2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　基本不等式的应用 知识点一　利用基本不等式比较大小 1．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④≥.其中所有恒成立的不等式的序号是________． 答案：①②③ 解析：对于①，a2＋1－a＝a2－2a＋1＋a＝(a－1)2＋a>0，故①正确；对于②，a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立，且b＋≥2，当且仅当b＝1时，等号成立，则≥4，故②正确；对于③，(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故③正确；对于④，＋≥2＝，则≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故④不正确． 知识点二　利用基本不等式证明不等式 2．已知a，b，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)． 证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2， ∴a2＋b2≥， ∴≥＝(a＋b)(当且仅当a＝b≥0时，等号成立)． 同理可得，≥(b＋c)(当且仅当b＝c≥0时，等号成立)， ≥(a＋c)(当且仅当a＝c≥0时，等号成立)． 三式相加，得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＝(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c≥0时，等号成立)． 3．已知x>0，y>0，z>0，求证：≥8. 证明：因为x>0，y>0，z>0， 所以＋≥>0，当且仅当y＝z时，等号成立， ＋≥>0，当且仅当x＝z时，等号成立， ＋≥>0，当且仅当x＝y时，等号成立， 所以≥＝8， 当且仅当x＝y＝z时，等号成立． 知识点三　利用基本不等式求参数的值或范围 4．当x>0，y>0时，＋≥，则实数m的最大值为(　　) A．9 B．8 C．4 D．1 答案：A 解析：因为x>0，y>0，所以m≤(x＋y)，又(x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，所以m≤9，所以实数m的最大值为9.故选A. 5．已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 答案：36 解析：4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，等号成立．由题意，得a＝4×32＝36. 知识点四　利用基本不等式解决实际应用问题 6．用17列货车运一批货物从A市以v km/h的速度匀速行驶直达B市．已知A，B两市间铁路线长400 km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于 km，则这批货物全部运到B市最快需要________h，此时货车的速度是________km/h. 答案：8　100 解析：这批货物全部运到B市需要的时间为＝＋≥2＝8，所以最快需要8 h，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立．此时货车的速度是100 km/h. 7．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB>AD，矩形的周长为8 cm. (1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽？ 解：(1)由题意可得AD＝4－x，且x>4－x>0，可得2<x<4， 由CE＝AE＝x－DE， 在Rt△ADE中， 可得AE2＝AD2＋DE2， 即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2， 化简可得DE＝4－(2<x<4)． (2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)＝2≤2＝12－8， 当且仅当x＝2，4－x＝4－2时，等号成立， 即队徽的长和宽分别为2 cm，4－2 cm时，△ADE的面积取得最大值． 一、单项选择题 1．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 答案：C 解析：设矩形的长为x cm，宽为y cm，则0<x<4，0<y<4，2(x＋y)＝8，即x＋y＝4，所以这个模型的面积为xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以这个模型的最大面积为4 cm2.故选C. 2．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不确定 答案：A 解析：因为a>2，所以a－2>0，所以m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以4－b2<4，即n<4，所以m>n.故选A. 3．已知0<a<1，若＋≥1恒成立，则实数b的取值范围为(　　) A. B. C. D．{b|0<b≤4} 答案：A 解析：因为0<a<1，所以＋≥1恒成立等价于b≥a(1－a)恒成立，又a(1－a)≤＝，当且仅当a＝时，等号成立，故b≥.故选A. 4．小明、小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次花50元购买葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则(　　) A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D．两次购买葡萄的平均价格无法比较 答案：B 解析：设两次购买葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克，且a≠b，则小明两次购买葡萄的平均价格为＝元/千克，小红两次购买葡萄的平均价格为＝＝元/千克，根据基本不等式，有≥≥，由于a≠b，所以>，所以小红两次购买葡萄的平均价格比小明低．故选B. 5．若不等式a2＋b2＋2＞λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A. B．{λ|λ＜1} C．{λ|λ＜2} D．{λ|λ＜3} 答案：C 解析：∵不等式a2＋b2＋2>λ(a＋b)对任意正数a，b恒成立，∴λ<.∵≥＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴λ<2.故选C. 6.某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是(　　) A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 答案：C 解析：设AB＝x(x>0)米，则种植花卉区域的面积S＝(x－4)＝－2x－＋1808.因为x>0，所以2x＋≥2＝240，当且仅当x＝60时，等号成立，则S≤－240＋1808＝1568，当且仅当AB＝60米，BC＝30米时，种植花卉区域的面积取得最大值，为1568平方米．故选C. 7．已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．64 B．25 C．13 D．12 答案：B 解析：因为a>0，b>0，所以a＋b>0，不等式≤恒成立，即m≤(a＋b)恒成立，(a＋b)＝(a＋b)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，所以m≤25，即实数m的最大值为25.故选B. 8．设a，b，c都大于0，则三个数a＋，b＋，c＋的值(　　) A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2 答案：D 解析：因为a，b，c都大于0，所以a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，若a＋<2，b＋<2，c＋<2，则a＋＋b＋＋c＋<6，与前面矛盾，所以三个数a＋，b＋，c＋的值至少有一个不小于2.故选D. 二、多项选择题 9．已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，若(m＋3)xy≤x＋2y对任意的x>0，y>0恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C. D．2 答案：ABC 解析：∵x>0，y>0，∴(m＋3)xy≤x＋2y⇔m＋3≤＝＋，即m＋3≤，＋＝(2x＋y)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，即m＋3≤，解得m≤.故选ABC. 10．设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋b2>a B．a2＋b2>b C．a<2ab< D.<a2＋b2<1 答案：ACD 解析：∵0<a<b，a＋b＝1，∴0<a<b<1，∵a<<b，∴a<<b.∵a2＋b2－a＝(1－a)2＋a2－a＝2a2－3a＋1＝(2a－1)(a－1)>0，∴a2＋b2>a，故A正确；∵a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝(2b－1)(b－1)<0，∴a2＋b2<b，故B错误；∵b>，∴2b>1，∴a<2ab，又ab<＝，∴a<2ab<，故C正确；∵a2＋b2>＝，a2＋b2<a＋b＝1，∴<a2＋b2<1，故D正确．故选ACD. 11．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．v＝ B．v< C．v>a D．v<b 答案：BCD 解析：设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，则v＝＝，∵0<a<b，∴a＋b>2>0，∴v＝<＝<，故A错误，B正确；∵v－a＝－a＝＝>0，∴v>a，故C正确；∵v－b＝－b＝＝<0，∴v<b，故D正确．故选BCD. 三、填空题 12.如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2. 答案：56 解析：设阴影部分的长为x dm，四周空白部分的面积是y dm2，则阴影部分的宽为 dm.由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)，当且仅当x＝，即x＝12时，等号成立． 13．已知x>0，y>0，a>0，且x＋＋≥8恒成立，则a的取值范围是________． 答案：{a|a≥4} 解析：因为x>0，y>0，a>0，所以x＋＋≥x＋2＝x＋≥2＝4，当且仅当＝，x＝，即x＝2，y＝时，等号成立，故4≥8，即a≥4，则a的取值范围是{a|a≥4}． 14.某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图(如图)是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为80 m2的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/m2；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为8元/m2；在四个矩形(图中阴影部分)上不做任何设计．设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，则绿化花园总造价S的最小值为________元． 答案：1440 解析：设DQ的长为y m，则4xy＋x2＝80，即y＝－，0<x<4，所以S＝99x2＋8×4×y2＝100－160≥100×2－160＝1440，当且仅当x2＝，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，S取得最小值1440. 15．[多选]若a>0，b>0，且＋＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.＋≥1 B．ab≥ C．a＋b≤ D．a2＋b2≥ 答案：AD 解析：对于A，因为a>0，b>0，＋＝4，所以＝4，即＋＝4，则(＋)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立，所以＋≥1，故A正确；对于B，由＋＝4及＋≥2，得4≥2，解得ab≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故B错误；对于C，a＋b≥2≥2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C错误；对于D，a2＋b2≥2ab≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选AD. 16．若实数a，b，c满足a2＋b2＝c≤1，则a＋b－c的最大值为________． 答案： 解析：因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)，所以a＋b≤，即a＋b≤，所以a＋b－c≤－c.因为a2＋b2＝c≤1，所以0≤c≤1，所以0≤≤1.因为a＋b－c≤－c＝－＋，所以当＝时，a＋b－c取得最大值. 17．设正实数x，y满足x>，y>2，不等式＋≥m恒成立，则m的最大值为________． 答案：16 解析：因为x>，y>2，所以3x－2>0，y－2>0，令a＝3x－2，b＝y－2，则a>0，b>0，x＝＋，y＝b＋2，所以＋＝＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝2＋8＋≥2＋8＝16，当且仅当＝且＝且＝且2＝，即a＝b＝2，即x＝，y＝4时，等号成立，又不等式＋≥m恒成立，所以m≤16，即m的最大值为16. 18．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，证明： (1)＋＋≥1； (2)(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)． 证明：(1)因为＋c＋＋a＋＋b≥2＋2＋2＝2(a＋b＋c)， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立， 故＋＋≥a＋b＋c＝1，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． (2)(1＋a)(1＋b)(1＋c)＝(2a＋b＋c)(2b＋a＋c)(2c＋a＋b)， 由基本不等式，得2a＋b＋c＝a＋c＋a＋b≥2， 2b＋a＋c＝b＋c＋b＋a≥2， 2c＋a＋b＝c＋a＋c＋b≥2， 故(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(a＋b)(b＋c)(c＋a) ＝8(1－a)(1－b)(1－c)， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 19．某厂家拟在明年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计明年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)． (1)设明年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数； (2)该厂家明年的促销费用投入为多少万元时，获得的利润最大？ 解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，即k＝2. ∴x＝3－. 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝28－－m(m≥0)． (2)y＝28－－m＝29－， ∵m≥0，∴(m＋1)＋≥2＝8， 当且仅当＝m＋1，即m＝3时，等号成立， ∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，ymax＝21. ∴该厂家明年的促销费用投入为3万元时，获得的利润最大，为21万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $