第五单元 圆 培优精讲（知识梳理+17个考点讲练+巩固练习 共62题）-2025-2026学年人教版数学六年级上学期

第五单元 圆 培优精讲 目录 知识梳理 2 知识点一：圆的认识与基本概念 2 知识点二：圆的对称性 2 知识点三：圆的周长及计算 3 知识点四：圆的面积及推导 3 知识点五：圆环的面积计算 4 知识点六：扇形的认识与面积 4 知识点七：圆的应用与培优技巧 5 考点练习 6 考点一：圆的概念及特点 6 考点二：画圆 6 考点三：与圆相关的轴对称图形 7 考点四：圆的周长 8 考点五：半圆的周长 9 考点六：圆的周长的应用 10 考点七：含圆的组合图形的周长 11 考点八：圆的面积 12 考点九：圆的面积的应用 13 考点十：圆环的面积 14 考点十一：求最大面积 15 考点十二：含圆的组合图形的面积 17 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 18 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 21 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 22 考点十六：画扇形 23 考点十七：扇形的周长和面积 24 巩固练习 25 知识梳理 知识点一：圆的认识与基本概念 圆的定义：在一个平面内，线段A绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定点叫做圆心，线段A叫做半径 各部分名称： 圆心（O）：圆中心的点，确定圆的位置 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段 重要关系： 在同圆或等圆中，直径长度是半径的2倍：d=2r 或 r= 同圆或等圆中，所有半径都相等，所有直径都相等 圆的特征： 圆是曲线图形，有无数条半径和直径 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径 知识点二：圆的对称性 轴对称性： 圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴 圆有无数条对称轴 中心对称性： 圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转不变性） 常见对称轴数量： 半圆：1条对称轴 扇形：1条对称轴 圆环：无数条对称轴 知识点三：圆的周长及计算 周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示 圆周率（π）： 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率 π是无限不循环小数，通常取近似值3.14（实际计算时按题目要求取值） 计算公式： 已知直径：C=πd 已知半径：C=2πr 已知周长求直径：d=C÷π 已知周长求半径：r=C÷π÷2 推导过程： 通过测量不同大小的圆发现：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个倍数就是π 单位换算： 常见长度单位：毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米(km) 换算关系：1米=10分米=100厘米=1000毫米 易错警示： 计算时要统一单位 区分直径和半径，避免公式混淆 π是一个固定值，不是单位 知识点四：圆的面积及推导 面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示 计算公式： 基本公式：S=πr² 已知直径：S=π(d÷2)² 已知周长：S=π(C÷π÷2)² 推导过程： 将圆平均分成若干等份（越多越接近长方形），拼成一个近似长方形： 长方形的长=圆周长的一半（πr） 长方形的宽=圆的半径（r） 因为长方形面积=长×宽，所以圆面积S=πr×r=πr² 单位换算： 常见面积单位：平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²) 换算关系：1平方米=100平方分米=10000平方厘米 解题步骤： 1.确定已知条件（半径、直径或周长） 2.根据已知条件求出半径（关键步骤） 3.代入面积公式计算 4.检查单位是否正确 知识点五：圆环的面积计算 圆环定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环（环形） 基本特征： 有一个公共的圆心 有两个半径（外圆半径R和内圆半径r） 环宽=外圆半径-内圆半径=R-r 计算公式： 基本公式：S=πR²-πr² 简便公式：S=π(R²-r²)（利用平方差公式） 解题步骤： 1.确认外圆半径(R)和内圆半径(r) 2.计算R²-r² 3.代入公式S=π(R²-r²)计算 易错点： 混淆直径和半径：题目可能给出直径需要先求半径 环宽处理：已知环宽时，R=r+环宽或r=R-环宽 单位统一：确保R和r的单位一致 知识点六：扇形的认识与面积 扇形定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 各部分名称： 圆心角：顶点在圆心的角（用n表示度数） 弧：圆上任意两点之间的部分 扇形面积公式： 基本公式：S=πr²×(n/360) 推导依据：扇形面积占整个圆面积的比例等于圆心角占360°的比例 扇形与圆的关系： 当n=360°时，扇形就是整个圆 当n=180°时，扇形是半圆（2πr/2=πr） 当n=90°时，扇形是四分之一圆 弧长公式： l=2πr×(n/360)=πr×(n/180)（了解内容） 易错警示： 扇形面积必须已知半径和圆心角两个条件 圆心角的单位是度，计算时不需要换算成弧度 知识点七：圆的应用与培优技巧 组合图形面积计算策略： 1.分割法：将组合图形分割成基本图形（圆、半圆、扇形、三角形等） 2.填补法：用整体图形面积减去空白部分面积（"大减小"） 3.转化法：通过平移、旋转将不规则图形转化为规则图形 常见组合图形类型： 半圆+长方形/正方形 圆环+三角形 多个扇形组合（如四叶草图形） 圆与正方形的关系： 1.正方形内接圆（内切圆）： 直径=正方形边长 面积比：圆面积:正方形面积=π:4 2.圆内接正方形： 对角线=圆的直径 面积比：正方形面积:圆面积=2:π 解决问题的步骤： 1.理解题意，明确所求（周长/面积/体积） 2.提取关键数据，标注图形各部分尺寸 3.选择合适公式和计算策略 4.分步计算，必要时画出辅助线 5.检查单位是否统一，结果是否合理 培优技巧： 寻找"不变量"：在动态问题中，找到不变的半径或直径 利用"整体思想"：不求局部求整体，简化计算 极端值法：考虑特殊情况（如最大、最小面积） 方程思想：设未知数解决复杂问题 考点练习 考点一：圆的概念及特点 例题：以一点为圆心，能画出（    ）个圆。 A．1 B．无数 C．21 【答案】B 【分析】根据“圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小”可知，只确定圆心，不确定半径，就无法确定圆的大小，那么可以画出无数个大小不同的圆。 【详解】以一点为圆心，即确定圆的位置，但不知道半径，就无法确定所画圆的大小，所以能画出无数个圆。 故答案为：B 跟踪练习：圆内最长的线段是圆的直径。( ) 【答案】√ 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。所有两端都在圆上的线段中，直径最长，据此判断。 【详解】圆内最长的线段是直径。原题说法正确。 故答案为：√ 考点二：画圆 例题：在下面的正方形内画一个最大的圆，并标出它的圆心O、半径r、直径d。 【答案】见详解 【分析】正方形内最大圆的圆心是正方形的中心，即正方形两条对角线的交点。圆的直径等于正方形的边长，所以圆的半径r等于正方形边长的一半。用直尺连接正方形的两条对角线，找到它们的交点，标记为圆心O；以O为圆心，以正方形边长的一半为半径r，圆规的一个角定点在点O，圆规的两脚张开至正方形的边处，然后旋转画圆；画一条通过圆心且两端在圆上的线段，并标识出d，从圆心O到圆上的线段，并标示出r。 【详解】 如图： 跟踪练习：请在下面的方格图中，确定一个点为圆心画一个圆，使A、B、C点都在圆上。 【答案】见详解 【分析】由圆的特征可知，圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等，A、B、C点都在圆上，连接AC，则AC的中点O就是圆心，最后以点O为圆心，OA的长度为半径画圆即可。 【详解】作图如下： 考点三：与圆相关的轴对称图形 例题：画出下列图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】依据轴对称图形的定义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可进行解答。 【详解】画图如下： 。 【点睛】本题主要考查对称轴的画法及数量。 跟踪练习：画出下面各图形的对称轴，能画几条就画几条。 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤： （1）找出轴对称图形的任意一组对称点。 （2）连结对称点。 （3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 【详解】作图如下： 【点睛】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴。 考点四：圆的周长 例题：计算下面图形的周长。 【答案】37.68cm 【分析】根据圆的周长＝2×圆周率×半径，列式计算即可。 【详解】2×3.14×6＝37.68（cm） 这个圆的周长是37.68cm。 跟踪练习：求下列各圆的周长。 （1）r＝6厘米        （2）d＝16米 【答案】（1）37.68厘米；（2）50.24米 【分析】根据圆的周长＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，列式计算即可。 【详解】（1）2×3.14×6＝37.68（厘米） 圆的周长是37.68厘米。 （2）3.14×16＝50.24（米） 圆的周长是50.24米。 考点五：半圆的周长 例题：求下边图形周长。 【答案】15.42cm 【分析】根据半圆形的周长＝圆周长的一半＋直径，圆的周长公式，观察可知，直径是6cm，代入数据计算即可得解。 【详解】 （cm） 跟踪练习：刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？ 【答案】61.68米 【分析】求至少准备篱笆的长度，就是求这个半圆形鱼塘的周长；即用圆的周长一半加上直径的长度，根据半圆的周长公式：周长＝π×直径÷2＋直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×24÷2＋24 ＝75.36÷2＋24 ＝37.68＋24 ＝61.68（米） 答：他至少要准备61.68米篱笆。 考点六：圆的周长的应用 例题：为响应“绿色出行”的号召，李老师选择骑自行车上班。已知自行车外轮直径是80厘米，李老师从家到学校用了10分钟，如果车轮每分钟转100圈，李老师家距离学校多少米？ 【答案】2512米 【分析】先求出自行车外轮的周长，圆的周长公式为C＝πd（π取3.14，d表示直径）。外轮直径为80厘米，代入公式得：3.14×80＝251.2（厘米）。车轮每分钟转100圈，每圈长度为外轮周长，因此每分钟行驶距离为：251.2×100＝25120（厘米），因为1米＝100厘米，所以25120厘米为25120÷100＝251.2（米），骑行时间为10分钟，根据“距离＝速度×时间”，用251.2乘10计算即可。 【详解】3.14×80＝251.2（厘米） 251.2×100＝25120（厘米） 1米＝100厘米 25120÷100＝251.2（米） 251.2×10＝2512（米） 答：李老师家距离学校2512米。 跟踪练习：小红看到一棵树，就想知道树干的半径是多少。于是她用一根长3米的绳子在树干上绕了两周，绳子还剩下1.744米，请问树干的半径是多少米？ 【答案】0.1米 【分析】根据题意，先用绳子的全长减去剩下的长度，求出绳子绕树干两周的长度，再除以2，即是绳子绕树干一周的长度，也就是树干的周长； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，据此求出树干的半径。 【详解】树干的周长： （3－1.744）÷2 ＝1.256÷2 ＝0.628（米） 树干的半径： 0.628÷3.14÷2 ＝0.2÷2 ＝0.1（米） 答：树干的半径是0.1米。 考点七：含圆的组合图形的周长 例题：计算这个图形的周长。 【答案】181.2米 【分析】图形的周长是指这个图形一周的长度和，本题图中的周长包括中间长方形的两个长，左右两个圆周长一半，合在一起是2个长方形的长加一个圆的周长，圆的周长＝。 【详解】43.5×2＋3.14×30 ＝87＋94.2 ＝181.2（米） 所以，这个图形的周长是181.2米。 跟踪练习：求图中阴影部分的周长。 【答案】117.4cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长等于长方形的2条长与一条宽的和，再加上直径20厘米的圆周长的一半；其中圆的周长＝×直径。据此计算即可。 【详解】33×2＋20＋3.14×20÷2 ＝66＋20＋62.8÷2 ＝86＋31.4 ＝117.4（cm） 考点八：圆的面积 例题：求图中阴影部分的面积。 【答案】43.74平方厘米 【分析】观察图形可知：用梯形的面积减去圆面积的即可求出阴影部分的面积。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝πr2，据此解答。 【详解】 ＝ （平方厘米） 则图中阴影部分的面积是43.74平方厘米。 跟踪练习：图形计算，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】14.13平方厘米 【分析】圆的面积计算公式为“”，阴影部分的面积＝以6厘米为半径圆的面积×－以6厘米为直径圆的面积×，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝14.13（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是14.13平方厘米。 考点九：圆的面积的应用 例题：小康村新农村建设点计划在边长为90厘米的正方形井口周围用大理石铺设直径为4米的圆形井台，每平方米按200元计算，铺设这个井台需要多少钱？ 【答案】2350元 【分析】根据正方形的面积公式＝边长×边长，圆形的面积公式：S＝πr2，用直径为4米的圆形面积减去边长为90厘米的正方形的面积，再乘每平方米需花费的200元，即可解答。 【详解】90厘米＝0.9米 3.14×（4÷2）2－0.9×0.9 ＝3.14×22－0.81 ＝3.14×4－0.81 ＝12.56－0.81 ＝11.75（平方米） 11.75×200＝2350（元） 答：铺设这个井台需要2350元。 跟踪练习：近年来“推窗可见绿、出门即入园”的美好生活逐渐成为大家的所愿所盼。琪琪家旁边新建城的圆形“口袋公园”，最外围是用五彩碎石铺成的道路，琪琪步长大约是50厘米，她绕这个圆形“口袋公园”一圈大约走了314步，这个公园的面积大约是多少平方米？ 【答案】1962.5平方米 【分析】根据题意，先用琪琪每步的长度乘步数，求出这个圆形公园的周长；根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆形公园的半径；最后根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个公园的面积。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】50厘米＝0.5米 公园的周长： 0.5×314＝157（米） 公园的半径： 157÷3.14÷2 ＝50÷2 ＝25（米） 公园的面积： 3.14×252 ＝3.14×625 ＝1962.5（平方米） 答：这个公园的面积大约是1962.5平方米。 考点十：圆环的面积 例题：李叔叔要给一个圆形餐桌上配一个圆形转盘，如图，转盘的半径是40厘米，转盘外还有宽30厘米的圆环形桌面。圆环形桌面的面积有多大？ 【答案】10362平方厘米 【分析】用转盘的半径40厘米加上30厘米得到桌面大圆的半径，根据圆环的面积公式：，代入数据计算即可得出圆环形桌面的面积。据此列式计算。 【详解】40＋30＝70（厘米） （平方厘米） 答：圆环形桌面的面积有10362平方厘米。 跟踪练习：小米是个细心观察的孩子，她发现她家车上安装的汽车雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，小米测量了一下，这款汽车雨刷摆臂长度为40厘米，胶条长度为20厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少平方厘米？ 【答案】1884平方厘米 【分析】根据题意可知所求面积为两个半圆的面积之差。大圆的半径为40厘米，小圆的半径为（40－20）厘米，根据圆的面积＝πr2再除以2即可求得半圆的面积，再相减即可。 【详解】3.14×402÷2 ＝3.14×1600÷2 ＝5024÷2 ＝2512（平方厘米）     3.14×（40－20）2÷2 ＝3.14×202÷2 ＝3.14×400÷2 ＝1256÷2 ＝628（平方厘米） 2512－628＝1884（平方厘米） 答：这种雨刷能刷到的面积是1884平方厘米。 考点十一：求最大面积 例题：有一根628厘米长的铁丝．如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？ 【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圆的面积最大 【详解】试题分析：周长一定，分别依据长方形、正方形和圆的周长公式求出长方形的长和宽，正方形的边长，圆的半径，进而分别求出其面积． 解：长方形：628÷2=314（厘米）， 假设长为200厘米，则宽为114厘米，其面积是200×114=22800（平方厘米）， 正方形：628÷4=157（厘米），其面积为157×157=24649平方厘米）， 圆：628÷2π=100（厘米），其面积为3.14×1002=31400（平方厘米）， 答：长方形的面积是22800平方厘米，正方形的面积是24649平方厘米，圆的面积是31400平方厘米；由以上可知圆的面积最大． 点评：此题主要考查长方形、正方形及圆的面积公式，将数据代入公式即可． 跟踪练习：一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】47.44平方米 【分析】如图： 观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】长方形草地的面积： 10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 【点睛】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。 考点十二：含圆的组合图形的面积 例题：中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币造型饰品的面积是多少平方厘米？ 【答案】27.62平方厘米 【分析】由图可知，圆的直径是6厘米，利用“”求出圆的面积，正方形的边长是0.8厘米，利用“”求出正方形的面积，这个古钱币造型饰品的面积＝圆的面积－正方形的面积，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2－0.8×0.8 ＝3.14×32－0.8×0.8 ＝3.14×9－0.8×0.8 ＝28.26－0.64 ＝27.62（平方厘米） 答：这个古钱币造型饰品的面积是27.62平方厘米。 跟踪练习：如下图，在半圆形空地上有一个三角形区域种植郁金香。郁金香的种植面积为12平方米，其余部分铺草坪。草坪的面积是多少平方米？ 【答案】 25.68平方米 【分析】观察可知，草坪的面积等于半圆面积减三角形面积，已知三角形是直角等腰三角形，两条直角边都等于半圆的半径，根据的逆运算，用三角形面积乘2得到r2，再根据圆的面积公式，圆的面积除以2可得到半圆的面积，代入数据计算即可得解。 【详解】r2＝（平方米） （平方米） 答：草坪的面积是25.68平方米。 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 例题：下图表示两个相同的圆正好放在一个长方形内，请你添加一个条件，然后求出阴影部分的面积。请使用四种不同的方法计算（π取3）。 【答案】条件：长方形的长是12厘米，宽是6厘米；阴影部分面积：18平方厘米 （答案不唯一） 【分析】看图可知，长方形的宽正好是圆的直径，长正好是一个圆直径的2倍。那么可以添加一个条件为：长方形的长是12厘米，宽是6厘米。长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，圆面积＝πr2。 方法一：先求出大长方形的面积，再将大长方形的面积减去两个圆的面积即可求出阴影部分的面积。 方法二：将大长方形平均分成两个正方形。先求出正方形的面积，再将正方形面积减去一个圆的面积，求出阴影部分面积的一半，再乘2即可。 方法三：将大长方形平均分成上下两个小长方形，先求出小长方形的面积，再减去一个圆的面积，求出阴影部分面积的一半，再乘2即可。 方法四：将大长方形沿着一条对角线分成两个三角形，先求出一个三角形的面积，再减去一个圆的面积，求出阴影部分面积的一半，再乘2即可。 【详解】条件：长方形的长是12厘米，宽是6厘米。（答案不唯一） 方法一： 12×6－3×（6÷2）2×2 ＝72－3×32×2 ＝72－3×9×2 ＝72－54 ＝18（平方厘米） 方法二： 6×6－3×（6÷2）2 ＝36－3×32 ＝36－3×9 ＝36－27 ＝9（平方厘米） 9×2＝18（平方厘米） 方法三： 12×（6÷2）－3×（6÷2）2 ＝12×3－3×32 ＝36－3×9 ＝36－27 ＝9（平方厘米） 9×2＝18（平方厘米） 方法四： 12×6÷2－3×（6÷2）2 ＝36－3×32 ＝36－3×9 ＝36－27 ＝9（平方厘米） 9×2＝18（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18平方厘米。 跟踪练习：过春节时，家家户户都会张贴“福”字窗花，象征“福气已到”。下面这张“福”字窗花采用了外圆内方的造型，圆形的周长是43.96厘米，它中间最大正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】98平方厘米 【分析】圆周长＝2πr＝πd，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【详解】如图： 直径：43.96÷3.14＝14（厘米） 半径：14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：它中间最大正方形的面积是98平方厘米。 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 例题：科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【答案】39.25平方米；15.7秒 【分析】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【详解】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 跟踪练习：校园艺术周就要到了，笑笑想给作品边框做装饰，下图是她设计的精美图案（阴影部分），你能想办法算出做这幅精美图案需要多大面积的彩纸吗？（单位：厘米） 【答案】200平方厘米 【分析】分析给出的图形，中间的虚线把图形分为上下两个完全相同的长方形，上面长方形中阴影图形的面积就等于下面长方形中两个空白的圆的面积之和，据此可知阴影部分的面积就等于长为20厘米宽为10厘米的长方形的面积，再根据长方形的面积＝长×宽计算即可。 【详解】20×10＝200（平方厘米） 答：做这幅精美图案需要200平方厘米的彩纸。 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 例题：以圆为弧的扇形的圆心角是（    ）度。 A．45 B．60 C．90 D．120 【答案】C 【分析】顶点在圆心的角叫做圆心角，圆的圆心角是一个完整的周角，周角的度数是360度。以圆对应的圆心角为周角的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用周角乘即可。 【详解】360×＝90（度） 所以，以圆为弧的扇形的圆心角是90度。     故答案为：C 跟踪练习：弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 【答案】B 【分析】圆的周长＝2×圆周率×半径，将圆的周长看作单位“1”，1弧度是圆周长的，圆心角×1弧度对应分率＝1弧度的度数，π取3.14，计算即可。 【详解】r÷2πr＝＝ 360×＝360×＝360×≈57.3（度） 1弧度约等于57.3度。 故答案为：B 考点十六：画扇形 例题：画一个半径2厘米，圆心角是120°的扇形，并把扇形涂上颜色或线条。 【答案】见详解 【分析】在纸上任意找一点作为扇形的圆心，用铅笔标记为点O；调节圆规两脚间的距离，使两脚间距等于2厘米，即扇形的半径；以点O为圆心，固定圆规的一脚，旋转另一脚画一个完整的圆。用直尺过圆心O画一条射线，与圆相交于点A；把量角器的中心与圆心O重合，量角器的0°刻度线与射线OA重合；在量角器的120°刻度线处，在圆上标记一个点B；用直尺连接圆心O和点B，得到扇形的另一条半径OB，此时∠AOB＝120°。用斜线填充，完成扇形绘制。 【详解】 如图： 跟踪练习：以点O为圆心画一个半径是2m的圆，并在圆中画1个90°扇形。 【答案】图形见详解 【分析】以点O为圆心，圆规两脚之间的距离为2m画圆，标出圆心和半径；以圆心为顶点，半径为边，画90°的圆心角，标出圆心角。据此作图即可。 【详解】如图所示： 【点睛】本题考查圆和扇形，明确圆和扇形的特征是解题的关键。 考点十七：扇形的周长和面积 例题：求下图的阴影面积。 【答案】37.68cm2 【分析】阴影部分是个扇形，根据扇形面积＝πr2×，列式计算即可。 【详解】3.14×42× ＝3.14×16× ＝37.68（cm2） 跟踪练习：求如图中涂色部分的面积。 【答案】43.96平方厘米 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的面积是圆环面积的，根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】3.14×[（5＋4）2－52]× ＝3.14×[92－52]× ＝3.14×[81－25]× ＝3.14×56× ＝43.96（平方厘米） 阴影部分的面积是43.96平方厘米。 巩固练习 1．一个直径为10cm的圆与一个边长为10cm的正方形，它们的面积比是（    ）。 A．π∶2 B．2∶π C．π∶4 D．4∶π 【答案】C 【分析】圆的面积＝圆周率×半径的平方，正方形面积＝边长×边长，据此先计算圆和正方形的面积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出圆和正方形的面积比，化简即可。 【详解】10÷2＝5（cm） （π×52）∶（10×10） ＝（π×25）∶100 ＝（π×25÷25）∶（100÷25） ＝π∶4 它们的面积比是π∶4。 故答案为：C 2．同一个圆中，扇形的大小与（    ）有关。 A．半径的大小 B．圆心角的大小 C．圆心的位置 D．直径的大小 【答案】B 【分析】扇形的面积＝圆周率×半径的平方×，圆周率是个定值，因此扇形的大小与半径和圆心角的大小有关，据此分析。 【详解】在同一个圆中，半径和直径的大小固定，扇形的圆心角越大，扇形的面积越大，因此扇形的大小与圆心角的大小有关。 故答案为：B 3．一个圆桌的直径是150cm，在圆桌边上要求每隔50cm摆一套餐具，为了保证间距，最多可以摆餐具（    ）套。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】先根据“”求出圆桌的周长，可以摆餐具的套数＝圆桌的周长÷间距，最后结果取整数，据此解答。 【详解】150×3.14＝471（cm） 471÷50≈9（套） 所以，最多可以摆餐具9套。 故答案为：B 4．在方格纸中，每个小正方形的边长都是1cm，如果要在方格纸上画一个半径是3cm的完整圆，那么圆心的位置可以是 （    ）。 A．（5，2） B．（4，3） C．（3，2） D．（4，1） 【答案】B 【分析】根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数。根据半径的定义可知，圆心所在位置的列数与行数至少都是3。 【详解】国为圆心所在位置的列数与行数至少都是3，所以圆心的位置可以是（4，3）。 故答案为：B 5．如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，阴影的一段边缘是半径为6厘米的圆弧，阴影部分的面积等于（    ）平方厘米。（取π＝3.14，精确至0.01平方厘米） A．36.46 B．48 C．20.6 D．21 E．40.26 【答案】E 【分析】观察图形后发现阴影部分的面积可以用“整体－空白”的方法来求解，即先求出一个大三角形的面积，再求出右下角空白部分的面积，由此即可解决。 【详解】如图： S1的面积： （平方厘米） S2的面积： （平方厘米） 阴影的面积：（平方厘米） 故答案为：D 6．如图，把一个圆平均分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的宽为5厘米，则长方形的长为( )厘米。 【答案】15.7 【分析】把圆剪拼成近似长方形时，长方形的宽等于圆的半径。已知长方形的宽为5厘米，所以圆的半径为5厘米。把圆剪拼成近似长方形时，长方形的长等于圆周长的一半。根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），可得圆周长的一半（即长方形的长）为：2×3.14×5÷2＝15.7（厘米）。 【详解】长方形的宽等于圆的半径，长等于圆周长的一半。 2×3.14×5÷2＝15.7（厘米） 长方形的长为15.7厘米。 7．至少对折( )次可以找到一张圆形纸的直径，至少对折( )次可以找到一张圆形纸的圆心。 【答案】 1 2 【分析】将一个圆进行对折，折痕就是圆的直径，将一张圆形纸片对折两次，折痕的交点就是圆心。 【详解】至少对折1次可以找到一张圆形纸的直径，至少对折2次可以找到一张圆形纸的圆心。 8．一座钟楼上钟表分针长30厘米，从9时到9时30分，分针尖端走过了( )厘米。 【答案】94.2 【分析】根据题意，从9时到9时30分经过了30分钟；分针60分钟转一圈，30分钟转半圈，即分针的尖端30分钟所走的路程是半径为30厘米的圆周长的；根据公式C＝2πr求出圆的周长，再乘即可。 【详解】9时30分－9时＝30（分钟） 30÷60＝ 2×3.14×30×＝94.2（厘米） 分针尖端走过了94.2厘米。 9．做中学，学中做。课后服务时间小明用长16.4dm、宽9.4dm的长方形纸剪半径是1dm的圆，他最多剪了( )个。 【答案】 32 【分析】要计算在长方形纸上最多能剪多少个半径1dm的圆，需将圆的直径（2dm）作为排列单位。分别计算长和宽方向上能排列的圆的数量，再相乘得到总数。据此可得出答案。 【详解】圆的直径为：1×2＝2（dm）；则沿着长方形的长可以排列圆的个数为：16.4÷2＝8.2，即去掉小数部分为8个；沿着长方形宽可以排列圆的个数为：9.4÷2＝4.7，舍去小数部分是4个。 则最多可以剪圆形的个数为：8×4＝32（个）。 10．如图，公园有两块半圆形的草坪，它们的周长都是154.2m，这两块草坪的总面积是 。 【答案】2826 【分析】设每个半圆草坪的半径为rm，根据半圆的周长＝r＋2r列方程解答求出半圆的半径，再根据圆的面积＝解答即可。 【详解】解：设每个半圆草坪的半径为rm。 3.14r＋2r＝154.2 5.14r＝154.2 5.14r÷5.14＝154.2÷5.14 r＝30 所以这两块草坪的总面积是2826。 11．朱子安有一辆自行车，前齿轮齿数和后齿轮齿数的比是5∶3，当他蹬了6圈时，后齿轮转了( )圈，他的车轮半径约是30厘米，此时，这辆自行车大约行驶了( )米。（得数保留整数） 【答案】 10 19 【分析】前齿轮和后齿轮转动的齿数是相同的，所以用前齿轮转动的圈数乘所占的份数除以后齿轮所占的份数求出后齿轮转动的圈数，把30厘米转化为0.3米，再根据圆的周长＝2πr求出车轮转动一圈的距离，再乘转动的圈数即可求出这辆自行车约行驶了多少米，得数采用“四舍五入法”保留整数。 【详解】30厘米＝0.3米 （圈） （米） 朱子安有一辆自行车，前齿轮齿数和后齿轮齿数的比是5∶3，当他蹬了6圈时，后齿轮转了10圈，他的车轮半径约是30厘米，此时，这辆自行车大约行驶了19米。（得数保留整数） 12．如图是一个半径为r的圆，它的面积与长方形OABC的面积相等。阴影部分的面积可表示为 ；如果半径是20厘米，阴影部分的周长是 厘米。 【答案】 πr2 157 【分析】根据圆的面积＝π×半径2，据此求出圆的面积；圆的面积＝长方形面积；阴影部分面积＝长方形面积－圆的面积的，据此求出阴影部分面积。当半径＝20厘米，代入数据，求出圆的面积，圆的面积等于长方形面积，长方形的宽等于圆的半径，根据长方形面积＝长×宽，长＝面积÷宽，据此求出长方形的长；阴影部分周长＝长方形周长－半径×2＋圆的周长的，据此求出阴影部分周长。 【详解】π×r2－π×r2× ＝πr2－πr2 ＝πr2 3.14×202÷20 ＝3.14×400÷20 ＝1256÷20 ＝62.8（厘米） （62.8＋20）×2－20×2＋3.14×20×2× ＝82.8×2－20×2＋3.14×20×2× ＝175.6－40＋62.8×2× ＝165.6－40＋125.6× ＝165.6－40＋31.4 ＝125.6＋31.4 ＝157（厘米） 一个半径为r的圆，它的面积与长方形OABC的面积相等。阴影部分的面积可表示为πr2；如果半径是20厘米，阴影部分的周长是157厘米。 13．学校操场上画了一个周长是31.4m的圆，一年级同学站在圆上做游戏，老师在圆内，他和每个同学之间的距离都相等。老师和每个同学之间的距离是 m。 【答案】5 【分析】由题意可知，老师所在的位置就是圆心，他和每个同学之间的距离就是圆的半径，根据圆的周长公式C＝2πr，用圆的周长除以圆周率再除以2即可得解。 【详解】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（m） 学校操场上画了一个周长是31.4m的圆，一年级同学站在圆上做游戏，老师在圆内，他和每个同学之间的距离都相等。老师和每个同学之间的距离是5m。 14．大圆的半径等于小圆的直径，则大圆和小圆的面积比是4∶1。( ) 【答案】√ 【分析】设小圆的半径为，直径为，即大圆的半径为，根据圆的面积公式， 将大圆与小圆的面积表示出来后，表示二者的面积比即可。 【详解】设小圆的半径为，直径为，即大圆的半径为； ；； 。 故答案为：√ 15．扇形的圆心角的顶点在圆上。( ) 【答案】× 【分析】根据扇形的特点，扇形的顶点在圆心，扇形的两条边是两条半径，据此解答。 【详解】由分析可知：扇形的圆心角的顶点在圆心，不在圆上，原题说法错误。 故答案为：× 16．一个圆的周长是37.68cm，用圆规画这个圆时，圆规两脚间的距离是12cm。( ) 【答案】× 【分析】圆规两脚间的距离是圆的半径。根据圆的周长公式，可得出，代入数据计算即可判断。 【详解】圆的周长，由得：。因此，圆规两脚间的距离应为6cm，而非12cm，原题说法错误。 故答案为：× 17．把一个圆拼成一个近似的长方形后，圆的周长等于长方形的周长。( ) 【答案】× 【分析】将圆转化为近似长方形时，长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。圆的周长是2πr，而长方形的周长是2×（长＋宽）＝2×（πr＋r）＝2πr＋2r，比圆的周长多出2r。因此，圆的周长不等于长方形的周长。 【详解】设圆的半径为r 则圆的周长：2πr 长方形的长为圆周长的一半（πr），宽为圆的半径（r）。 长方形的周长：2×（πr＋r）＝2πr＋2r 长方形的周长比圆的周长多出，因此原说法错误。 故答案为：× 18．把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了10cm，这个圆的面积是78.5cm2。( ) 【答案】× 【分析】把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，则周长增加了2条直径，据此求出1条直径的长度，再除以2即可得到半径，最后根据圆的面积公式为：S＝πr2列式求出面积即可。 【详解】10÷2＝5（cm） 5÷2＝2.5（cm） 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（cm2） 把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了10cm，这个圆的面积是19.625cm2。 故答案为：× 19．计算下图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】77平方厘米 【分析】由图可知阴影部分面积为半圆的面积减去三角形的面积； 根据圆的面积公式，这个圆的半径为20÷2＝10厘米，半圆的面积为整个圆的面积的一半； 根据三角形的面积公式，底边长为20厘米，高为8厘米，带入即可求出阴影部分面积。 【详解】半径：20÷2＝10（厘米） （平方厘米） 即阴影部分的面积为77平方厘米。 20．计算阴影部分的面积（单位：厘米，π取3.14） 【答案】24平方厘米 【分析】观察图形，可将右侧的阴影部分割补到左侧，这样阴影部分组成的图形就是一个梯形。因为半圆的半径为4厘米，所以梯形的高为4厘米，梯形的上底为8－4＝4厘米，下底为8厘米。根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入计算即可。 【详解】将右侧的阴影部分割补到左侧，阴影部分组成的图形就是一个梯形。 8－4＝4（厘米） （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 阴影部分的面积是24平方厘米。 21．有一个圆形喷水池的半径是20米，现在要在它的周围种上宽10米的环形草坪（如下）。如果每平方米需要100元的草，那么种植这块草坪需要多少元？ 【答案】157000元 【分析】根据题意可知，草坪的面积就是圆环的面积，内圆的半径r是20米，外圆的半径R是（20＋10）米；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出草坪的面积，再乘每平方米草的价钱，即可求出种植这块草坪需要的钱数。 【详解】20＋10＝30（米） 3.14×（302－202） ＝3.14×（900－400） ＝3.14×500 ＝1570（平方米） 100×1570＝157000（元） 答：种植这块草坪需要157000元。 22．从小强家到学校要走1200米，小强的自行车外轮胎直径约50厘米，他骑自行车上学，如果车轮平均每分钟转200转，他从家到学校约需要多少分钟？（π取3） 【答案】4分钟 【分析】要计算小强从家到学校的时间，需先求出自行车车轮每分钟行驶的距离，再用总路程÷该速度。车轮行驶距离与车轮周长和每分钟转数有关，根据圆的周长公式C＝πd可求周长，进而得速度，据此分析。 【详解】50厘米＝0.5米 3×0.5＝1.5（米） 1.5×200＝300（米） 1200÷300＝4（分钟） 答：他从家到学校约需要4分钟。 23．下面是广场上地砖拼成的图案，已知AB＝BC＝CD＝10米，阴影部分地砖的面积是多少平方米？ 【答案】235.5平方米 【分析】根据题意，可发现阴影部分的面积等于半径为10米的圆的面积减去半径为5米的圆的面积。根据圆的面积公式S＝πr2（其中S表示面积，r表示半径）来计算，据此解答。 【详解】10÷2＝5（米） 3.14×102－3.14×52 ＝3.14×100－3.14×25 ＝314－78.5 ＝235.5（平方米） 答：阴影部分地砖的面积是235.5平方米。 24．六（1）班的同学们在学习园地中用彩色卡纸设计一个如图的“荣誉栏”，把每周表现突出的同学照片张贴在“荣誉栏”里，算一算这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸多少平方分米？ 【答案】 41.12平方分米 【分析】观察图形可知，“荣誉栏”由一个正方形和4个半圆组成，4个半圆可拼成2个完整的圆；已知正方形的边长为4分米，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出正方形的面积；已知圆的直径是4分米，用直径除以2计算出圆的半径，根据圆的面积公式计算出圆的面积，再乘2计算出两个圆的面积；最后将正方形面积与2个圆的面积相加即为“荣誉栏”所需彩色卡纸的面积。 【详解】4×4＝16（平方分米） 4÷2＝2（分米） 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（平方分米） 16＋25.12＝41.12（平方分米） 答：这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸41.12平方分米。 25．李佳学习了圆的面积后，学以致用。自己画了一幅图（如图），四边形ABCD是平行四边形，圆的半径是3厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？请你帮李佳算一算。 【答案】9平方厘米 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的面积通过旋转“转化”为平行四边形ABCD面积的一半，平行四边形的高等于圆的半径，平行四边形的底等于圆的直径。根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。 【详解】如图： 3×2×3÷2 ＝6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方厘米） 答：阴影部分的面积是9平方厘米。 26．学校操场如下图所示，两边是半圆形草坪，中间是长方形足球场。为增强体质，芳芳每天坚持沿操场边沿跑4圈。 （1）足球场的面积比草坪大多少？ （2）芳芳每天跑多少米？ 【答案】（1）2537.5平方米； （2）1348米 【分析】（1）观察可知，两边草坪可拼成一个圆形，已知圆的直径，根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，代入数据可求草坪的面积，足球场是一个长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据可求足球场的面积，再用足球场的面积减草坪的面积即可得解。 （2）根据圆的周长公式，代入数据计算可求圆的周长，再加足球场的两条长，得到沿操场边沿跑1圈的距离，再乘4即可得解。 【详解】（1） （平方米） 答：足球场的面积比草坪大2537.5平方米。 （2） （米） 答：芳芳每天跑1348米。 27．公园里有一个圆形花坛（如图），里面种了三种不同的花卉。种小雏菊和种白云兰的地组成直径为6米的小圆，周围是宽为1米的种郁金香的地，最外面是1米宽的小路。请求出小路的面积？ 【答案】28.26平方米 【分析】已知中间小圆的直径是6米，小圆周围是宽为1米的种郁金香的地，那么中间圆的直径是6＋1＋1＝8米；最外面是1米宽的小路，那么最外面的圆的直径是8＋1＋1＝10米；根据圆的半径＝直径÷2，分别求出中间圆的半径r和最外面圆的半径R；再根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求出小路的面积。 【详解】6＋1＋1＝8（米） 8＋1＋1＝10（米） 8÷2＝4（米） 10÷2＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：小路的面积是28.26平方米。 28．中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 【答案】0.86平方米 【分析】已知外方内圆的图形中正方形的边长是2米，那么正方形内最大圆的直径等于正方形的边长； 观察图形可知，正方形和圆之间部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×2＝4（平方米） 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 4－3.14＝0.86（平方米） 答：正方形和圆之间部分的面积是0.86平方米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆 培优精讲 目录 知识梳理 2 知识点一：圆的认识与基本概念 2 知识点二：圆的对称性 2 知识点三：圆的周长及计算 3 知识点四：圆的面积及推导 3 知识点五：圆环的面积计算 4 知识点六：扇形的认识与面积 4 知识点七：圆的应用与培优技巧 5 考点练习 6 考点一：圆的概念及特点 6 考点二：画圆 6 考点三：与圆相关的轴对称图形 6 考点四：圆的周长 7 考点五：半圆的周长 7 考点六：圆的周长的应用 8 考点七：含圆的组合图形的周长 8 考点八：圆的面积 9 考点九：圆的面积的应用 10 考点十：圆环的面积 10 考点十一：求最大面积 11 考点十二：含圆的组合图形的面积 11 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 12 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 13 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 14 考点十六：画扇形 14 考点十七：扇形的周长和面积 15 巩固练习 15 知识梳理 知识点一：圆的认识与基本概念 圆的定义：在一个平面内，线段A绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定点叫做圆心，线段A叫做半径 各部分名称： 圆心（O）：圆中心的点，确定圆的位置 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段 重要关系： 在同圆或等圆中，直径长度是半径的2倍：d=2r 或 r= 同圆或等圆中，所有半径都相等，所有直径都相等 圆的特征： 圆是曲线图形，有无数条半径和直径 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径 知识点二：圆的对称性 轴对称性： 圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴 圆有无数条对称轴 中心对称性： 圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转不变性） 常见对称轴数量： 半圆：1条对称轴 扇形：1条对称轴 圆环：无数条对称轴 知识点三：圆的周长及计算 周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示 圆周率（π）： 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率 π是无限不循环小数，通常取近似值3.14（实际计算时按题目要求取值） 计算公式： 已知直径：C=πd 已知半径：C=2πr 已知周长求直径：d=C÷π 已知周长求半径：r=C÷π÷2 推导过程： 通过测量不同大小的圆发现：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个倍数就是π 单位换算： 常见长度单位：毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米(km) 换算关系：1米=10分米=100厘米=1000毫米 易错警示： 计算时要统一单位 区分直径和半径，避免公式混淆 π是一个固定值，不是单位 知识点四：圆的面积及推导 面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示 计算公式： 基本公式：S=πr² 已知直径：S=π(d÷2)² 已知周长：S=π(C÷π÷2)² 推导过程： 将圆平均分成若干等份（越多越接近长方形），拼成一个近似长方形： 长方形的长=圆周长的一半（πr） 长方形的宽=圆的半径（r） 因为长方形面积=长×宽，所以圆面积S=πr×r=πr² 单位换算： 常见面积单位：平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²) 换算关系：1平方米=100平方分米=10000平方厘米 解题步骤： 1.确定已知条件（半径、直径或周长） 2.根据已知条件求出半径（关键步骤） 3.代入面积公式计算 4.检查单位是否正确 知识点五：圆环的面积计算 圆环定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环（环形） 基本特征： 有一个公共的圆心 有两个半径（外圆半径R和内圆半径r） 环宽=外圆半径-内圆半径=R-r 计算公式： 基本公式：S=πR²-πr² 简便公式：S=π(R²-r²)（利用平方差公式） 解题步骤： 1.确认外圆半径(R)和内圆半径(r) 2.计算R²-r² 3.代入公式S=π(R²-r²)计算 易错点： 混淆直径和半径：题目可能给出直径需要先求半径 环宽处理：已知环宽时，R=r+环宽或r=R-环宽 单位统一：确保R和r的单位一致 知识点六：扇形的认识与面积 扇形定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 各部分名称： 圆心角：顶点在圆心的角（用n表示度数） 弧：圆上任意两点之间的部分 扇形面积公式： 基本公式：S=πr²×(n/360) 推导依据：扇形面积占整个圆面积的比例等于圆心角占360°的比例 扇形与圆的关系： 当n=360°时，扇形就是整个圆 当n=180°时，扇形是半圆（2πr/2=πr） 当n=90°时，扇形是四分之一圆 弧长公式： l=2πr×(n/360)=πr×(n/180)（了解内容） 易错警示： 扇形面积必须已知半径和圆心角两个条件 圆心角的单位是度，计算时不需要换算成弧度 知识点七：圆的应用与培优技巧 组合图形面积计算策略： 1.分割法：将组合图形分割成基本图形（圆、半圆、扇形、三角形等） 2.填补法：用整体图形面积减去空白部分面积（"大减小"） 3.转化法：通过平移、旋转将不规则图形转化为规则图形 常见组合图形类型： 半圆+长方形/正方形 圆环+三角形 多个扇形组合（如四叶草图形） 圆与正方形的关系： 1.正方形内接圆（内切圆）： 直径=正方形边长 面积比：圆面积:正方形面积=π:4 2.圆内接正方形： 对角线=圆的直径 面积比：正方形面积:圆面积=2:π 解决问题的步骤： 1.理解题意，明确所求（周长/面积/体积） 2.提取关键数据，标注图形各部分尺寸 3.选择合适公式和计算策略 4.分步计算，必要时画出辅助线 5.检查单位是否统一，结果是否合理 培优技巧： 寻找"不变量"：在动态问题中，找到不变的半径或直径 利用"整体思想"：不求局部求整体，简化计算 极端值法：考虑特殊情况（如最大、最小面积） 方程思想：设未知数解决复杂问题 考点练习 考点一：圆的概念及特点 例题：以一点为圆心，能画出（    ）个圆。 A．1 B．无数 C．21 跟踪练习：圆内最长的线段是圆的直径。( ) 考点二：画圆 例题：在下面的正方形内画一个最大的圆，并标出它的圆心O、半径r、直径d。 跟踪练习：请在下面的方格图中，确定一个点为圆心画一个圆，使A、B、C点都在圆上。 考点三：与圆相关的轴对称图形 例题：画出下列图形的所有对称轴。 跟踪练习：画出下面各图形的对称轴，能画几条就画几条。 考点四：圆的周长 例题：计算下面图形的周长。 跟踪练习：求下列各圆的周长。 （1）r＝6厘米        （2）d＝16米 考点五：半圆的周长 例题：求下边图形周长。 跟踪练习：刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？ 考点六：圆的周长的应用 例题：为响应“绿色出行”的号召，李老师选择骑自行车上班。已知自行车外轮直径是80厘米，李老师从家到学校用了10分钟，如果车轮每分钟转100圈，李老师家距离学校多少米？ 跟踪练习：小红看到一棵树，就想知道树干的半径是多少。于是她用一根长3米的绳子在树干上绕了两周，绳子还剩下1.744米，请问树干的半径是多少米？ 考点七：含圆的组合图形的周长 例题：计算这个图形的周长。 跟踪练习：求图中阴影部分的周长。 考点八：圆的面积 例题：求图中阴影部分的面积。 跟踪练习：图形计算，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 考点九：圆的面积的应用 例题：小康村新农村建设点计划在边长为90厘米的正方形井口周围用大理石铺设直径为4米的圆形井台，每平方米按200元计算，铺设这个井台需要多少钱？ 跟踪练习：近年来“推窗可见绿、出门即入园”的美好生活逐渐成为大家的所愿所盼。琪琪家旁边新建城的圆形“口袋公园”，最外围是用五彩碎石铺成的道路，琪琪步长大约是50厘米，她绕这个圆形“口袋公园”一圈大约走了314步，这个公园的面积大约是多少平方米？ 考点十：圆环的面积 例题：李叔叔要给一个圆形餐桌上配一个圆形转盘，如图，转盘的半径是40厘米，转盘外还有宽30厘米的圆环形桌面。圆环形桌面的面积有多大？ 跟踪练习：小米是个细心观察的孩子，她发现她家车上安装的汽车雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，小米测量了一下，这款汽车雨刷摆臂长度为40厘米，胶条长度为20厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少平方厘米？ 考点十一：求最大面积 例题：有一根628厘米长的铁丝．如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？ 跟踪练习：一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 考点十二：含圆的组合图形的面积 例题：中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币造型饰品的面积是多少平方厘米？ 跟踪练习：如下图，在半圆形空地上有一个三角形区域种植郁金香。郁金香的种植面积为12平方米，其余部分铺草坪。草坪的面积是多少平方米？ 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 例题：下图表示两个相同的圆正好放在一个长方形内，请你添加一个条件，然后求出阴影部分的面积。请使用四种不同的方法计算（π取3）。 跟踪练习：过春节时，家家户户都会张贴“福”字窗花，象征“福气已到”。下面这张“福”字窗花采用了外圆内方的造型，圆形的周长是43.96厘米，它中间最大正方形的面积是多少平方厘米？ 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 例题：科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 跟踪练习：校园艺术周就要到了，笑笑想给作品边框做装饰，下图是她设计的精美图案（阴影部分），你能想办法算出做这幅精美图案需要多大面积的彩纸吗？（单位：厘米） 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 例题：以圆为弧的扇形的圆心角是（    ）度。 A．45 B．60 C．90 D．120 跟踪练习：弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 考点十六：画扇形 例题：画一个半径2厘米，圆心角是120°的扇形，并把扇形涂上颜色或线条。 考点十七：扇形的周长和面积 例题：求下图的阴影面积。 跟踪练习：求如图中涂色部分的面积。 巩固练习 1．一个直径为10cm的圆与一个边长为10cm的正方形，它们的面积比是（    ）。 A．π∶2 B．2∶π C．π∶4 D．4∶π 2．同一个圆中，扇形的大小与（    ）有关。 A．半径的大小 B．圆心角的大小 C．圆心的位置 D．直径的大小 3．一个圆桌的直径是150cm，在圆桌边上要求每隔50cm摆一套餐具，为了保证间距，最多可以摆餐具（    ）套。 A．8 B．9 C．10 D．11 4．在方格纸中，每个小正方形的边长都是1cm，如果要在方格纸上画一个半径是3cm的完整圆，那么圆心的位置可以是 （    ）。 A．（5，2） B．（4，3） C．（3，2） D．（4，1） 5．如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，阴影的一段边缘是半径为6厘米的圆弧，阴影部分的面积等于（    ）平方厘米。（取π＝3.14，精确至0.01平方厘米） A．36.46 B．48 C．20.6 D．21 E．40.26 6．如图，把一个圆平均分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的宽为5厘米，则长方形的长为( )厘米。 7．至少对折( )次可以找到一张圆形纸的直径，至少对折( )次可以找到一张圆形纸的圆心。 8．一座钟楼上钟表分针长30厘米，从9时到9时30分，分针尖端走过了( )厘米。 9．做中学，学中做。课后服务时间小明用长16.4dm、宽9.4dm的长方形纸剪半径是1dm的圆，他最多剪了( )个。 10．如图，公园有两块半圆形的草坪，它们的周长都是154.2m，这两块草坪的总面积是 。 11．朱子安有一辆自行车，前齿轮齿数和后齿轮齿数的比是5∶3，当他蹬了6圈时，后齿轮转了( )圈，他的车轮半径约是30厘米，此时，这辆自行车大约行驶了( )米。（得数保留整数） 12．如图是一个半径为r的圆，它的面积与长方形OABC的面积相等。阴影部分的面积可表示为 ；如果半径是20厘米，阴影部分的周长是 厘米。 13．学校操场上画了一个周长是31.4m的圆，一年级同学站在圆上做游戏，老师在圆内，他和每个同学之间的距离都相等。老师和每个同学之间的距离是 m。 14．大圆的半径等于小圆的直径，则大圆和小圆的面积比是4∶1。( ) 15．扇形的圆心角的顶点在圆上。( ) 16．一个圆的周长是37.68cm，用圆规画这个圆时，圆规两脚间的距离是12cm。( ) 17．把一个圆拼成一个近似的长方形后，圆的周长等于长方形的周长。( ) 18．把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了10cm，这个圆的面积是78.5cm2。( ) 19．计算下图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 20．计算阴影部分的面积（单位：厘米，π取3.14） 21．有一个圆形喷水池的半径是20米，现在要在它的周围种上宽10米的环形草坪（如下）。如果每平方米需要100元的草，那么种植这块草坪需要多少元？ 22．从小强家到学校要走1200米，小强的自行车外轮胎直径约50厘米，他骑自行车上学，如果车轮平均每分钟转200转，他从家到学校约需要多少分钟？（π取3） 23．下面是广场上地砖拼成的图案，已知AB＝BC＝CD＝10米，阴影部分地砖的面积是多少平方米？ 24．六（1）班的同学们在学习园地中用彩色卡纸设计一个如图的“荣誉栏”，把每周表现突出的同学照片张贴在“荣誉栏”里，算一算这样的“荣誉栏”需要彩色卡纸多少平方分米？ 25．李佳学习了圆的面积后，学以致用。自己画了一幅图（如图），四边形ABCD是平行四边形，圆的半径是3厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？请你帮李佳算一算。 26．学校操场如下图所示，两边是半圆形草坪，中间是长方形足球场。为增强体质，芳芳每天坚持沿操场边沿跑4圈。 （1）足球场的面积比草坪大多少？ （2）芳芳每天跑多少米？ 27．公园里有一个圆形花坛（如图），里面种了三种不同的花卉。种小雏菊和种白云兰的地组成直径为6米的小圆，周围是宽为1米的种郁金香的地，最外面是1米宽的小路。请求出小路的面积？ 28．中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $