3.1.1 第1课时 函数的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 3．1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念 知识点一　函数的定义 1．函数符号y＝f(x)表示(　　) A．y等于f与x的乘积 B．f(x)一定是一个式子 C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同 答案：C 解析：符号y＝f(x)，即“y是x的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A，B错误；如y＝x2，当x＝1或x＝－1时，y＝1，故D错误． 2．[多选]下列说法中正确的是(　　) A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 答案：ACD 解析：由函数的定义知，A，C，D正确，函数的定义域和值域既可以是无限集，也可以是有限集，B不正确． 知识点二　函数关系的判断 3．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，下列能构成从集合M到集合N的函数的是(　　) A．f：x→y＝x2 B．f：x→y＝x＋1 C．f：x→y＝x－1 D．f：x→y＝|x| 答案：D 解析：对于A，当x＝4时，y＝42＝16∉N，故A不能构成函数；对于B，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N，故B不能构成函数；对于C，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2∉N，故C不能构成函数；对于D，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故D能构成函数．故选D. 4．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合A到集合B的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：①x∈{x|0≤x≤1}不符合题意，②符合题意，③y∈{y|0≤y≤3}不符合题意，④不是函数，所以符合题意的函数的个数为1.故选B. 5．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝ 答案：C 解析：对于C，当x＝4时，y＝>2，不符合题意．故选C. 6．下列对应是从实数集R到R上的一个函数的是________(只填序号)． ①f：把x对应到x；②g：把x对应到； ③h：把x对应到；④r：把x对应到x2. 答案：①④ 解析：①中对应关系f是从R到R的一个函数；②中对应关系g不是从R到R的一个函数，因为当x＝0时，的值不存在；③中对应关系h不是从R到R的一个函数，因为当x<0时，的值不存在；④中对应关系r是从R到R的一个函数． 知识点三　实际问题中的函数 7．下表是某中学高二年级同学选科走班情况中，选择人数较多的6个组合． 组合代码 组合 组合人数 1 物化生 500 2 史政地 300 3 物生地 300 4 物化地 200 5 史生政 200 6 史生地 150 你会怎样表示这次选科走班人数的情况？用x，y分别表示组合代码和对应的组合人数，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域、对应关系分别是什么？ 解：y是x的函数，定义域为{1，2，3，4，5，6}，值域为{150，200，300，500}，对应关系如图． 一、单项选择题 1．下列图象中表示函数图象的是(　　) 答案：C 解析：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C. 2．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(　　) A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1 C．x－2y＝6 D．x＝ 答案：A 解析：对于A，当x＝y2＋1时，y＝±，不满足y值的唯一性，不能构成函数，其他选项都满足函数的定义．故选A. 3．托马斯说：“函数是近代数学思想之花”．下列对应关系中，能构成从集合M＝{－2，0，2}到集合N＝{0，2}的函数的是(　　) A．y＝x B．y＝|x| C．y＝ D．y＝x2 答案：B 解析：对于A，当x＝－2时，y＝－2∉N，A不符合题意；对于B，集合M中的每个值，按y＝|x|，在集合N中都有唯一值与之对应，B符合题意；对于C，集合N中没有元素与集合M中的0对应，C不符合题意；对于D，当x＝±2时，y＝4∉N，D不符合题意．故选B. 4．已知函数f(x)的定义域为{x|－1≤x≤5}，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．0或1 答案：B 解析：因为1在定义域{x|－1≤x≤5}内，所以f(1)存在且唯一，故函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为1.故选B. 5．集合A，B与对应关系f如图所示，下列说法正确的是(　　) A．若f(a)＝f(5)，则a＝2 B．f：A→B是从集合A到集合B的函数 C．x∈A，y∈B对应关系f：x→y＝ D．f：A→B的定义域为集合A，值域为集合B 答案：B 解析：对于A，由题图可得f(5)＝4，则f(a)＝f(5)＝2，则a＝1或a＝2，故A错误；对于B，由题图可知，对于集合A中的每个元素在集合B中都有唯一的数对应，符合函数的定义，故B正确；对于C，因为x∈A，y∈B，当x＝1时，由题图可知y＝2，而y＝＝1≠2，故C错误；对于D，由题图及函数的定义可知，f：A→B的定义域为集合A，值域不是集合B，是集合B的一个真子集，故D错误．故选B. 6．任给u∈{u|－2≤u≤0}，对应关系f使方程2u2＋v＝0的解v与u对应，则v＝f(u)是函数的一个充分条件是(　　) A．v∈{v|－4≤v≤4} B．v∈{v|－8<v≤4} C．v∈{v|－8<v≤0} D．v∈{v|－16≤v≤4} 答案：D 解析：任给u∈{u|－2≤u≤0}，方程2u2＋v＝0⇔v＝－2u2，所以v∈{v|－8≤v≤0}，由{v|－16≤v≤4}⊇{v|－8≤v≤0}，则v＝f(u)是函数的一个充分条件是v∈{v|－16≤v≤4}．故选D. 7．已知a，b为实数，集合A＝{a＋6，－2}，B＝{b2－2b－1，3}，函数f：A→B的解析式为f(x)＝x，则a－b＝(　　) A．4 B．－1 C．－2 D．－4 答案：D 解析：∵A＝{a＋6，－2}，B＝{b2－2b－1，3}，函数f：A→B的解析式为f(x)＝x，∴解得∴a－b＝－4.故选D. 8．已知集合M＝{1，2}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝；②y＝x＋1；③y＝|x|；④y＝x2，由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 答案：D 解析：对于①，y＝，当x＝2时，y＝∉N，故①不满足题意；对于②，y＝x＋1，当x＝2时，y＝2＋1＝3∉N，故②不满足题意；对于③，y＝|x|，当x＝1时，y＝1∈N，当x＝2时，y＝2∈N，故③满足题意；对于④，y＝x2，当x＝1时，y＝1∈N，当x＝2时，y＝4∈N，故④满足题意．故选D. 二、多项选择题 9．下列说法中，变量y是变量x的函数的是(　　) A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值) C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号 D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税 答案：ABD 解析：A，B，D均满足函数的定义；对于C，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C不满足题意．故选ABD. 10．下列能够表示集合A＝{－2，0，1}到集合B＝{－1，0，1，2，4}的函数关系的是(　　) A．y＝－2x B．y＝|x| C．y＝x＋2 D．y＝x2 答案：BD 解析：对于A，在y＝－2x中，当x＝－2，0，1时，对应的函数值为4，0，－2，－2∉B，故A不符合题意；对于B，在y＝|x|中，当x＝－2，0，1时，对应的函数值为2，0，1，都属于集合B，故B符合题意；对于C，在y＝x＋2中，当x＝－2，0，1时，对应的函数值为0，2，3，3∉B，故C不符合题意；对于D，在y＝x2中，当x＝－2，0，1时，对应的函数值为4，0，1，都属于集合B，故D符合题意．故选BD. 11．下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是(　　) A．M＝，N＝{－6，－3，1}，f＝－6，f(1)＝－3，f＝1 B．M＝N＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1 C．M＝N＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1 D．M＝Z，N＝{－1，1}，f(x)＝ 答案：ABD 解析：对于A，集合M中的任意一个元素，按某种对应关系，在集合N中存在唯一的元素与之对应，所以能构成从集合M到集合N的函数；对于B，集合M＝{x|x≥－1}中的任意一个元素，按f(x)＝2x＋1，在集合N＝{x|x≥－1}中存在唯一的元素与之对应，所以能构成从集合M到集合N的函数；对于C，集合M＝N＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1，因为f(3)＝5∉N，所以不能构成从集合M到集合N的函数；对于D，集合M＝Z中的任意一个元素，按f(x)＝在集合N＝{－1，1}中有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合M到集合N的函数．故选ABD. 三、填空题 12．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2}，写出从A到B的一个函数为h(x)＝________． 答案：x＋1(答案不唯一) 解析：令h(x)＝x＋1，则有h(－1)＝0，h(0)＝1，h(1)＝2，满足题意． 13．已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的是________． 答案：①②③④ 解析：∵A＝{x|x＝n2，n∈N}，对于①，f(x)＝x，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝n2，n∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故①能够表示函数f：A→A；对于②，f(x)＝x2，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n2)2，n2∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故②能够表示函数f：A→A；对于③，f(x)＝x3，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n3)2，n3∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故③能够表示函数f：A→A；对于④，f(x)＝x4，若x∈A，则x＝n2，n∈N，则f(x)＝(n4)2，n4∈N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故④能够表示函数f：A→A；对于⑤，f(x)＝x2＋1，若x＝1，则f(x)＝2∉A，不满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故⑤不能表示函数f：A→A. 14.下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________． ①A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图： ②A＝R，B＝R，f：x→y＝； ③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝. 答案：① 解析：对于①，A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，所以①是A到B的函数；对于②，A＝R，B＝R，f：x→y＝，对于集合A中的x＝2没有对应的y，所以②不是A到B的函数；对于③，A＝Z，B＝Z，f：x→y＝，A中的{x|x≤0，x∈Z}没有对应的y，所以③不是A到B的函数． 15．给定数集A＝R，B＝Z，x，y满足方程|x|＋y＝0，下列对应关系f为函数的是(　　) A．f：A→B，x＝f(y) B．f：B→A，x＝f(y) C．f：A→B，y＝f(x) D．f：B→A，y＝f(x) 答案：D 解析：对于A，∀y∈R，当y＝1时，|x|＋1＝0，无实数解，即在Z中不存在确定的实数x与y＝1对应，不符合函数的定义，故A不符合题意；对于B，∀y∈Z，不妨设y＝－1，则|x|－1＝0，解得x＝±1，不满足唯一的实数x与y＝－1对应，不符合函数的定义，故B不符合题意；对于C，∀x∈R，当x＝1.5时，由|x|＋y＝0，得y＝－1.5∉Z，即在Z中不存在确定的实数y与x＝1.5对应，不符合函数的定义，故C不符合题意；对于D，由|x|＋y＝0，得y＝－|x|，∀x∈Z，在R中都有唯一确定的y与之对应，符合函数的定义，故D符合题意．故选D. 16.[多选]如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出．如图，在某时刻t，水面的高度为h，水面对应圆的直径为d，则下列说法正确的是(　　) A．h是t的函数 B．d是t的函数 C．h是d的函数 D．d是h的函数 答案：ABD 解析：对于每个时间t，都有唯一的h，d与之对应，所以A，B正确；对于每个d，根据对称性，有两个h与之对应，所以C错误；对于每个h，有唯一的d与之对应，所以D正确．故选ABD. 17．已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有________个． 答案：10 解析：如下图，可知满足条件的函数共有10个． 18．下列变化过程中，变量之间是否存在函数关系？ (1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系； (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系； (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系； (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系； (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系； (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系． 解：(1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间存在函数关系，其中时间为自变量． (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间存在函数关系，其中时间为自变量． (3)某超市一天的销售额与客流量之间存在函数关系，其中客流量是自变量． (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间存在函数关系，其中时间是自变量． (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间存在函数关系，其中时间是自变量． (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间不存在函数关系． 19．已知集合A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B. 解：根据对应关系f，有1→4；2→7；3→10；k→3k＋1. 若a4＝10，则a∉N*，不符合题意，舍去； 若a2＋3a＝10，则a＝2(a＝－5不符合题意，舍去)． 故3k＋1＝a4＝16，得k＝5. 综上，a＝2，k＝5，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{4，7，10，16}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $