专题07 平面向量（讲义）-2026版广西职教高考二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版广西（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》及广西历年考试真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版广西（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为平面向量。 2026版广西（职教高考）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题07 平面向量 一、考纲解读 1.了解平面向量、有向线段及有关概念； 2.了解单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的定义； 4.掌握平面向量的加、减、数乘运算及其几何意义； 5.理解平面向量的坐标表示； 6.掌握平面向量的坐标运算； 7.了解平面向量的内积及两向量垂直、共线的充要条件； 8.会运用平面向量的知识解决有关实际问题。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 14 向量的化简 4 （1）题型：集中在选择题、填空题。 （2）分值：23、24年分值为6分，25年分值为4分。 （3）内容：主要考察平面向量的化简求值以及坐标表示。 2024 填空题 11 已知向量平行求参数 6 2023 填空题 11 平面向量线性运算的坐标表示 6 广西2023、2024年试卷来源是本科对口升学考试试题，2025年试卷来源是高职高专对口升学考试，所以题型和分值会有所变化。 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，结合2026年广西职教高考考试大纲，预估2026年广西职教高考有1道题目考查平面向量，题型设置为单项选择题或者填空题，分值为6分或4分。 具体考点可能涉及如下内容： · 平面向量的基本概念 · 平面向量的线性运算 · 平面向量的基本定理及坐标表示 · 平面向量的内积 · 平面向量的应用举例 四、知识梳理 （一）平面向量 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 5.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． 五、10分钟小测验 1．若向量与向量不相等，则与一定（　　） A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量的夹角为，，则（    ） A．3 B．9 C．12 D．13 5．下列表述不正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．已知向量，，若，则为（    ） A． B．2 C． D． 7．已知向量,且,则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，且，则（    ） A．40 B．20 C． D． 9．设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D．10 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D D B B C A A 1．D 【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，分析选项可得结果. 【详解】若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同， 所以与有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量， 所以A，B，C都是错误的， 但是与一定不都是零向量． 故选：D. 2．C 【分析】由向量的线性运算结合平行四边形判断即可. 【详解】A选项，向量与的方向相反，所以二者不相等，故A选项错误； B选项，，故B选项错误； C选项，由向量加法的平行四边形法则知，，故C选项正确； D选项，，故D选项错误． 故选：C. 3．C 【分析】由向量坐标的减法的运算即可. 【详解】因为向量，， 所以． 故选:C. 4．D 【分析】先利用向量内积的运算律化简，再由向量内积的定义计算即可. 【详解】因为向量的夹角为，， 所以. 故选：D. 5．D 【分析】根据向量的内积运算即可求解. 【详解】解：对A：向量内积运算满足交换律，所以，故A项正确； 对B：向量数乘运算满足结合律，所以，故B项正确； 对C：向量内积运算满足分配律，所以，故C项正确； 对D：向量内积运算不满足结合律，所以，故D项不正确. 故选：D. 6．B 【分析】由向量平行的坐标表示方法即可求解m. 【详解】由题意得，向量，，若， ， ∴． 故选:B. 7．B 【分析】由向量的数乘运算,向量的线性运算,向量共线的判定即可得解. 【详解】因为. 所以. 所以三点共线. 故选:. 8．C 【分析】利用向量相关运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，则， 所以. 故选：C. 9．A 【分析】通过对两边平方求出的值，然后利用求向量夹角的公式进行求解. 【详解】设与的夹角为， 由题意得：，对方程两边平方得 ，又， ，即 又，的夹角为. 故选：A. 10．A 【分析】利用向量的模与向量内积的关系求解. 【详解】因为， 又因为， 所以. 故选：A. 六、经典例题解析 【考试题型1】向量的定义与向量的模 【例1】下列各量中是向量的是（     ） A．湿度 B．压强 C．温度 D．力 【答案】D 【分析】根据向量的定义判断即可. 【详解】向量是既有大小，又有方向的量. 湿度、温度、压强只有大小，没有方向，是标量； 力是既有大小、又有方向，所以力是向量. 故选：. 【考试题型2】相等向量、相反向量、平行向量 【例2】过点，且，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量相等的定义求解即可. 【详解】根据相等向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误； B中，与的方向不同，故B错误； C中，与的方向相反，故C错误； D中，与的方向相同，且长度都等于线段长度的一半，故D正确． 故选：D. 【例3】下列说法中正确的是（   ） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的性质逐个分析即可. 【详解】A中，当时，，零向量的方向是任意的，不与同向或反向，故A错误， B中，当，时，不存在实数使， 故B错误， C中，向量的模长关系仅表示长度比例，不决定方向，若，则与可能方向不相同也不相反，故C错误， D中，若，则， 故D正确， 故选：D. 【考试题型3】向量的加法、减法运算 【例4】“若，则”的逆命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据逆命题的定义写出命题的逆命题即可. 【详解】命题“若，则”的逆命题为：若，则. 【例5】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法法则和运算律求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：A. 【例6】若，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量的线性运算及线性运算的坐标表示可得解. 【详解】若，， 则． 故选：C. 【考试题型4】向量的数乘运算 【例7】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性运算的性质直接化简计算即可. 【详解】. 故选：A. 【考试题型5】向量内积的定义与性质 【例8】已知两个非零向量与的夹角为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量夹角的定义，向量内积的定义求解. 【详解】因为，因为与的夹角为锐角. 所以. 又与是非零向量，则，所以. 故选：A. 【考试题型6】向量内积的定义与性质 【例9】下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的内积公式及向量内积的运算律逐项分析即可. 【详解】对于A：，当共线时成立，故A错误； 对于B：由可以得到，但是由得不到， 当时，，故B错误； 对于C：若，则或，故C错误； 对于D：由向量内积的运算律，可知，故D正确. 故选：D. 【考试题型7】向量内积的运算律 【例10】已知，，，则（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据，结合平面向量内积的定义及运算律即可得解. 【详解】. 故选：. 【考试题型8】向量内积的坐标表示 【例11】若，则是（   ） A．锐角 B．直角 C．针角 D．平角 【答案】A 【分析】首先由向量的坐标表示求出，由的符号即可确定夹角的范围. 【详解】已知， 因为， 所以， 又，所以不共线， 从而是锐角. 故选：A. 七、专题归纳小结 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $