第一单元 分数乘法 培优精讲（知识梳理+10个考点讲练+巩固练习 共50题）-2025-2026学年人教版数学六年级上学期

第一单元 分数乘法 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一、分数乘法的意义 1 知识点二、分数乘法的计算法则 1 知识点三、分数乘法解决问题 2 知识点四、计算通用注意事项 3 考点练习 3 考点一：分数乘整数 3 考点二：分数乘分数 4 考点三：分数乘小数 4 考点四：因数和积的大小关系（分数乘法） 5 考点五：分数的连乘运算 6 考点六：整数乘法运算定律推广到分数乘法 7 考点七：求一个数的几分之几的问题 9 考点八：连续求一个数的几分之几是多少的问题 10 考点九：已知总量及一部分分率，求另一部分量 11 考点十：求比一个数多/少几分之几的数是多少 12 巩固练习 13 知识梳理 知识点一、分数乘法的意义 （一）分数乘整数的意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，是求几个相同加数的和的简便运算。这里的“相同加数”是指分数，“几个”是指整数，通过乘法运算简化多个相同分数连加的过程。 （二）一个数乘分数的意义 一个数乘分数的意义是求这个数的几分之几是多少。这里的“一个数”可以是整数、分数、小数或带分数等；“几分之几”表示分率，即部分与整体的关系，运算结果是这个数的部分量。 知识点二、分数乘法的计算法则 （一）分数乘整数 1.基本法则：用分数的分子与整数相乘的积作新的分子，分母保持不变。 2.关键步骤：计算前若分子与整数、或分母与整数能约分（即存在公因数），可先约分，再用约分后的分子与整数相乘，分母用约分后的结果，以简化计算。 3.算理统一：整数可看作分母是1的分数，因此分数乘整数可统一为分数乘分数的法则（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）。 （二）分数乘分数 1.基本法则：用两个分数的分子相乘的积作新的分子，分母相乘的积作新的分母。 2.关键步骤：计算前需先约分，约分对象为分子与分母（包括第一个分数的分子与第二个分数的分母、第一个分数的分母与第二个分数的分子），通过交叉约分简化分子和分母，再进行乘法运算。 （三）小数乘分数 1.方法一：将小数化成分数，再按照分数乘分数的法则计算。此方法适用于所有小数与分数的乘法，尤其当分数不能化成有限小数时。 2.方法二：将分数化成小数，再按照小数乘法的法则计算。此方法仅适用于分数能化成有限小数的情况。 3.特殊技巧：若小数与分数的分母存在公因数，可先将小数与分母约分，再用约分后的小数与分子相乘，分母用约分后的结果。 （四）带分数乘分数 1.前置步骤：先将带分数化成假分数（方法：带分数的整数部分乘分母加分子的和作新分子，分母不变）。 2.后续计算：按照分数乘分数的法则进行计算（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分）。 知识点三、分数乘法解决问题 （一）求一个数的几分之几是多少 1.关键前提：已知单位“1”的量（即整体量），求其部分量。 2.找单位“1”的方法：通常“的”字前面的量是单位“1”，或“是、占、相当于”后面的量是单位“1”。 3.数量关系：单位“1”的量 × 对应分率 = 所求部分量。 （二）连续求一个数的几分之几是多少 1.特点：存在多个分率，且每个分率对应不同的单位“1”（前一个分率的结果是后一个分率的单位“1”）。 2.关键步骤： 依次确定每个分率对应的单位“1”； 用第一个单位“1”的量乘第一个分率，得到中间量（第二个分率的单位“1”）； 再用中间量乘第二个分率，得到最终所求量（可列连乘算式一次性计算）。 （三）稍复杂的求一个数的几分之几是多少（含“比一个数多/少几分之几”） 1.特点：分率表示“多/少的部分占单位‘1’的几分之几”，所求量是单位“1”的量与多/少的部分的和/差。 2.关键步骤： 确定单位“1”的量（通常为“比”字后面的量）； 求所求量占单位“1”的分率：若“多几分之几”，分率为“1 + 几分之几”；若“少几分之几”，分率为“1 - 几分之几”； 数量关系：单位“1”的量 × 所求量对应的分率 = 所求量。 知识点四、计算通用注意事项 1.结果要求：计算结果必须是最简分数（分子和分母只有公因数1），假分数可根据需要化成带分数或保留假分数。 2.约分时机：优先在计算前进行约分（交叉约分），避免分子、分母过大导致计算繁琐；若未提前约分，计算后需对结果进行约分，直至最简。 3.算理统一：分数乘整数、小数乘分数、带分数乘分数均可转化为分数乘分数的形式（整数看作分母是1的分数，小数化成分数，带分数化成假分数），体现分数乘法法则的一致性。 考点练习 考点一：分数乘整数 例题：直接写出得数。 ×5＝         ＝       24×＝        ×20＝        ＝ 【答案】；；；； 【详解】略 跟踪练习：计算。                                                      【答案】；；； ；；；9 【详解】略 考点二：分数乘分数 例题：直接写得数。                           【答案】 ；；； ；；； 【解析】略 跟踪练习：直接写出得数。                                                                                                  【答案】；；； ；；； 【解析】略 考点三：分数乘小数 例题：直接写出得数。 ＝          ＝          ＝         ＝ ＝         ＝            ＝        ＝ ＝        ＝            ＝         ＝ 【答案】；6；3；5.6 ；；；3.6 3.6；；12； 【详解】略 跟踪练习：直接写出得数。                              【答案】1.5；1.6；2；0.6 【解析】略 考点四：因数和积的大小关系（分数乘法） 例题：如果×＞，那么（    ）。 A．a＞3 B．a＜3 C．a＝3 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。要使的积大于，那么就要大于1，据此确定a的大小。 【详解】要使的积大于，那么＞1，所以＜3。 故答案为：B 跟踪练习：在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3    ( )     ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；据此解答。 【详解】 考点五：分数的连乘运算 例题：看图列式计算。 【答案】90（千克） 【分析】根据图中可得：苹果有90千克，被平均分成了6份；香蕉被平均分成了3份，且香蕉总量占苹果6份中的5份，即苹果的；梨占了香蕉3份中的2份，即占了香蕉总量的；运用分数的连乘运算，可计算得出梨的质量。 【详解】梨的质量为： （千克） 所以梨有50千克。 跟踪练习：看图列式，不用计算。 列式： 【答案】60×× 【分析】由图可知苹果的质量是60千克，梨子的质量是苹果质量的，把苹果的质量看作单位“1”，用苹果的质量乘，求出梨子的质量；又知香蕉的质量是梨子质量的，把梨子的质量看作单位“1”，用梨子的质量乘，即可求出香蕉的质量。 【详解】60×× ＝40× ＝20（千克） 香蕉的质量是20千克。 考点六：整数乘法运算定律推广到分数乘法 例题：计算下列各题，能简算的要简算。              【答案】42；11；； 【分析】（1）利用乘法交换律简便计算； （2）运用乘法分配律； （3）运用乘法分配律的逆运算； （4）利用乘法交换律简便计算； 【详解】（1） （2） （3）（4） 跟踪练习：脱式计算，能简算的要简算。                      【答案】26；50；； 【分析】根据乘法分配律去括号即可简便运算； ，根据乘法交换律，原式变为：，即可简便运算； ，括号里的先根据减法的性质，之后再按照运算顺序进行计算即可； ，根据乘法分配律的逆运算即可简便运算。 【详解】 ＝ ＝18＋8 ＝26 ＝ ＝10×5 ＝50 ＝×[3－（）] ＝×[3－1] ＝×2 ＝ ＝ ＝ ＝ 考点七：求一个数的几分之几的问题 例题：一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车每小时行80千米，货车的速度是客车的，两车开出2.5小时后相遇，两城相距多少千米？ 【答案】360千米 【分析】两车从两个城市相对开出，相遇时的路程和为两城距离。可以利用“路程＝速度×时间”先计算出客车和货车的路程，再计算两城的距离“两城距离＝客车路程＋货车路程”或者利用“两城距离＝（客车速度＋货车速度）×相遇时间”计算。 【详解】货车速度：80×＝64（千米/时） 客车路程：80×2.5＝200（千米） 货车路程：64×2.5＝160（千米） 200＋160＝360（千米） 或者：（80＋64）×2.5 ＝144×2.5 ＝360（千米） 答：两车开出2.5小时后相遇，两城相距360千米。 跟踪练习：甲、乙两地相距960千米。两辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，甲车的行驶速度为85千米/时，乙车的速度是甲车的，两车经过多少时间相遇？ 【答案】6小时 【分析】已知甲车的行驶速度为85千米/时，乙车的速度是甲车的，把甲车的速度看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此计算出乙车的速度； 已知甲、乙两地相距960千米，根据“路程÷速度和＝相遇时间”即可计算出两车的相遇时间。 【详解】85×＝75（千米/时） 960÷（85＋75） ＝960÷160 ＝6（小时） 答：两车经过6小时相遇。 考点八：连续求一个数的几分之几是多少的问题 例题：世界上最宽的河口是拉普拉塔河，河长只有320千米，而河口最宽处的宽度是河长的，河的源头处的宽度是河口最宽处的。河的源头处的宽度是多少千米？ 【答案】50千米 【分析】先把拉普拉塔河的全长看作单位“1”，河口最宽处的宽度是河长的，单位“1”已知，用河长乘，求出河口最宽处的宽度； 再把河口最宽处的宽度看作单位“1”，河的源头处的宽度是河口最宽处的，单位“1”已知，用河口最宽处的宽度乘，求出河的源头处的宽度。 【详解】 （千米） 答：河的源头处的宽度是50千米。 跟踪练习：苹果是一种营养价值极高的水果，苹果中的类黄酮有助于人体及时排出体内垃圾。一个苹果中，碳水化合物的质量大约占苹果质量的，类黄酮的质量是碳水化合物质量的。如果一个苹果重160克，那么这个苹果中含有类黄酮多少克？ 【答案】32克 【分析】将苹果质量看作单位“1”，苹果质量×碳水化合物的对应分率＝碳水化合物的质量，再将碳水化合物的质量看作单位“1”，碳水化合物的质量×类黄酮的对应分率＝类黄酮的质量，据此列式解答。 【详解】 （克） 答：这个苹果中含有类黄酮32克。 考点九：已知总量及一部分分率，求另一部分量 例题：港珠澳大桥通车后，从香港到珠海、澳门的陆路车程缩短到原来的，原来的陆路车程是3.5小时，现在的陆路车程比原来缩短了多少小时？ 【答案】3小时 【分析】从香港到珠海、澳门的陆路车程缩短到原来的，则现在的陆路车程比原来缩短的部分占原来陆路车程的，据此解答即可。 【详解】 （小时） 答：现在的陆路车程比原来缩短了3小时。 跟踪练习：学校购进8100本课外图书分给三、四、五、六年级，三年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，四年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，五年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，六年级分得多少本课外图书？ 【答案】2790本 【分析】把学校购进的课外书的总本数看作单位“1”，根据题意可知，三年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，则三年级分得的本数占总本书的4÷（4＋11）；四年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，则四年级分得本身占总本书的1÷（1＋5）；五年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，则五年级分得的本数占总本数的2÷（2＋7）；用1减去三年级分得本数占总本数的分率，减去四年级分得本数占总本数的分率，减去五年级分得本数占总本数的分率，求出六年级分得本数占总本数的分率，再用学校购进课外书的总本数×六年级分得本数占总本数的分率，即可解答。 【详解】4÷（4＋11） ＝4÷15 ＝ 1÷（1＋5） ＝1÷6 ＝ 2÷（2＋7） ＝2÷9 ＝ 8100×（1－－－） ＝8100×（－－） ＝8100×（－－） ＝8100×（－） ＝8100× ＝2790（本） 答：六年级分得2790本课外书。 考点十：求比一个数多/少几分之几的数是多少 例题：希望小学2023年有108名学生表现优异被评为“希望之星”，2024年获奖学生的数量比2023年多出，希望小学2024年有多少名学生被评为“希望之星”？ 【答案】126名 【分析】已知2024年获奖学生的数量比2023年多出，把2023年获奖学生的数量看作单位“1”，则2024年获奖学生的数量是2023年的，单位“1”已知，用2023年获奖学生的数量乘，求出2024年获奖学生的数量。 【详解】 （名） 答：希望小学2024年有126名学生被评为“希望之星”。 跟踪练习：新时代广告公司要做50块保护环境的标语牌，每块用木料立方米，当完成计划的时，按客户要求改变了标语牌的大小，每块比原来节省了的木料。剩下的标语牌共需要多少木料？ 【答案】13.5立方米 【分析】从题意可知：先以计划总块数（50块）为单位“1”，完成计划的，则剩下计划的1－＝，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用计划总块数×即可求出剩下的块数。再以原来每块用料（立方米）为单位“1”，现在每块用料是原来的1－＝，根据求比一个数少几分之几的数是多少，用乘法计算。用原来每块用料×求出现在每块的用料。最后乘剩下的块数，即可求出剩下的标语牌共需要多少木料。 【详解】50×（1） ＝50 ＝30（块） （1）×30 ×30 ＝13.5（立方米） 答：剩下的标语牌共需要13.5立方米。 巩固练习 1．一包盐用去后，剩下的部分与相比较，（    ）。 A．剩下的重 B．用去的重 C．一样重 D．无法比较 【答案】D 【分析】求一个数的几分之几，单位“1”已知，用乘法。根据一包盐的质量可能大于1kg，等于1kg，小于1kg，分别设出一种情况，计算出剩下的质量，与比较大小即可。 【详解】设一包盐的质量为4kg，则用去的质量为（kg），则剩下的质量为4－1＝3（kg），3kg＞，剩下的部分比重。 设一包盐的质量为1kg，则用去的质量为（kg），则剩下的质量为（kg），＝，剩下的部分与相同。 设一包盐的质量为kg，则用去的质量为（kg），则剩下的质量为（kg），＜，剩下的部分比轻。 所以一包盐用去后，剩下的部分与相比较，无法比较。 故答案为：D 2．六（1）班植树150棵，______，六（2）班植树多少棵？如果列式为：，横线上应补充的条件是（    ）。 A．六（2）班是六（1）班的 B．六（1）班比六（2）班多 C．六（2）班比六（1）班少 D．六（1）班比六（2）班少 【答案】C 【分析】，其中150表示六（1）班植树的棵数，是用乘法计算，是把六（1）班植树的棵数看成单位“1”，就表示六（2）班比六（1）班植树的棵数少，由此求解。 【详解】由分析可知： 六（1）班植树150棵，______，六（2）班植树多少棵？如果列式为：，横线上应补充的条件是六（2）班比六（1）班少。 故答案为：C 3．在计算“”时，若算成“□”，则得数比正确答案多了（    ）。 A．2 B．0.8 C．0.25 D．0.375 【答案】C 【分析】根据乘法分配律可以转化为，与之作差，即可算出得数比正确答案多的数，将结果分数转化为小数即可得到正确答案。 【详解】 故答案为：C 4．儿童的负重最好不要超过体重的，如果长期背负过重物体，会导致腰痛及背痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长。淘气体重35kg，书包重5kg，淘气的书包（    ）。 A．超重 B．不超重 C．没法确定 D．都有可能 【答案】B 【分析】已知淘气体重35kg，儿童的负重最好不要超过体重的，把体重看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用淘气体重乘，求出淘气最大的负重值，再与淘气书包的实际重量进行比较，得出结论。 【详解】35×＝（kg） ＞5 淘气的书包不超重。 故答案为：B 5．一根铁丝，第一次剪去全长的，第二次剪去剩下部分的。剪两次后还剩下的长度是铁丝全长的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将这根铁丝全长看作单位“1”，先用（1）乘，求出第二次剪去的占全长的分率；然后用“1”减去两次剪去的分率之和，即可求出剪两次后还剩下的长度是铁丝全长的几分之几。 【详解】 故答案为：C 6．一张长方形纸板，长是分米，宽是长的，这个长方形的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 【分析】把长方形的长看作单位“1”，宽是长的，用长方形的长×，求出长方形的宽；根据长方形周长＝（长＋宽）×2；长方形面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】×＝（分米） （＋）×2 ＝（＋）×2 ＝×2 ＝（分米） ×＝（平方分米） 一张长方形纸板，长是分米，宽是长的，这个长方形的周长是分米，面积是平方分米。 7．一袋饼干千克，用去它的，还剩下( )千克；又用去千克，还剩下( )千克。 【答案】 /0.6 /0.35 【分析】把这袋饼干的总质量看作单位“1”，用去它的，还剩下它的（1－），此时剩下饼干的质量＝这袋饼干的总质量×（1－），又用去千克，最后剩下饼干的质量＝原来剩下饼干的质量－又用去饼干的质量，据此解答。 【详解】×（1－） ＝× ＝（千克） － ＝－ ＝（千克） 所以，一袋饼干千克，用去它的，还剩下千克；又用去千克，还剩下千克。 8．一个足球的价格是150元，一个排球的价格是一个足球的，一个排球( )元。一个篮球的价格是一个排球的，一个篮球( )元。 【答案】 135 120 【分析】将一个足球的价格看作单位“1”，一个足球的价格×一个排球的对应分率＝一个排球的价格；将一个排球的价格看作单位“1”，一个排球的价格×一个篮球的对应分率＝一个篮球的价格，据此列式计算。 【详解】150×＝135（元） 135×＝120（元） 一个排球135元。一个篮球120元。 9．一本书120页，第一天看了全书的，第二天看了余下的又5页，第三天应从第( )页看起。 【答案】66 【分析】已知一本书120页，第一天看了全书的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即第一天看的页数为120×＝30页；用全书的页数减去第一天看的页数等于第一天看后还剩下的页数，即120－30＝90页；又已知第二天看了余下的又5页，第二天看的页数为90×＋5＝35页；第一天和第二天看的页数和加1即为第三天开始看的页数。据此解答。 【详解】120×＝30（页） 120－30＝90（页） 90×＋5 ＝30＋5 ＝35（页） 30＋35＋1 ＝65＋1 ＝66（页） 所以第三天应该从第66页看起。 10．为了顺利开展研学活动，老师在班级群统计人数。六（1）班有42人报名，六（2）班比六（1）班多，六（2）班报名人数是( )人。 【答案】 49 【分析】把六（1）班的报名人数看作单位“1”，六（2）班报名人数是六（1）班的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此解答。 【详解】 为了顺利开展研学活动，老师在班级群统计人数。六（1）班有42人报名，六（2）班比六（1）班多，六（2）班报名人数是49人。 11．小时等于25分钟。( ) 【答案】√ 【分析】根据进率“1小时＝60分钟”换算单位，从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】×60＝25（分钟） 所以，小时等于25分钟。 原题说法正确。 故答案为：√ 12．5吨的和1吨的一样重。( ) 【答案】√ 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。先用乘法求出5吨的是多少，再用乘法求出1吨的是多少，最后进行比较。 【详解】5×＝（吨） 1×＝（吨） ＝ 所以5吨的和1吨的一样重。 故答案为：√ 13．甲筐苹果重量的正好等于乙筐苹果重量的，甲筐苹果重。( ) 【答案】× 【分析】当乘法算式的乘积相等且不为0时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小，据此解答。 【详解】由题意可知，甲筐苹果的重量×＝乙筐苹果的重量×，因为＞，所以甲筐苹果的重量＜乙筐苹果的重量，即乙筐苹果重，题目说法错误。 故答案为：× 14．五（1）班是女生，五（2）班是女生，那么五（1）班女生比五（2）班女生多。( ) 【答案】 × 【分析】题目给出两个班级女生所占的分率，但未提供班级总人数，因此无法直接比较两个班级女生人数的多少。女生人数由班级总人数乘各自的分率决定，若班级总人数不同，结果可能不同。 【详解】设五（1）班总人数为，五（2）班总人数为。五（1）班女生人数为，五（2）班女生人数为。 比较与的大小需已知和的具体数值。例如： 1. 当，时，两班女生均为2人，人数相等； 2. 当，时，五（1）班女生2人，五（2）班女生4人，后者更多。 由于和不确定，无法得出五（1）班女生一定更多的结论，则题干表述错误。 故答案为：× 15．一个跳跳球从5米高的空中落下，每次接触地面后弹起的高度是降落高度的，第3次弹起的高度是80厘米。( ) 【答案】× 【分析】将开始高度看作单位“1”，开始高度×第1次弹起对应分率＝第1次弹起高度；将第1次弹起高度看作单位“1”，第1次弹起高度×第2次对应分率＝第2次弹起高度；再将第2次弹起高度看作单位“1”，第2次弹起高度×第3次对应分率＝第3次弹起高度。 【详解】5米＝500厘米 500××× ＝200×× ＝80× ＝32（厘米） 第3次弹起的高度是32厘米，原题说法错误。 故答案为：× 16．新兴超市运进40千克苹果，香蕉的质量是苹果的，葡萄的质量比香蕉少，葡萄的质量是( )千克。 【答案】24 【分析】将苹果的质量看作单位“1”，用苹果的质量乘，求出香蕉的质量。再将香蕉的质量看作单位“1”，葡萄的质量是香蕉的，用香蕉的质量乘，即可求出葡萄的质量。 【详解】 ＝ ＝ ＝（千克） 葡萄的质量是24千克。 17．农场里有苹果树400棵，梨树的棵数是苹果树的，梨树有( )棵，如果桃树的棵数是梨树的，果园里有桃树( )棵。 【答案】 240 180 【分析】先把400棵苹果树看作单位“1”，梨树的棵数是苹果树的，单位“1”已知，用苹果树的棵数乘，求出梨树的棵数； 再把梨树的棵数看作单位“1”，桃树的棵数是梨树的，单位“1”已知，用梨树的棵数乘，求出桃树的棵数。 【详解】400×＝240（棵） 240×＝180（棵） 果园里梨树有240棵，桃树180棵。 18．如图，一块地共3公顷，第一天耕了这块地的，第二天耕的是第一天的，第二天耕了这块地的( )，第二天耕了( )公顷。 【答案】 / 【分析】先根据第一天和第二天耕地的关系，求出第二天耕了这块地的几分之几，再结合这块地的总面积，求出第二天耕地的公顷数。 【详解】已知第一天耕了这块地的，第二天耕的是第一天的，可求第二天耕地占这块地的比例为：；然后用这块地的总面积乘第二天耕地占比，得到第二天耕地的公顷数：。 所以，第二天耕了这块地的，第二天耕了公顷。 【点睛】解决此类问题，利用分数乘法，逐步分析各部分量之间的关系，进而求解。关键点：准确理解 “第二天耕的是第一天的” 这一条件，正确运用分数乘法计算比例和具体数量。在解决分数乘法应用题时，要先找准单位 “1”，明确数量关系，再进行计算。 19．学校的劳动基地收获的萝卜和青菜共重30kg，准备装袋运走。如果各装好了，萝卜还剩8kg，那么青菜还剩( )kg。 【答案】2 【分析】把收获的萝卜和青菜的总重量看作单位“1”，各装好了，则还剩下总重量的（1－），单位“1”已知，用总重量乘（1－），求出剩下的重量，再减去萝卜剩下的重量，即是青菜剩下的重量。 【详解】30×（1－） ＝30× ＝10（kg） 10－8＝2（kg） 那么青菜还剩2kg。 20．光荣小学参加“庆六一”演出的学生总人数在120~130之间。统计发现，其中参加民族舞表演的学生人数占演出总人数的，参加民族舞表演的学生有( )人。 【答案】14 【分析】因为民族舞人数为总人数的，人数必须为整数，那么参加演出的学生总人数需是在120~130内的9的倍数，通过运算即可求出结果。 【详解】120~130内9的倍数只有：（人），那么演出总人数为126人，那么民族舞表演的学生人数为（人）。 21．口算。 45×＝      ×＝      ×＝      7.2×＝      ×3＝ ＋＝      ＋10＝       ＋＝       ＋0.32＝      ＋＝ 【答案】3；；1；42； ；；；0.57；2.9 【详解】略 22．计算下面各题，能简算的要简算。                                                                            【答案】4；3.3； ；；75 【分析】，利用乘法结合律进行计算。 ，利用乘法分配律进行计算。 ，先利用乘法分配律计算，然后利用加法交换律进行计算。 ，把3022改写成（3021＋1），然后利用乘法分配律进行计算。 ，先算乘法，再算加法。 ，把小数转化为分数，把最后一个看作（×1），然后利用乘法分配律逆运算进行计算。 【详解】 ＝ ＝2×2 ＝4 ＝ ＝4.2－0.9 ＝3.3 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝75 23．看图列式计算。 【答案】＝330（人） 【分析】已知乐器组有120人，合唱组比乐器组多，把乐器组的人数看作单位“1”，则合唱组的人数是乐器组的。所以合唱组的人数为（人）。乐器组有120人，合唱组有210人，所以总人数为120＋210＝330（人）。 【详解】把乐器组的人数看作单位“1”。 ＝ ＝210＋120 ＝330（人） 总人数是330人。 24．5G技术打破了信息传输的空间限制，具有更高速率、更大连接、更低时延的特性。用5G网络下载的时间是4G网络的，如果用4G网络下载一部高清电影需要10分钟，那么用5G网络下载同一部高清电影只需要多少秒？ 【答案】6秒 【分析】先将4G下载时间（分钟）换算成秒，再根据5G与4G下载时间的关系，用乘法求出5G下载时间。1分钟＝60秒，所以10分钟为10×60＝600秒。已知5G下载时间是4G的，求一个数的几分之几是多少，用乘法，所以用4G时间乘，即可解答。 【详解】1分钟＝60秒 10×60＝600（秒） 600×＝6（秒） 答：用5G网络下载同一部高清电影只需要6秒。 25．电影《哪吒2》上映16天票房突破100亿，21天登顶全球动画电影票房榜。周末，笑笑一家想去看《哪吒2》，在购票APP中发现影厅里324个座位已经被预订了，还剩多少个座位可供笑笑一家选择？ 【答案】36个 【分析】把影厅的总座位数看作单位“1”，已知总座位数324个，已预订了，则还剩下的座位数占总座位数的（1－），单位“1”已知，用总座位数乘（1－），求出还剩下的座位数。 【详解】324×（1－） ＝324× ＝36（个） 答：还剩36个座位可供笑笑一家选择。 26．如果长期背负过重物体，会导致腰痛及腿痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长，儿童的负重最好不要超过体重的，小亮的体重是38千克，书包重6.5千克，小亮的书包超重了吗？ 【答案】超重了 【分析】根据题意，将小亮的体重看作单位“1”，用小亮的体重乘，然后再与6.5千克比较即可。 【详解】385.7（千克） 5.7＜6.5 答：小亮的书包超重了。 27．某校五年级同学去“红色纪念馆”开展研学旅行，接受革命传统文化和红色文化的熏陶。全程用时小时，其中路上用去的时间占总时间的，休息的时间占总时间的，剩下的是参观学习时间。参观学习时间是多少小时？ 【答案】小时 【分析】把全程用的总时间看作单位“1”，路上用去的时间、休息的时间分别占总时间的、，单位“1”已知，用总时间乘、，求出路上用去的时间、休息的时间； 再根据减法的意义，用总时间减去路上用去的时间，再减去休息的时间，即是参观学习的时间。 【详解】×＝（小时） ×＝（小时） －－ ＝－－ ＝（小时） 答：参观学习时间是小时。 28．“苏绣”起源于苏州，为四大名绣之一，是国家级非物质文化遗产。妈妈想绣一幅寓意为家和万事兴的苏绣，如果每天绣，一周能绣完吗？ 【答案】 不能绣完。 【分析】根据题意，妈妈每天绣，用每天绣的分率乘一周的天数可计算出妈妈一周绣的苏绣占比，再与整数1进行比较，从而判断能否绣完。 【详解】一周有7天， 答：妈妈一周不能绣完这幅苏绣。 29．《水浒传》是中国四大名著之一，其讲述了北宋以宋江为首的绿林好汉的故事。梁山共有108名好汉，如果第一天派出去，第二天派出去剩余好汉的，那么这时留守山寨的还有多少名好汉？ 【答案】54名 【分析】由题意可知，是把总人数108名看作单位“1”，第一天派出去人数的对应分率为，则剩余人数对应分率为；是把剩余人数看作单位“1”，第二天派出去人数的对应分率为，则剩余人数对应分率为，根据连续求一个数的几分之几，用连续乘法计算，直接可求出留守山寨的人数。 【详解】 答：这时留守山寨的还有54名好汉。 30．阳光小学六年级三个班植树，六（1）班植树的棵数比六（2）班的还多3棵，六（2）班植树的棵数是六（3）班的。若六（3）班植树35棵，则六（1）班植树多少棵？ 【答案】39棵 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。由题意得，六（3）班植树35棵，六（2）班植树的棵数是六（3）班的，直接用35乘算出六（2）班植树的棵数。六（1）班植树的棵数比六（2）班的还多3棵，直接用前面的得数乘上再加上3即可算出六（1）班植树多少棵。 【详解】35×＝40（棵） 40×＋3 ＝36＋3 ＝39（棵） 答：六（1）班植树39棵。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 分数乘法 培优精讲 目录 知识梳理 1 知识点一、分数乘法的意义 1 知识点二、分数乘法的计算法则 2 知识点三、分数乘法解决问题 3 知识点四、计算通用注意事项 3 考点练习 4 考点一：分数乘整数 4 考点二：分数乘分数 4 考点三：分数乘小数 5 考点四：因数和积的大小关系（分数乘法） 5 考点五：分数的连乘运算 6 考点六：整数乘法运算定律推广到分数乘法 7 考点七：求一个数的几分之几的问题 9 考点八：连续求一个数的几分之几是多少的问题 10 考点九：已知总量及一部分分率，求另一部分量 11 考点十：求比一个数多/少几分之几的数是多少 12 巩固练习 13 知识梳理 知识点一、分数乘法的意义 （一）分数乘整数的意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，是求几个相同加数的和的简便运算。这里的“相同加数”是指分数，“几个”是指整数，通过乘法运算简化多个相同分数连加的过程。 （二）一个数乘分数的意义 一个数乘分数的意义是求这个数的几分之几是多少。这里的“一个数”可以是整数、分数、小数或带分数等；“几分之几”表示分率，即部分与整体的关系，运算结果是这个数的部分量。 知识点二、分数乘法的计算法则 （一）分数乘整数 1.基本法则：用分数的分子与整数相乘的积作新的分子，分母保持不变。 2.关键步骤：计算前若分子与整数、或分母与整数能约分（即存在公因数），可先约分，再用约分后的分子与整数相乘，分母用约分后的结果，以简化计算。 3.算理统一：整数可看作分母是1的分数，因此分数乘整数可统一为分数乘分数的法则（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）。 （二）分数乘分数 1.基本法则：用两个分数的分子相乘的积作新的分子，分母相乘的积作新的分母。 2.关键步骤：计算前需先约分，约分对象为分子与分母（包括第一个分数的分子与第二个分数的分母、第一个分数的分母与第二个分数的分子），通过交叉约分简化分子和分母，再进行乘法运算。 （三）小数乘分数 1.方法一：将小数化成分数，再按照分数乘分数的法则计算。此方法适用于所有小数与分数的乘法，尤其当分数不能化成有限小数时。 2.方法二：将分数化成小数，再按照小数乘法的法则计算。此方法仅适用于分数能化成有限小数的情况。 3.特殊技巧：若小数与分数的分母存在公因数，可先将小数与分母约分，再用约分后的小数与分子相乘，分母用约分后的结果。 （四）带分数乘分数 1.前置步骤：先将带分数化成假分数（方法：带分数的整数部分乘分母加分子的和作新分子，分母不变）。 2.后续计算：按照分数乘分数的法则进行计算（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分）。 知识点三、分数乘法解决问题 （一）求一个数的几分之几是多少 1.关键前提：已知单位“1”的量（即整体量），求其部分量。 2.找单位“1”的方法：通常“的”字前面的量是单位“1”，或“是、占、相当于”后面的量是单位“1”。 3.数量关系：单位“1”的量 × 对应分率 = 所求部分量。 （二）连续求一个数的几分之几是多少 1.特点：存在多个分率，且每个分率对应不同的单位“1”（前一个分率的结果是后一个分率的单位“1”）。 2.关键步骤： 依次确定每个分率对应的单位“1”； 用第一个单位“1”的量乘第一个分率，得到中间量（第二个分率的单位“1”）； 再用中间量乘第二个分率，得到最终所求量（可列连乘算式一次性计算）。 （三）稍复杂的求一个数的几分之几是多少（含“比一个数多/少几分之几”） 1.特点：分率表示“多/少的部分占单位‘1’的几分之几”，所求量是单位“1”的量与多/少的部分的和/差。 2.关键步骤： 确定单位“1”的量（通常为“比”字后面的量）； 求所求量占单位“1”的分率：若“多几分之几”，分率为“1 + 几分之几”；若“少几分之几”，分率为“1 - 几分之几”； 数量关系：单位“1”的量 × 所求量对应的分率 = 所求量。 知识点四、计算通用注意事项 1.结果要求：计算结果必须是最简分数（分子和分母只有公因数1），假分数可根据需要化成带分数或保留假分数。 2.约分时机：优先在计算前进行约分（交叉约分），避免分子、分母过大导致计算繁琐；若未提前约分，计算后需对结果进行约分，直至最简。 3.算理统一：分数乘整数、小数乘分数、带分数乘分数均可转化为分数乘分数的形式（整数看作分母是1的分数，小数化成分数，带分数化成假分数），体现分数乘法法则的一致性。 考点练习 考点一：分数乘整数 例题：直接写出得数。 ×5＝         ＝       24×＝        ×20＝        ＝ 跟踪练习：计算。                                                      考点二：分数乘分数 例题：直接写得数。                           跟踪练习：直接写出得数。                                                                                                  考点三：分数乘小数 例题：直接写出得数。 ＝          ＝          ＝         ＝ ＝         ＝            ＝        ＝ ＝        ＝            ＝         ＝ 跟踪练习：直接写出得数。                              考点四：因数和积的大小关系（分数乘法） 例题：如果×＞，那么（    ）。 A．a＞3 B．a＜3 C．a＝3 D．不能确定 跟踪练习：在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3    ( )     ( )    ( ) 考点五：分数的连乘运算 例题：看图列式计算。 跟踪练习：看图列式，不用计算。 列式： 考点六：整数乘法运算定律推广到分数乘法 例题：计算下列各题，能简算的要简算。              跟踪练习：脱式计算，能简算的要简算。                      考点七：求一个数的几分之几的问题 例题：一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车每小时行80千米，货车的速度是客车的，两车开出2.5小时后相遇，两城相距多少千米？ 跟踪练习：甲、乙两地相距960千米。两辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，甲车的行驶速度为85千米/时，乙车的速度是甲车的，两车经过多少时间相遇？ 考点八：连续求一个数的几分之几是多少的问题 例题：世界上最宽的河口是拉普拉塔河，河长只有320千米，而河口最宽处的宽度是河长的，河的源头处的宽度是河口最宽处的。河的源头处的宽度是多少千米？ 跟踪练习：苹果是一种营养价值极高的水果，苹果中的类黄酮有助于人体及时排出体内垃圾。一个苹果中，碳水化合物的质量大约占苹果质量的，类黄酮的质量是碳水化合物质量的。如果一个苹果重160克，那么这个苹果中含有类黄酮多少克？ 考点九：已知总量及一部分分率，求另一部分量 例题：港珠澳大桥通车后，从香港到珠海、澳门的陆路车程缩短到原来的，原来的陆路车程是3.5小时，现在的陆路车程比原来缩短了多少小时？ 跟踪练习：学校购进8100本课外图书分给三、四、五、六年级，三年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，四年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，五年级分得的本数占其他年级分得的总本数的，六年级分得多少本课外图书？ 考点十：求比一个数多/少几分之几的数是多少 例题：希望小学2023年有108名学生表现优异被评为“希望之星”，2024年获奖学生的数量比2023年多出，希望小学2024年有多少名学生被评为“希望之星”？ 跟踪练习：新时代广告公司要做50块保护环境的标语牌，每块用木料立方米，当完成计划的时，按客户要求改变了标语牌的大小，每块比原来节省了的木料。剩下的标语牌共需要多少木料？ 巩固练习 1．一包盐用去后，剩下的部分与相比较，（    ）。 A．剩下的重 B．用去的重 C．一样重 D．无法比较 2．六（1）班植树150棵，______，六（2）班植树多少棵？如果列式为：，横线上应补充的条件是（    ）。 A．六（2）班是六（1）班的 B．六（1）班比六（2）班多 C．六（2）班比六（1）班少 D．六（1）班比六（2）班少 3．在计算“”时，若算成“□”，则得数比正确答案多了（    ）。 A．2 B．0.8 C．0.25 D．0.375 4．儿童的负重最好不要超过体重的，如果长期背负过重物体，会导致腰痛及背痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长。淘气体重35kg，书包重5kg，淘气的书包（    ）。 A．超重 B．不超重 C．没法确定 D．都有可能 5．一根铁丝，第一次剪去全长的，第二次剪去剩下部分的。剪两次后还剩下的长度是铁丝全长的（    ）。 A． B． C． D． 6．一张长方形纸板，长是分米，宽是长的，这个长方形的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 7．一袋饼干千克，用去它的，还剩下( )千克；又用去千克，还剩下( )千克。 8．一个足球的价格是150元，一个排球的价格是一个足球的，一个排球( )元。一个篮球的价格是一个排球的，一个篮球( )元。 9．一本书120页，第一天看了全书的，第二天看了余下的又5页，第三天应从第( )页看起。 10．为了顺利开展研学活动，老师在班级群统计人数。六（1）班有42人报名，六（2）班比六（1）班多，六（2）班报名人数是( )人。 11．小时等于25分钟。( ) 12．5吨的和1吨的一样重。( ) 13．甲筐苹果重量的正好等于乙筐苹果重量的，甲筐苹果重。( ) 14．五（1）班是女生，五（2）班是女生，那么五（1）班女生比五（2）班女生多。( ) 15．一个跳跳球从5米高的空中落下，每次接触地面后弹起的高度是降落高度的，第3次弹起的高度是80厘米。( ) 16．新兴超市运进40千克苹果，香蕉的质量是苹果的，葡萄的质量比香蕉少，葡萄的质量是( )千克。 17．农场里有苹果树400棵，梨树的棵数是苹果树的，梨树有( )棵，如果桃树的棵数是梨树的，果园里有桃树( )棵。 18．如图，一块地共3公顷，第一天耕了这块地的，第二天耕的是第一天的，第二天耕了这块地的( )，第二天耕了( )公顷。 19．学校的劳动基地收获的萝卜和青菜共重30kg，准备装袋运走。如果各装好了，萝卜还剩8kg，那么青菜还剩( )kg。 20．光荣小学参加“庆六一”演出的学生总人数在120~130之间。统计发现，其中参加民族舞表演的学生人数占演出总人数的，参加民族舞表演的学生有( )人。 21．口算。 45×＝      ×＝      ×＝      7.2×＝      ×3＝ ＋＝      ＋10＝       ＋＝       ＋0.32＝      ＋＝ 22．计算下面各题，能简算的要简算。                                                                            23．看图列式计算。 24．5G技术打破了信息传输的空间限制，具有更高速率、更大连接、更低时延的特性。用5G网络下载的时间是4G网络的，如果用4G网络下载一部高清电影需要10分钟，那么用5G网络下载同一部高清电影只需要多少秒？ 25．电影《哪吒2》上映16天票房突破100亿，21天登顶全球动画电影票房榜。周末，笑笑一家想去看《哪吒2》，在购票APP中发现影厅里324个座位已经被预订了，还剩多少个座位可供笑笑一家选择？ 26．如果长期背负过重物体，会导致腰痛及腿痛，严重的甚至会妨碍骨骼生长，儿童的负重最好不要超过体重的，小亮的体重是38千克，书包重6.5千克，小亮的书包超重了吗？ 27．某校五年级同学去“红色纪念馆”开展研学旅行，接受革命传统文化和红色文化的熏陶。全程用时小时，其中路上用去的时间占总时间的，休息的时间占总时间的，剩下的是参观学习时间。参观学习时间是多少小时？ 28．“苏绣”起源于苏州，为四大名绣之一，是国家级非物质文化遗产。妈妈想绣一幅寓意为家和万事兴的苏绣，如果每天绣，一周能绣完吗？ 29．《水浒传》是中国四大名著之一，其讲述了北宋以宋江为首的绿林好汉的故事。梁山共有108名好汉，如果第一天派出去，第二天派出去剩余好汉的，那么这时留守山寨的还有多少名好汉？ 30．阳光小学六年级三个班植树，六（1）班植树的棵数比六（2）班的还多3棵，六（2）班植树的棵数是六（3）班的。若六（3）班植树35棵，则六（1）班植树多少棵？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $