专题05 指数函数与对数函数（讲义）-2026版广西职教高考二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版广西（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》及广西历年考试真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版广西（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026版广西（职教高考）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题05 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、考纲解读 1．理解有理指数幂，掌握实数指数幂及其运算法则； 2．了解指数函数的定义，理解指数函数的图像和性质； 3．理解对数的概念，会积、商、幂的对数运算； 4．了解对数函数的概念、图像及性质； 5．掌握从实际情境中抽象出指数函数、对数函数模型解决简单实际问题的方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 3 求指数函数表达式 4 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：23、24年分值为10分；25年分值为8分。 （3）内容：主要考查指数对数函数的定义、定义域、化简求值以及应用单调性比大小。 选择题 11 对数函数化简计算 4 2024 选择题 2 对数函数的定义域 5 选择题 4 指数函数、对数函数比大小 5 2023 选择题 3 对数函数的定义域 5 选择题 5 指数函数、对数函数比大小 5 广西2023、2024年试卷来源是本科对口升学考试试题，2025年试卷来源是高职高专对口升学考试，所以题型和分值会有所变化。 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，结合2026年广西职教高考考试大纲，预估2026年广西职教高考依然有2道题目分别考查煮熟函数或对数函数定义域、比大小，题型设置为单项选择题，分值各5分，共10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 指数幂的运算 · 指数函数的性质 · 对数的运算 · 对数函数的性质 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ a　(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 奇偶性 奇　 函数 偶　 函数 奇　 函数 非奇非偶　 函数 奇　 函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1)　 五、10分钟小测验 1．的值是（    ） A． B． C．10 D． 2．是以（    ）为底的对数 A．1 B．5 C．10 D．e 3．函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，当时，的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．计算：（    ）． A． B． C． D． 8．函数为实数集上的奇函数，当时，，则（    ）． A． B．2 C． D．6 9．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（   ） A． B． C． D． 10．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为（   ） A． B． C． D． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D C B D C A C 1．A 【分析】根据指数幂运算和对数的运算性质运算即可. 【详解】. 故选:A． 2．C 【分析】利用常用对数概念直接填写. 【详解】. 故选：C. 3．C 【分析】结合分段函数解析式，逐段分析即可判断. 【详解】当时，单调递增，故排除A、B选项； 当时，单调递减，故排除D选项； 所以C选项正确. 故选：C. 4．D 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】，故A错误， ，故B错误， ，故C错误， ，故D正确， 故选：D. 5．C 【分析】由指数函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以指数函数为减函数， 所以由指数函数的性质可知， 当时，. 故选：C. 6．B 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】对于， 有，即，则， 所以的定义域是. 故选：B. 7．D 【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】. 故选：D. 8．C 【分析】由奇函数的性质得出，根据题意求出即可得解. 【详解】函数为实数集上的奇函数， 当时，，则， 故选：. 9．A 【分析】根据指数函数，对数函数，一次函数的单调性即可得解. 【详解】选项，指数函数，底数，所以在定义域内为增函数； 选项，对数函数，底数，所以在定义域内为增函数； 选项，一次函数，，所以在定义域内为增函数； 选项，函数为增函数，则为减函数， 由图像可知增长最快的为， 故选：. 10．C 【分析】计算出所有样本点的总数，再列举出满足的样本点，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子， 所有样本点的个数为， 由得，其中，， 所以当或或时，， 故事件“”包含3个样本点， 所以所求的概率为. 故选：C. 六、经典例题解析 【考试题型1】实数指数幂及其运算法则 【例1】已知正数满足，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式计算即可. 【详解】因为正数满足，所以， 即，则，所以， 即，因此. 故选：B. 【例2】4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】＝. 故选：A. 【考试题型2】判断一个函数是否为指数函数 【例3】以为自变量的四个函数中，是指数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】选项，底数且，所以为指数函数，故正确； 选项，底数，不符合指数函数的定义，故错误； 选项，指数为，不符合指数函数的定义，故错误； 选项，为幂函数，故错误， 故选：. 【例4】若函数是指数函数，则实数的取值范围是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】由，且得且． 故选：C． 【考试题型3】指数函数的图像 【例5】函数的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意，结合指数函数的图像和性质，分别讨论和时两种情况，即可判断求解. 【详解】由题意，当时，为增函数，当时，且， 故选项A和B不符合题意； 当时，为减函数，当时，， 故选项C不符合题意，选项D符合题意. 故选：D. 【考试题型4】指数函数的性质 【例6】若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性分情况讨论. 【详解】当时，在上单调递减，其最大值为，解得，所以最小值为，则. 当时，在上单调递增，其最大值为，所以最小值为，则. 综上，或. 故选：D. 【例7】函数与的图像（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】先将化为，在中以替换，即可得到，即可求解. 【详解】因为，所以是把中的换为得到的， 则函数与的图像关于轴对称. 故选：B. 【考试题型5】对数的运算法则 【例8】计算：（   ） A．1 B．0 C．4 D．16 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】． 故选：A． 【例9】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质求解. 【详解】∵， ∴. 故选：B. 【考试题型6】对数函数的性质 【例10】三个数，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助指数函数和对数函数的单调性及中间量分析即可得. 【详解】因为指数函数，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数， 所以，. 因为对数函数，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数， 所以， 所以. 故选：D. 【例11】已知函数，则（ ） A．有最小值，且最小值为-2 B．有最小值，且最小值为-1 C．有最大值，且最大值为-2 D．有最大值，且最大值为-1 【答案】D 【分析】通过换元法结合对数函数的单调性可求最值. 【详解】令，则， 又在上单减，有， 所以有最大值，且最大值为，但无最小值. 故选：D. 七、专题归纳小结 解题逻辑：指数函数与对数函数互为反函数，解题需以二者性质为基础，遵循“先定范围、再用性质、最后建关系”的逻辑。求值或化简时，对数类题目需先保证真数大于0，再通过换底公式统一底数，结合指数的“同底幂相乘底数不变指数相加”、对数的“同底对数相加等于真数相乘”等运算性质计算；处理单调性相关问题（如比较大小、解不等式）时，需先判断底数的范围（（ a > 1 )时单调递增，( 0 < a < 1 )时单调递减），再根据单调性“增函数自变量大则函数值大，减函数自变量大则函数值小”的特点，转化为具体的等式或不等式求解；求定义域或值域时，对数需严格把控真数大于0，指数则关注定义域为全体实数的特性，结合函数单调性或二次函数等辅助工具确定范围。 易错点解析：一是忽略定义域，尤其是对数的真数非正、指数与对数的底数等于1或小于0的情况；二是误用运算性质；三是忽视反函数的关联特性，遗漏底数和真数的取值限制，导致结果出错。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $