2.6.1直线与圆的位置关系第一课时 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

附件2： 2025年第二届“学科网杯”全国中小学课件大 赛教学设计模板 教学设计 （注：标题采用四号宋体，正文采用五号宋体，1.5倍行距） 课程基本信息 课题 2.6.1直线与圆的位置关系（第一课时） 课型 新授课 学科 数学 年级 高二 学段 高中 版本章节 湘教版选择性必修一第二章 教学目标 1.理解直线与圆的三种位置关系；能根据直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式； 3.强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力，培养学生数形结合的思想。 教学重难点 1.理解直线与圆的三种位置关系（重点）； 2.会判断直线与圆的位置关系（重点）； 3.体会和理解解析法解决几何问题的数学思想（难点）。 学情分析 学生初中已经学过直线与圆的位置关系，前面又学过直线、圆的方程，对“坐标法” 已初步了解，对特殊到一般的数学活动过程已有一定的体会，初步具备了数形结合的思想，为本节课的学习奠定了一定的基础。本节课容量大，对数形结合、归纳推理等能力有较高要求，这也是学习本节课的难点所在。 教学准备 本节课是湘教版《普通高中教科书》选择性必修第一册，第2章《平面解析几何初步》第六部分“直线与圆、圆与圆的位置关系”中“2.6.1 直线与圆的位置关系”的第一节课的内容。它是在学生已经掌握“直线的方程”和“圆的方程”的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系。初中学生已经学过直线与圆的位置关系及判定方法，本节课没有重新定义的概念，将继续通过方程用“坐标法”研究直线与圆的位置关系的问题，为直线与圆锥曲线的位置关系的学习奠定基础。新课标要求会判断直线与圆的位置关系，为了达到新课标要求，本节课的重要知识点是借助直线的方程和圆的方程来判断直线与圆的位置关系。本节课的学习过程体现了数形结合、等价转化、由特殊到一般的思想方法。结合本课的教学内容与学情分析，教学过程中恰当地利用多媒体课件、希沃白板和视频展台等辅助教学，采用“探究合作式”问题教学法，将知识问题化，用问题引领学习活动，教师起着点拨和指导的作用。 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计 环节一：【引入新知】 （问题情景）：首先，“图片展示”我国女子网球运动员李娜，并和学生分享关于她的故事；然后，“视频播放”一段2014年澳网比赛中，李娜对战捷克名将萨法洛娃的片段。以视频最后萨法洛娃挑战鹰眼的画面为情境，引导学生：如果我们把网球在地面上形成的影子近似看作圆，把边界线近似看作一条直线，那么，网球是否出界，是由它们之间的什么来决定的？ 【师生活动】：学生讨论、交流，把实际问题转化成判断直线、圆的位置关系的数学问题，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课，板书课题。 通过实际问题转化成数学问题，让学生认识到数学是刻画表达各种现象的重要方法，数学已不仅是一门学科，还是一门技术。 通过“图片展示”和“视频插入”，激发学生的上进心、求知欲，培养学生用数学的意识和能力，落实学习目标。 环节二：【展示目标】 1.理解直线与圆的三种位置关系（重点）； 2.会判断直线与圆的位置关系（重点）； 3.体会和理解解析法解决几何问题的数学思想（难点）。 使学生明确本节是单元学习中的一部分，有助于加深各节内容间的联系，将知识系统化。 环节三：【知识回顾】 （复习回顾1）：（PPT展示）上一节课学习了圆的方程，提问学生A回答圆的标准方程； （复习回顾2）：（PPT展示）提问学生B回答圆的一般方程； 【师生活动】：师生共同回顾圆的方程，加深对上一节课的内容的理解。 巩固旧知，承上启下。 积极倡导以学生为主体的课堂教学理念。 环节四：【探索新知】 （视频穿插）：一段关于“直线与圆的位置关系”的古希腊趣味小故事。 （协作回顾1）：初中平面几何中，直线与圆有几种位置关系? （协作回顾2）：初中平面几何中，如何判断直线与圆的位置关系？ 【师生活动】：（希沃白板）方法一：借助几何画板，通过几何直观，判断直线与圆的位置关系，即通过判断直线与圆公共点的个数判断直线与圆的位置关系，有： （1）相交：两个公共点； （2）相切：一个公共点； （3）相离：没有公共点。 .O .O .O （希沃白板）方法二：借助几何画板，“动态展示”初中对直线与圆的位置关系的认识。可以通过直线与圆心的相对位置来判断，记圆心到直线的距离为，圆的半径为，有： （1）相交：； （2）相切：； （3）相离：。 .O .O .O 从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解，为新知的学习奠定基础。 借助多媒体手段，丰富教学资源，激活课堂气氛，更大程度调动学生学习的积极性。 环节五：【发现问题】 （思 考）：前面我们学习了用直线的方程研究了两直线的位置关系，类比用直线的方程研究两直线的位置关系的方法，我们可以用直线和圆的方程，来研究直线与圆的位置关系吗？ 【师生活动一】：（PPT展示）回顾用直线的方程研究两直线的位置关系的方法。 【师生活动二】：（PPT展示）类比用直线的方程研究两直线的位置关系的方法，我们可以用代数式探究交点的个数来判断。已知直线 O 几何问题 代数问题 方程组解的个数 直线与圆 的位置关系 转化 解方程 转化 解释 让学生利用已有的知识，用直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验“形”向“数”的转化及坐标法的思想方法，总结坐标法解题的“三步曲”，“三步曲”形式上体现了坐标法的表现方式，内涵上体现了解析几何的本质。 积极倡导以学生为主体的课堂教学理念。 环节六：【知识拓展】 例题 已知直线和圆，判断直线与圆的位置关系。 【师生活动一】：追问1：直线与圆的方程联立组成的方程组，如何判断解的个数? 相交 相切 相离 【师生活动二】：方法一（代数法） 联立直线和圆C的方程，得 ，消去y,得 因为 所以直线和圆C有两个公共点，所以相交。 【师生活动三】：追问2：研究直线与圆的位置关系问题的基本思路是什么？ · 思路1 · 几何-代数→联立、解方程组→代数-几何 · 位置关系⇔公共点个数 【师生活动四】：追问3：还有没有其他判断直线与圆的位置关系的方法呢？ 利用“点线距”，即利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断。 相交 相切 相离 【师生活动五】：方法二（几何法） 将圆C的方程化为标准方程 可知圆心C的坐标，半径 所以圆心C到直线的距离 所以直线和圆C相交。 【师生活动六】：在平面上建立直角坐标系之后，直线用二元一次方程 表示，圆用二元二次方程表示。有两种方法可以判断直线和圆的位置关系： 方法一（代数法） 联立直线和圆C的方程 解此方程组，通过解的个数判断直线与圆的位置关系。 注：消元，得到关于x或y的一元二次方程，通过判断∆的符号确定一元二次方程解的个数，即方程组解的个数。 方法二（几何法） 由圆的方程计算出圆心坐标和半径，将圆心到直线的距离 d与半径 r 进行比较，进而判断直线与圆的位置关系。 让学生由特殊到一般，对知识进行梳理，概括出利用直线与圆的方程来判断它们位置关系的两种方法，并对两种判断方法做比较，几何法属圆的个性范畴，不能推广；代数法具有一般性，可以解出公共点的坐标，也可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中。在课堂上把所学的知识系统化，加深理解。体现学习目标中的知道研究直线与圆位置关系的必要性，体现 “数形结合”、“等价转化”和“由特殊到一般”的数学思想。 积极倡导以学生为主体的课堂教学理念。 环节七：【学以致用】 （小组讨论）判断圆与下列直线的位置关系： （1）；（2）；（3）。 【师生活动】：（视频展台） 找三位学生代表，借助“视频展台”，给同学们直观、形象地表述本组讨论的结果。 培养学生的动手能力和归纳能力，教师对学生的表现予以赏识，根据学生出现的问题进行有针对性点拨。 充分发挥学生的主体地位，最大程度激发学生学习的积极性，给孩子们多一份信任，孩子们会给我们更大的惊喜。 环节八：【归纳总结】 （1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2）通过本节课的学习，你掌握了哪些方法？ （3）本节课蕴含哪些数学思想？ （4）通过本节课的学习，你还存在哪些疑惑？ 【师生活动】：教师引导学生从知识—方法—思想的角度，层层深入，梳理本节课的内容。 教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法。 积极倡导以学生为主体的课堂教学理念。 环节九：【布置作业】 必做题：教材P97课后练习题； 拓展题：圆C:截直线所得的弦长为2，则的大小？ 第1题通过过定点的直线与圆的位置关系，帮助学生运用逆向思维来解决问题，尤其需要养成数形结合的思想，考虑直线斜率不存在的情况，同时达到掌握本节课知识的目的。第2题鼓励学生探索弦长问题，在掌握知识的同时可以培养学生学习的能力，实现由知识向能力的转化。 分层式教学，满足不同基础的学生需要，更大化实现因材施教的教学原则。 环节十：【人生感悟】 【感悟一】：引用唐代诗人王勃的诗句“海内存知已，天涯若比邻”——人生道路上，遇到知己，值得相交 【感悟二】：引用宋代诗人陈著的诗句“花有重开日，人无再少年”——光阴似箭，大好时光，值得相切 【感悟三】：引用唐代诗僧梵志的诗句“恶人远相离, 善者近相知”——作为中华民族伟大复兴的建设者，我们要刻苦努力、奋发图强，面对“肮脏的东西”，果断相离 数学的学科特点是工具性与人文性的统一，而很多人认为就是一些数字和图形组合起来的枯燥学科。很多学生因为不喜欢数学，产生了对数学学习的恐惧，很多老师在数学教学的过程中认为分清学会计算方法，提高计算熟练程度，见识更多题型，通过不断练习，使学生的数学成绩稳步提升就可以了。我认为这是不对的，是对数学片面的认识和解读。其实数学知识里面所蕴含的人文因素一点也不比语文学科少，甚至说是兼具语文的情、生活的理。 “数学来源于生活，又服务于生活”，正是我们教师教导学生学习的根本宗旨。 作业设计 2.6.1　直线与圆的位置关系（第一课时） 作业设计 【学习目标】 1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.(直观想象) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.我们已经学习了直线与圆的位置关系,怎样用几何法判断直线与圆的位置关系? 【答案】利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断它们之间的位置关系,若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d<r,则直线与圆相交. 2.如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? 【答案】①如果直线l和圆C的方程分别为Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2,那么可以用圆心C(a,b)到直线的距离d=与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系;②把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组的解的个数问题,这样当方程组无解时,直线与圆相离;当方程组有一组解时,直线与圆相切;当方程组有两组解时,直线与圆相交. 3.用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点? 【答案】“几何法”与“代数法”是从不同的方面,不同的思路来判断直线与圆的位置关系的.“几何法”侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”. 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切. (　　) (2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交. (　　) 【答案】(1)√　(2)√　 2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 【答案】B 【解析】由题意得圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1.∵d=r,∴直线与圆相切. 【合作探究】 情境设置 　“海上生明月,天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊.在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的“小脑袋”,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现出迷人的风采. 问题1:在这个过程中,将月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,则月出的过程中体现了直线与圆的几种位置关系? 【答案】三种,相交、相切和相离. 问题2:直线与圆相交有几个交点?圆心到直线的距离比半径大还是小? 【答案】有两个交点,比半径小. 新知生成 1.直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d<r d=r d>r 代数法:将直线与圆的方程联立,消元得到一元二次方程的根的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 新知运用 例1　已知直线方程为mx-y-m-1=0,圆的方程为x2+y2-4x-2y+1=0.求当m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 【解析】(法一)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0, 则Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. (法二)圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 d==. (1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 【方法总结】判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. 巩固训练 1.直线l: y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是(　　). A.相离　　　　　　　　 B.相切或相交 C.相交 D.相切 【答案】C 【解析】l过定点A(1,1),∵12+12-2×1=0,∴点A在圆上,∵直线x=1过点A且为圆的切线,又l的斜率存在,∴l与圆一定相交,故选C. 2.设m>0,则直线l:(x+y)+1+m=0与圆O:x2+y2=m的位置关系为(　　). A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 【答案】C 【解析】圆心到直线l的距离为d=,圆的半径为r=,∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴d≥r,故直线l和圆O相切或相离. 【随堂检测】 直线3x-4y+8=0与圆(x-1)2+(y+1)2=16的位置关系是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 【答案】B 【解析】因为圆(x-1)2+(y+1)2=16的圆心坐标为(1,-1),半径为4,圆心到直线的距离d===3<4,所以直线与圆相交. 板书设计 2.6.1 直线与圆的位置关系 一、分类： 位置关系 图示 公共点 个数 圆心到直线的距离 与半径作比较 相交 相切 相离 二、方法： 1、 代数法 2、 几何法 课件投影区 例题讲解 按照突出重点结构简明原则设计板书，力求纲举目张，呈现本节主要内容。 教学反思 本节课的设计，在课堂结构与突出学生个性发展上做了一些尝试。主要表现为： 通过运用生活中的实例创设情境，让学生主动参与； 通过小组活动，让学生归纳直线与圆位置关系的判断； 通过问题辨析，让学生理解坐标法解题时应注意的问题。 体现了教学方式和学习方式的转变，调动了学生主动参与教学活动的积极性，培养了学生合作学习、积极探究的意识和能力，增强了探究学习的兴趣，从而有利于本节教学任务的顺利完成。由于课堂时间限制，小组活动成果不能充分展示，今后要努力探索更多的形式，让学生活动得到更全面的展示。 在数学课程设计中的德育渗透 在我的日常教学中，始终要把德育教育放在心上，落实到实处。不能总是交给他们技能和知识，还要注重德育的渗透。德育教育是学校教育工作的重要组成部分,一旦学校的教育不重视德育，其后果是很可怕的。要时刻把德育贯穿于每节课和每个教学场景。 专家指出:教育具有一种道德上的目标,就是不论学生的背景如何,都要使他们的一生有变化,并在充满活力且日趋繁杂的社会中能够生存和成为有工作成果的公民。新课标明确指出, 数学课程的学习，既是学生通过数学学习和实践活动，逐步掌握数学知识和技能，提高逻辑思维能力的过程；又是他们磨砺意志、陶冶情操、拓展视野、丰富生活经历、培养合作精神、发展个性和提高人文素养的过程。因此在教学中,作为教师的我不仅仅是传授知识的，还应当关注每个学生的情感，利用一切可能的机会让我的学生在学习数学知识之际汲取情感素养的精华，从而接受品德教育,形成美好的心灵品格，让他们用积极和乐观的态度去接受这个我们共同的世界，从而提高学生的思想道德水平，和对世界的认知能力。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $