3.1.2 第1课时 函数的表示法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 3．1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 知识点一　函数的三种表示方法 1．下表是某工厂产品的销售价格表． 一次购买件数 1～10件 11～50件 51～100件 101～300件 300件以上 单价/元 37 32 30 27 25 某人现有2900元，则他一次最多可以购买这种产品(　　) A．96件 B．97件 C．107件 D．108件 答案：C 解析：若按单价25元，则不够300件，故这不可能．若按单价27元购买，可买107件，符合101～300件的范围，所以他一次最多可以购买这种产品107件． 2．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　) 答案：D 解析：由题意可知，一开始速度较慢，中间停留了一段时间，后来速度变快，所以开始直线比较平缓，中间直线保持水平，后来直线比较陡峭，又纵轴表示离家的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. 3．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系． 解：该函数关系用列表法表示为 x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 该函数关系用图象法表示，如图所示． 该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5})． 4．作出下列函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－2x|＋1. 解：(1)∵y＝＝2＋，∴先作函数y＝的图象，把它向右平移1个单位长度得到函数y＝的图象，再把它向上平移2个单位长度便得到函数y＝的图象，如图1所示． 　 (2)先作y＝x2－2x的图象，保留x轴上方图象，再把x轴下方图象对称翻到x轴上方，得到y＝|x2－2x|的图象，再把它向上平移1个单位长度，即得到y＝|x2－2x|＋1的图象，如图2所示． 知识点二　求函数解析式 5．已知函数f(＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为(　　) C．f(x)＝x2－2x(x≥1) D．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1) 答案：D 解析：令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)． 6．求下列函数的解析式： (1)已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x＋1)； (2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知f(x)－2f＝3x＋2，求f(x)； (4)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)． 解：(1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋2(2x＋1)＝4x2＋8x＋3， 故f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3. (2)解法一(拼凑法)：f(－1)＝x＋2＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1， 故f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 解法二(换元法)：令t＝－1， 则t≥－1，且＝t＋1，x＝(t＋1)2， 所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3. 故f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． (3)(方程组法)将x换成，得f－2f(x)＝＋2. 与原式联立，即 解得f(x)＝－x－－2. 故f(x)＝－x－－2(x≠0)． (4)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3， 所以解得或 故f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. 一、单项选择题 1．若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为(　　) A. B. C．(－1，3) D．(－2，1) 答案：A 解析：设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项中的点的坐标符合此函数的解析式．故选A. 2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 答案：A 解析：解法一：设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，则f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A. 解法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A. 3．函数f(x)满足f(x)－2f(1－x)＝x，则函数f(x)＝(　　) A. B. C．x－1 D．－x＋1 答案：A 解析：由f(x)－2f(1－x)＝x，得f(1－x)－2f(x)＝1－x，联立两个等式消去f(1－x)，得f(x)＝.故选A. 4．已知f(－1)＝x－2，则g(x)＝f(x＋1)的解析式为(　　) A．g(x)＝(x＋1)2－1(x≥－2) B．g(x)＝(x＋1)2＋1(x≥－1) C．g(x)＝x2－1(x≥－1) D．g(x)＝x2＋1(x≥0) 答案：A 解析：因为f(－1)＝x－2＝(－1)2－1，设t＝－1≥－1，所以f(t)＝t2－1，t≥－1，要使得g(x)＝f(x＋1)有意义，则需x＋1≥－1，解得x≥－2，所以g(x)＝(x＋1)2－1(x≥－2)．故选A. 5．已知函数f(x)由下表给出，则满足f(f(x))>f(3)的x的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 1 A.1或3 B．1或2 C．2 D．3 答案：A 解析：由题表知f(3)＝1，要使f(f(x))>f(3)，必有f(x)＝1或f(x)＝2，所以x＝3或x＝1. 6．函数g(x)＝的图象可能是(　　) 答案：B 解析：g(x)＝的函数值为非负数，故排除A；由于x－3≠0，得x≠3，所以g(x)的定义域是{x|x≠3}，故排除C；y＝g(x)与x轴的交点为，故排除D.故选B. 7．已知函数f(x)满足f(x)＋2f＝2x＋＋3，则f(2)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：解法一：f(x)＋2f＝2x＋＋3　①，将x换成，得f＋2f(x)＝＋4x＋3　②，由①②消去f，得f(x)＝2x＋1，则f(2)＝2×2＋1＝5.故选C. 解法二：因为f(x)＋2f＝2x＋＋3，分别令x＝2，x＝，联立得解得故选C. 8．已知对任意的x，y∈R，都有f(x＋y＋f(x))＝6x＋2y＋3，则一次函数y＝f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝2x C．f(x)＝2x＋1 D．f(x)＝x 答案：C 解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(x＋y＋f(x))＝f(x＋y＋kx＋b)＝k(x＋y＋kx＋b)＋b＝(k2＋k)x＋ky＋kb＋b，因为f(x＋y＋f(x))＝6x＋2y＋3，即(k2＋k)x＋ky＋kb＋b＝6x＋2y＋3，则解得所以f(x)＝2x＋1.故选C. 二、多项选择题 9．若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则(　　) A．f＝15 B．f(2)＝－ C．f(x)＝－1(x≠0) D．f＝－1(x≠0，且x≠1) 答案：AD 解析：令1－2x＝t(t≠1)，则x＝，所以f(t)＝＝－1，则f(x)＝－1(x≠1)，故C错误；f＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误；f＝－1＝－1(x≠0，且x≠1)，故D正确．故选AD. 10．已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)＝xf(y)，则f(x)的解析式可以为(　　) A．f(x)＝0 B．f(x)＝x C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2 答案：ABC 解析：首先，各选项给出函数的定义域均为R.对于A，yf(x)＝y×0＝0，xf(y)＝x×0＝0，所以yf(x)＝xf(y)成立，故A符合题意；对于B，yf(x)＝yx，xf(y)＝xy，所以yf(x)＝xf(y)成立，故B符合题意；对于C，yf(x)＝y×2x＝2xy，xf(y)＝x×2y＝2xy，所以yf(x)＝xf(y)成立，故C符合题意；对于D，yf(x)＝y×x2＝x2y，xf(y)＝x×y2＝xy2，所以yf(x)＝xf(y)不恒成立，故D不符合题意．故选ABC. 11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少 C．甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案：BD 解析：对于A，从题图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，A错误；对于B，由题图可知，当速度相同时，甲车燃油效率最高，所以以相同速度行驶相同路程，甲车消耗汽油最少，B正确；对于C，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8升汽油，C错误；对于D，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，D正确．故选BD. 三、填空题 12．已知g(x－1)＝2x＋6，若g(a)＝14，则a＝________． 答案：3 解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，有g(t)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，∴g(x)＝2x＋8，∴g(a)＝2a＋8＝14，∴a＝3. 13．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为________________． 答案：f(x)＝－(x≠0) 解析：∵f(x)＝2f＋x　①，∴将x换成，得f＝2f(x)＋　②.由①②消去f，得f(x)＝－－，即f(x)＝－(x≠0)． 14．已知f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝x2＋x＋1 解析：解法一：令y＝x，则由f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)．∵f(0)＝1，∴f(x)－x(2x－x＋1)＝1，即f(x)＝x2＋x＋1. 解法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，即f(－y)＝1－y(－y＋1)．令－y＝x，代入上式，得f(x)＝1＋x(x＋1)，∴f(x)＝x2＋x＋1. 15．设函数f(x)＝(x>0)，记f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，…，fn＋1(x)＝f(fn(x))，则f2026(x)＝(　　) A.(x>0) B.(x>0) C.(x>0) D.(x>0) 答案：A 解析：函数f(x)＝(x>0)，则f1(x)＝f(x)＝(x>0)，f2(x)＝f＝＝(x>0)，f3(x)＝f(f2(x))＝＝(x>0)，…，fn(x)＝f(fn－1(x))＝(x>0)，所以f2026(x)＝(x>0)．故选A. 16．[多选]已知函数f(＋1)＝x＋2，则(　　) A．f(x)＝x2－1(x∈R) B．f(x)的最小值为－1 C．f(2x－3)的定义域为[2，＋∞) D．f的值域为[0，＋∞) 答案：CD 解析：依题意，f(＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，则f(x)＝x2－1，x≥1，故A错误；当x≥1时，f(x)≥0，当且仅当x＝1时，等号成立，故B错误；在f(2x－3)中，令2x－3≥1，解得x≥2，因此f(2x－3)的定义域为[2，＋∞)，故C正确；显然f＝－1，0<x≤1，所以∈[1，＋∞)，因此f的值域为[0，＋∞)，故D正确．故选CD. 17．已知函数f(x)＝，记f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝m，f＋f＋f＋…＋f＝n，则m＋n＝________． 答案：42 解析：由题意，得f(x)＋f＝＋＝＋＝＝4，∴m＋n＝f(1)＋＋＋…＋＝2＋4×10＝42. 18．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且ab≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数f(x)的解析式和f(f(－3))的值． 解：因为f(2)＝1，所以＝1， 即2a＋b＝2.① 又f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解， 所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝(b－1)2＝0， 即b＝1，代入①得a＝， 所以f(x)＝＝. 所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝. 19.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为16 cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x cm，DP＝y cm. (1)用x的代数式表示y，并写出x的取值范围； (2)求△ADP的最大面积及相应x的值． 解：(1)如图，∵AB＝x cm，由矩形ABCD(AB>AD)的周长为16 cm，可知AD＝(8－x) cm，设PC＝a cm， 则DP＝(x－a) cm， ∵∠APD＝∠CPB′，∠ADP＝∠CB′P＝90°，AD＝CB′， ∴Rt△ADP≌Rt△CB′P，∴AP＝CP＝a cm， 在Rt△ADP中， 由勾股定理，得AD2＋DP2＝AP2，即(8－x)2＋(x－a)2＝a2，解得a＝， ∴DP＝x－a＝，即y＝(4<x<8)． (2)△ADP的面积为 S＝AD·DP＝(8－x)·＝4×＝4≤4×＝48－32， 当且仅当x＝，即x＝4 cm时，△ADP的面积最大，为(48－32) cm2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $