专题16 复数讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题16：复数 知识点一 复数的基本概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模， 记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 知识点二 复数的几何意义 1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面； 2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴， 实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数； 3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量 知识点三 复数的四则运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4） 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 一、解决复数概念问题的方法及注意事项 1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. 2、求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 3、复数是实数的条件： ①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)； ②z∈R⇔z＝； ③z∈R⇔z2≥0. 4、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0. 二、复数代数形式运算问题的解题策略 1、复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可； 2、复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可； 3、复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式 三、复数几何意义问题的解题策略 1、复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔. 2、由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 考点一 复数的有关概念 【例1】设，则“”是“复数为纯虚数”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（多选题）关于复数说法正确的是（       ） A． B．i C．的实部 D．的虚部 【变式1-2】设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 复数的几何意义 【例2】已知复数z满足，则复数在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是(　　) A．3 B．2 C．4 D．1＋2 【变式2-2】已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是(　　) A．一个圆 B．两个圆 C．两点 D．线段 考点三 复数的四则运算 【例3】（       ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选题）已知复数则（    ） A．的虚部为 B． C．为实数 D．为纯虚数 【变式3-2】（多选题）下列说法正确的是(　　) A．若|z|＝2，则z·＝4 B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等 D．“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件 【变式3-3】设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1－i(i为虚数单位)，则＝______． 1.（2025新高考Ⅰ卷·1） 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. （2025新高考Ⅱ卷·2）已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. （2025天津卷·10）已知i是虚数单位，则 ________． 4．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 6.（2023·全国·高考真题）已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7.（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8．（2022·全国·高考真题）若，则（       ） A． B． C．1 D．2 9．（2022·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（       ） A． B． C． D． 10．（2022·全国·高考真题（理））若，则（       ） A． B． C． D． 11．（2022·全国·高考真题（文））若．则（       ） A． B． C． D． 12．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（       ） A． B． C． D． 13．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2021·全国·高考真题）已知，则（       ） A． B． C． D． 15．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（       ） A． B． C． D． 16．（2021·全国·高考真题（理））设，则（       ） A． B． C． D． 17．（2021·全国·高考真题（文））设，则（       ） A． B． C． D． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题16：复数 知识点一 复数的基本概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模， 记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 知识点二 复数的几何意义 1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面； 2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴， 实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数； 3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量 知识点三 复数的四则运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4） 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 一、解决复数概念问题的方法及注意事项 1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. 2、求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 3、复数是实数的条件： ①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)； ②z∈R⇔z＝； ③z∈R⇔z2≥0. 4、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0. 二、复数代数形式运算问题的解题策略 1、复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可； 2、复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可； 3、复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式 三、复数几何意义问题的解题策略 1、复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔. 2、由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 考点一 复数的有关概念 【例1】设，则“”是“复数为纯虚数”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】复数为纯虚数，则，解得：， 所以“”是“复数为纯虚数”的充分而不必要条件.故选：A. 【变式1-1】（多选题）关于复数说法正确的是（       ） A． B．i C．的实部 D．的虚部 【答案】ACD【详解】对选项A，，故A正确；对选项B，i，故B错误； 对选项C，的实部，故C正确；对选项D，的虚部，故D正确.故选：ACD 【变式1-2】设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R． 而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立． 考点二 复数的几何意义 【例2】已知复数z满足，则复数在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D 【变式2-1】设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是(　　) A．3 B．2 C．4 D．1＋2 【答案】C 【解析】|z|＝1表示单位圆上的点，那么|z＋2＋i|表示单位圆上的点到点(－2，－1)的距离，求最大值转化为点(－2，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－2，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4． 【变式2-2】已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是(　　) A．一个圆 B．两个圆 C．两点 D．线段 【答案】B 【解析】由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2．由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆． 考点三 复数的四则运算 【例3】（       ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意得.故选：A. 【变式3-1】（多选题）已知复数则（    ） A．的虚部为 B． C．为实数 D．为纯虚数 【答案】ABD 【变式3-2】（多选题）下列说法正确的是(　　) A．若|z|＝2，则z·＝4 B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等 D．“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件 【答案】AD【解析】若|z|＝2，则z·＝|z|2＝4，故A正确；设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)， z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，由|z1＋z2|＝|z1－z2|，可得|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2 ＝|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2则a1a2＋b1b2＝0，而z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i) ＝a1a2－b1b2＋a1b2i＋b1a2i＝2a1a2＋a1b2i＋b1a2i不一定为0，故B错误； 当z＝1－i时，z2＝－2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数，则a2－1≠0，即a≠±1， 所以“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确． 【变式3-3】设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1－i(i为虚数单位)，则＝______． 【答案】 【解析】因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1－i， 所以z2＝－1－i．所以＝＝＝． 1.（2025新高考Ⅰ卷·1） 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 2. （2025新高考Ⅱ卷·2）已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 3. （2025天津卷·10）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 4．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为，所以.故选：C. 5．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C【详解】若，则.故选：C. 6.（2023·全国·高考真题）已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 7.（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 8．（2022·全国·高考真题）若，则（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 由题设有，故，故， 9．（2022·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 因为R，，所以，解得：． 10．（2022·全国·高考真题（理））若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 11．（2022·全国·高考真题（文））若．则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 因为，所以，所以． 12．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 由,得,即 13．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A ，所以该复数对应的点为， 该点在第一象限，故选：A. 14．（2021·全国·高考真题）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C因为，故，故 15．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B ，. 故选：B. 16．（2021·全国·高考真题（理））设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 设，则，则，所以，，解得，因此，. 17．（2021·全国·高考真题（文））设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C由题意可得：. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $