专题05 指数函数与对数函数（讲义）-2026版云南省（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版云南省（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及云南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版云南省（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026版云南省（职教高考）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题05 指数函数与对数函数 一、考纲解读 1.理解整数指数幂和有理数指数幂的概念：掌握整数指数幂和有理数指数幂的运算法则：会进行幕的运算。 2.理解指数函数的概念、图像和性质：会运用指数函数的单调性比较大小，会求有关函数的定义域。 3.理解对数的概念(含常用对数、 自然对数)；掌握对数的基本性质；理解对数运算法则，会用运算法则进行运算。 4.理解对数函数的概念图像和性质；会运用对数函数的单调性比较大小；求有关函数的定义域。5.初步掌握从实际情境中 抽象出指数函数、对数函数模型解决简单实际问题的方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 填空题 18 指数函数的图像 3 （1）题型：集中在选择题、解答题。 （2）分值：24年分值在20分，25年分值为3分。 （3）内容：主要考查指数函数与对数函数的定义域、单调性、图像以及化简求值。 2024 选择题 6 根据指数函数、对数函数单调性比大小 2 解答题 26 对数函数定义域 9 解答题 27 对数函数化简求值 9 注：云南2025年进行中职高考改革，然后实行职教高考，因此题目分值有变化。 三、考点预测 根据2024-2025年的真题考情，预估2026年云南省职教高考有2道题目考查指数函数与对数函数，题型设置为单项选择题或者填空题或者解答题，分值分别为3分，3分，10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 指数幂的运算 · 指数函数的性质 · 对数的运算 · 对数函数的性质 · 指数模型与对数模型的实际应用 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ a　(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 奇偶性 奇　 函数 偶　 函数 奇　 函数 非奇非偶　 函数 奇　 函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1)　 五、10分钟小测验 一、选择题 1．的值是（    ） A． B． C．10 D． 2．下列函数中，不是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若点在函数的图像上，则下列点不在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 6．函数（且）的图像恒过定点（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算： . 8．已知函数在上的值域为，则实数的值是 . 9．比较大小： ． 10．一台机器的折旧率为每月，初始价值为 元，设使用 x 个月后机器的价值为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为   . 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C B B 2 < 1．A 【分析】根据指数幂运算和对数的运算性质运算即可. 【详解】. 故选:A． 2．C 【分析】利用对数函数的定义即可得解. 【详解】因为形如（或）的函数是对数函数， 经检验，选项ABD满足要求，而选项C中的底数为，不满足要求. 故选：C. 3．A 【分析】根据题意，结合对数函数的单调性及定义域，即可求得函数的值域. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 因为，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故选：A. 4．C 【分析】由对数的性质及运算法则分析即可. 【详解】A:当时，，故A选项错误， B: 当时， ，故B选项错误， C:，故C选项正确， D:真数必须满足大于零，故D选项错误. 故选:C． 5．B 【分析】根据题意，结合对数的运算，即对数函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为点在的图像上，所以， 所以，故点在函数图像上，故选项A不符合题意； 所以，故点在函数图像上， 又函数在上为单调增函数， 故点不在函数图像上，故选项B符合题意； 所以，故点在函数图像上，故选项C不符合题意； 所以，所以点在函数图像上，故选项D不符合题意； 故选：B. 6．B 【分析】根据指数型函数恒过的定点求解即可. 【详解】函数为（且） 令，即时，， 所以函数（且）的图像恒过定点． 故选：B. 7．2 【分析】根据对数的换底公式和运算性质化简求解. 【详解】 故答案为：. 8． 【分析】根据对数函数的单调性以及值域求解. 【详解】若，则在上单调递减， 则，不符合题意； 若，则在上单调递增，， 则，解得. 故答案为：. 9． 【分析】根据题意，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以． 故答案为：. 10． 【分析】由题可知每月剩余价值是上月的，根据指数函数的变化关系即可求解. 【详解】因为每月折旧率为，则每月剩余价值是上月的， 又初始价值为 10000 元，所以经过 x 个月后价值. 故答案为：. 六、经典例题解析 【考试题型1】实数指数幂及其运算法则 【例1】已知正数满足，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式计算即可. 【详解】因为正数满足，所以， 即，则，所以， 即，因此. 故选：B. 【例2】4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】＝. 故选：A. 【考试题型2】判断一个函数是否为指数函数 【例3】以为自变量的四个函数中，是指数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】选项，底数且，所以为指数函数，故正确； 选项，底数，不符合指数函数的定义，故错误； 选项，指数为，不符合指数函数的定义，故错误； 选项，为幂函数，故错误， 故选：. 【例4】若函数是指数函数，则实数的取值范围是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】由，且得且． 故选：C． 【考试题型3】指数函数的图像 【例5】函数的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意，结合指数函数的图像和性质，分别讨论和时两种情况，即可判断求解. 【详解】由题意，当时，为增函数，当时，且， 故选项A和B不符合题意； 当时，为减函数，当时，， 故选项C不符合题意，选项D符合题意. 故选：D. 【考试题型4】指数函数的性质 【例6】若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性分情况讨论. 【详解】当时，在上单调递减，其最大值为，解得，所以最小值为，则. 当时，在上单调递增，其最大值为，所以最小值为，则. 综上，或. 故选：D. 【例7】函数与的图像（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】先将化为，在中以替换，即可得到，即可求解. 【详解】因为，所以是把中的换为得到的， 则函数与的图像关于轴对称. 故选：B. 【考试题型5】对数的运算法则 【例8】计算：（   ） A．1 B．0 C．4 D．16 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】． 故选：A． 【例9】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质求解. 【详解】∵， ∴. 故选：B. 【考试题型6】对数函数的性质 【例10】三个数，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助指数函数和对数函数的单调性及中间量分析即可得. 【详解】因为指数函数，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数， 所以，. 因为对数函数，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数， 所以， 所以. 故选：D. 【例11】已知函数，则（ ） A．有最小值，且最小值为-2 B．有最小值，且最小值为-1 C．有最大值，且最大值为-2 D．有最大值，且最大值为-1 【答案】D 【分析】通过换元法结合对数函数的单调性可求最值. 【详解】令，则， 又在上单减，有， 所以有最大值，且最大值为，但无最小值. 故选：D. 【考试题型7】指数模型与对数模型的实际应用 【例12】2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则经过（   ）天能达到最初的16000倍（参考数据；）． A．198 B．199 C．197 D．200 【答案】B 【分析】根据题意列出方程结合对数的运算法则即可得解. 【详解】设过x天能达到最初的16000倍， 由已知可得，， 所以， 因为，故天能达到最初的16000倍， 故选：B． 【例13】某钢铁厂的年产量，由2004年的40万吨，增加到2014年的60万吨，如果按此增长率计算，预计该钢铁厂2024年的年产量为 ． 【答案】90万吨 【分析】设年增长率为，由题意列方程求解即可. 【详解】设年增长率为， 由题意可得，， ， 2024年的年产量为（万吨）． 故答案为：90万吨. 七、专题归纳小结 解题逻辑：指数函数与对数函数互为反函数，解题需以二者性质为基础，遵循“先定范围、再用性质、最后建关系”的逻辑。求值或化简时，对数类题目需先保证真数大于0，再通过换底公式统一底数，结合指数的“同底幂相乘底数不变指数相加”、对数的“同底对数相加等于真数相乘”等运算性质计算；处理单调性相关问题（如比较大小、解不等式）时，需先判断底数的范围（（ a > 1 )时单调递增，( 0 < a < 1 )时单调递减），再根据单调性“增函数自变量大则函数值大，减函数自变量大则函数值小”的特点，转化为具体的等式或不等式求解；求定义域或值域时，对数需严格把控真数大于0，指数则关注定义域为全体实数的特性，结合函数单调性或二次函数等辅助工具确定范围。 易错点解析：一是忽略定义域，尤其是对数的真数非正、指数与对数的底数等于1或小于0的情况；二是误用运算性质；三是忽视反函数的关联特性，遗漏底数和真数的取值限制，导致结果出错。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $