量）培养学生运算能力与推理意识，分层练习设计助力学生用数学语言表达现实问题，发展应用意识。

18.4　第1课时　整数指数幂 素养目标 1.了解负整数指数幂的概念. 2.掌握整数指数幂的运算性质,会进行简单的整数指数幂的运算. 运用整数指数幂的性质进行运算. 【自主预习】 正整数指数幂的运算性质有哪些? 1.计算2-1的值为 ( ) A.2 B. C.-2 D.-1 2.计算:3-2+(-2 026)0=　　　　.  【合作探究】 知识点：整数指数幂 　　阅读课本本课时内容后填空. 1.负整数指数幂: (1)分式的约分:当a≠0时,a3÷a5=== .  (2)同底数幂除法的计算: a3÷a5= = .  　　当n是正整数时,a-n=(a≠0),即a-n(a≠0)是 的倒数.  2.整数指数幂的运算性质: (1)am÷an=am· =am· = .  (2)n=(a· )n=an·b-n.  整数指数幂的运算性质: (1)am·an= (m,n是整数);  (2)(am)n= (m,n是整数);  (3)(ab)n= (n是整数).  1.6-1的相反数是 ( ) A. B.6 C.- .-6 2.2-3与23的数量关系是 ( ) A.相等 B.2-3+23=24 C.互为相反数 D.互为倒数 3.计算:a-2÷a-5=　　　　.  4.若4-3×4-1×40=4p,则p的值为　　　　.  题型1 整数指数幂的有关计算 例1　计算:(1)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3; (2)|-1|+(-2)-2+(7-π)0--1. 【方法归纳交流】整数指数幂的运算: (1)运算顺序:先 ,再 ,最后算 ,有括号先算 的.  (2)运算结果:把幂指数化为正整数. (3)注意事项:①分清所运用的幂的性质,不要混淆;②不要把指数的负号写在字母的前面,出现a-2=-a2的错误. 例2　用两种方法计算:(a2b-1)3·(a-3b)2. 【方法归纳交流】对于含有负整数指数幂的运算,计算方法和正整数指数幂的运算是一样的,一般有两种运算方法:一是先把负整数指数幂转化为 的形式,再计算;二是直接根据 的运算计算,但要注意结果中不能含有负整数指数幂的形式.  变式训练　 1.计算:(π-2 026)0-1-3-|-3|+. 2.计算:(1)(-2x-2y3z)2÷(-xy2z-2)-3; (2)(a+b)-4·(a+b)3÷(a+b). 题型2 整数指数幂的求值 例3　已知3m=,n=16,求mn的值. 变式训练　已知5x-3y+2=0,求105x÷103y的值. 18.4　第2课时　科学记数法 1.了解10的负整数指数幂表示的意义. 2.用科学记数法表示小于1的正数. 用科学记数法表示小于1的正数. 【自主预习】 1.用科学记数法表示0.00056. 2.用小数表示:3.2×10-3. 1.世界上最小的花是无根萍,它长约0.3 mm,已知1 mm=0.001 m,0.3 mm用科学记数法表示为 ( ) A.3×10-3m B.3×10-4m C.3×103m D.0.3×10-4m 2.若把小数0.0000000618用科学记数法表示为6.18×10n的形式,则n的值为　　　　.  【合作探究】 知识点一：用科学记数法表示小于1的数 　　阅读课本本课时开始到“思考”的内容,解答下列问题. 1.探索:10-1= ,10-2= ,10-3= ,10-4= ,…,10-n==1.  2.大胆尝试:0.01=10-2; 0.000 001= ;  0.000 025 7=2.57×0.000 01= ;  0.000 000 125= = .  3.思考:用科学记数法a×10n表示小于1的正数中的n,与该正数左起第一个非0数字前所有0的个数有什么关系? 　　小于1的正数用科学记数法表示为 ,其中1≤a<10,n是正整数,n的值等于 的个数.  1.世界上有一种开花结果植物的果实质量只有0.0000000076g,0.0000000076用科学记数法表示为 ( ) A.7.6×10-8 B.7.6×10-9 C.76×10-10 D.0.76×10-8 2.请把下列数用科学记数法表示: (1)0.000 005 7= ;  (2)0.000 203= .  知识点二：科学记数法的实际应用 　　阅读课本本课时“例2”的内容,解答下列问题. 1.μm与nm都是长度单位,它们都可以转化成m的倍数,1μm=　　　　m;1nm=　　　　m;因此70μm=　　　　m;2nm=　　　　m;20nm=　　　　m.  2.单位换算:1nm=　　　　μm=　　　　mm=　　　　m=　　　　km.  3.计算:(1)(8×10-6)÷(5×10-3)=　　　　;(2)(2×10-5)2÷(8×10-3)=　　　　.  (结果都用科学记数法表示) (跨学科)水由氢、氧两种元素组成.一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子.一个氢原子的质量约为1.674×10-27kg,一个氧原子的质量约为2.657×10-26kg,一个水分子的质量大约是 ( ) A.3.6137×10-25kg B.2.8244×10-26kg C.2.9918×10-26kg D.3.6137×10-27kg 题型1 科学记数法的有关计算 例1　计算:(3×10-3)×(5×10-6). 【方法归纳交流】用科学记数法表示的数的运算,要将数和数进行乘除,10的负整数指数幂进行乘除. 变式训练　(新考法)如图,有4个小圆,自左向右分别标记为①②③④,在每个小圆中分别填写一个有理数,且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的. (1)若第④个小圆中填写的数是3240,请用科学记数法表示第①个小圆中所填写的数. (2)若第①个小圆中填写的数是,请用科学记数法表示第④个小圆中所填写的数. 题型2 科学记数法的应用 例2　水滴均匀不断地滴在一块石头的同一点上,经过40年,石头的这一点形成一个深为4×10-2 m的小洞,问平均每个月小洞的深度增加多少米?(精确到百万分位,用科学记数法表示) 变式训练 1.已知一个水分子的直径约为3.85×10-9米,某花粉的直径约为7.7×10-4米.该花粉直径是一个水分子的直径的 ( ) A.2×104倍 B.2×106倍 C.2×105倍 D.2×10-5倍 2.(新趋势)有一句谚语说:“捡了芝麻,丢了西瓜.”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事,却忽略了具有重大意义的大事.据测算,一粒芝麻的质量约有0.000 002 5 kg,则十粒芝麻的质量用科学记数法表示为 kg.  3.已知某个正方体盲盒的棱长为0.4m. (1)这个盲盒的体积是多少(用科学记数法表示)? (2)若有一个小立方块的棱长为1×10-3m,则需要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满? 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:am·an=am+n(a≠0,m,n是正整数),am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数);(am)n=amn(a≠0,m,n是正整数);(ab)n=anbn(a≠0,b≠0,n是正整数). 自学检测 1.B　2. 【合作探究】 知识生成 知识点 1.(1)　(2)a3-5　a-2 归纳总结　an 2.(1)　a-n　am-n　(2)b-1 归纳总结　(1)am+n　(2)amn　(3)anbn 对点训练 1.C　2.D　3.a3　4.-4 题型精讲 题型1 例1 解:(1)原式=(2-2a-2b-4c6)÷(a-6b3)=. (2)原式=1++1-3=-. 方法归纳交流　乘方　乘除　加减　括号内 例2 解:(方法一)(a2b-1)3·(a-3b)2=a6b-3·a-6b2=a0b-1=; (方法二)(a2b-1)3·(a-3b)2=3·2=·=. 方法归纳交流　正整数指数幂　负整数指数幂 变式训练 1.解:原式=1-1-3+27=24. 2.解:(1)原式=4x-4y6z2÷(-x-3y-6z6) =-4x-1y12z-4=-. (2)原式=(a+b)-4+3-1=(a+b)-2==. 题型2 例3 解:∵3m===3-3,即3m=3-3, ∴m=-3. 又∵n=16=24==-4, 即n=-4, ∴n=-4, ∴mn=(-3)-4==. 变式训练 解:∵5x-3y+2=0, ∴5x-3y=-2, ∴105x÷103y=105x-3y=10-2==0.01. 第2课时 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:0.00056=5.6×10-4. 2.解:3.2×10-3=0.0032. 自学检测 1.B　2.-8 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.0.1　0.01　0.001　0.0001 2.10-6　2.57×10-5　1.25×0.0000001 1.25×10-7 3.解:相等. 归纳总结　a×10-n　原数中左起第一个非0数字前面0 对点训练 1.B　2.(1)5.7×10-6　(2)2.03×10-4　 知识点二 1.1×10-6　1×10-9　70×10-6(或7×10-5)　 2×10-9　20×10-9(或2×10-8) 2.1×10-3　1×10-6　1×10-9　1×10-12 3.(1)1.6×10-3　(2)5×10-8 对点训练 C 题型精讲 题型1 例1 解:原式=15×10-3×10-6 =15×10-9 =1.5×10-8. 变式训练 解:(1)由题意,得第①个小圆中所填写的数为3240×10×10×10=3240000=3.24×106. (2)由题意,得第④个小圆中所填写的数为×××=0.000002=2×10-6. 题型2 例2 解:由题意得4×10-2÷(40×12)=4×10-2÷480≈8.3×10-5, ∴平均每个月小洞的深度增加约8.3×10-5 m. 变式训练 1.C　2.2.5×10-5 3.解:(1)根据题意可得0.43=6.4×10-2(m3), ∴这个盲盒的体积是6.4×10-2m3. (2)∵6.4×10-2÷(1×10-3)3=64000000(个), ∴需要64000000个这样的小立方块才能将盲盒装满. 学科网（北京）股份有限公司 $