专题11 相似三角形中的基本模型之半角模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题11 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·安徽合肥·二模）正方形中，．点E、F分别在边、上，、分别交于点G、H，．则下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， （2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，，，D，E在边上，，，，则的长是 ． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点，点分别是边上的动点，，连接．以下四个结论正确的是（    ）． ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时，；④四边形周长最小值为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 例2（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在矩形中，于点，交于点，点在边上，连接，，且，下列三个结论：①；②若，则；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，是正方形对角线上一点，，，E在上，结论：①；②；③；④若，，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 例5（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠ (1)若，求的长； (2)在点由点运动到点的过程中，设，． ①求与的关系式； ②连接，求面积的最大值． 1．（2025·江苏扬州·一模）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 2．（2025·广东深圳·一模）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的H处，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 4．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，点、分别是正方形的边、上的动点（不与、、重合），且始终保持，、分别交于点、，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 5．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在矩形中，为对角线，过点作的垂线，交于点，垂足为点，过点作交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)求证：． 6．（2025·安徽池州·三模）如图，已知在矩形中，点F，G分别在边上，是的中点，连接，与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰三角形； (3)连接，当，求的值． 7．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点E，F在正方形的对角线上，． (1)求证：； (2)如图2延长交于点G，连接．判断线段与的关系，并说明理由． 8．（24-25九年级上·吉林·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点C和点D都在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． 11．（2024·广东惠州·二模）综合探究 【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空： ①的度数为 　　； ②若，则的长为 　　； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长． 13．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知，是正方形的对角线，点，分别是，上的点，且，，分别与交于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 14．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）探究与实践 【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．若，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到． 易证：，从而得． 【方法归纳】 有公共顶点，锐角等于较大的角的一半时，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型．这种解法称为经典之旋转法． 【实践探究】 （1）在用图①结论下，若，，则正方形的边长是多少？ （2）如图②，点M、N分别在正方形边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连接、，已知，，求的长． 15．（2024·湖北·模拟预测）在平行四边形中， ，点E，F 分别为边，上的点，连接，，， (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，F 为的中点，求的长； (3)如图3，若求的长． 16．（2025·内蒙古呼伦贝尔·三模）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点． (1)如图1，连接，当，，时，求的度数； (2)如图2，连接，与相交于点．且，，． ①求证：； ②若，，求的长． 17．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知矩形，．点是上一点． (1)【操作判断】如图①，若射线平分交于点，根据题意在图①中画出（不写作法，但保留作图痕迹），图中的度数为___________度； (2)【问题探究】如图②，在（1）的条件下连接交于点，若，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，若，，，将所在的直线，围绕点逆时针旋转，所得射线交于，求的长． 18．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)【操作判断】如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系． 小军的思路：过点作交的延长线于点，易证，从而，，可得，即可求解． 根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题探究】如图②，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，在矩形中，，，点，分别在射线，上，连接，，已知，，求线段的长． 19．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）矩形中，为边上的动点，为边上的动点． (1)如图1，若，且与相似，求的长，并在图1中作出点的位置，要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹； (2)如图2，若，且，求的长； (3)如图3，当点与点重合，是的中点，是上的动点，且，求的最小值．【直接写出结果，不写解题过程】 20．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 21．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，在直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，、是线段上的两个动点，且，过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，垂足分别为、、设点的坐标为，令， (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)在点、运动过程中，点也随之运动，探索：是否为定值？请证明你的结论． 22．（24-25九年级上·四川成都·期中）【问题背景】 （1）如图1，在中，D是上一点，．求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形中，点M是的中点，连接交对角线于点F，点G在上，．若，求的长； 【联系拓展】 （3）如图3，在菱形中，E，F分别在边，上，满足， ，，，求菱形的边长． 23．（24-25九年级下·四川成都·开学考试）（1）如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边，上的点，连接，，，，请直接写出，，之间的数量关系：________． （2）如图2，四边形是菱形，点E，F分别是边，上的点，连接，，，，，，，求线段的长． （3）如图3，若菱形的边长为4，E在延长线上，F在边上，，，，求线段的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·安徽合肥·二模）正方形中，．点E、F分别在边、上，、分别交于点G、H，．则下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】由题意易得，将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，通过证明即可判断A选项；由题意易得，然后展开化简即可判断B选项；进而可得，则有，将绕点A顺时针旋转90度得到，过点A分别作，垂足分别为N、J，通过证明，则可判断C、D选项． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即；故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故B正确，不符合题意； ∴，即， ∵， ∴， ∴， 将绕点A顺时针旋转90度得到，过点A分别作，垂足分别为N、J，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D错误，符合题意； ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的综合、旋转的性质及相似三角形的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线． （2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，，，D，E在边上，，，，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，设，则，，然后在中，利用直角三角形的边角关系可得，，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出的长，最后证明，利用相似三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， 设， ，， ，， ，， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点，点分别是边上的动点，，连接．以下四个结论正确的是（    ）． ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时，；④四边形周长最小值为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，得到，即可证出．②当最小值时，即的长为最小值，而当时，值最小，利用勾股定理求出，即可得到的值．③当最小时，点M、N分别为中点，利用三角形中位线定理得到，即可证明，得到，即可．④根据，可得四边形周长，从而得到当最小时，四边形周长最小，最后得到答案． 【详解】解：如图：在菱形中， ， ∵， 为等边三角形， ∴， 为等边三角形， 又∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ， 为等边三角形，故①正确； ∵， 当最小值时，即的长为最小值，而当时，值最小， ∵， ∴，即，故②正确； 当最小时，点M、N分别为中点， ∴， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴四边形周长， ∴当最小时，四边形周长最小，最小值为，故④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 例2（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在矩形中，于点，交于点，点在边上，连接，，且，下列三个结论：①；②若，则；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质， 根据矩形的性质有，即可得，，即可证明①；根据①的结论可得，根据，可得，再根据相似三角形的性质证明②；根据等腰三角形的判定与性质可证明，再证明即可判定③． 【详解】∵在矩形中，，， ∴，， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 即正确的有三个， 故选：D． 例3（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，是正方形对角线上一点，，，E在上，结论：①；②；③；④若，，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，得到，进而得到四点共圆，即可得到，判断①；证明，结合，判断②；证明，判断③；在中勾股定理求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，求出的长，判断④． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， 在中，， 在中，；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是得到四点共圆，证明三角形相似． 例4（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，由矩形的性质得到，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理推出；设，则，证明，由相似三角形的性质得到；由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，由菱形的性质得到，则是等边三角形，，证明，得到，则可证明是等边三角形． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（此时，舍去）， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 例5（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠ (1)若，求的长； (2)在点由点运动到点的过程中，设，． ①求与的关系式； ②连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）可通过证明三角形相似：，，，利用相似三角形的性质来求解的长 （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接，过点作交的延长线于，通过同样利用全等三角形（）及勾股定理（），建立与的关系式；②先表示出的面积表达式，再根据不等式的性质求最大值． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 过点作交的延长线于， ，即， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ，即是的中位线， ， ， 在中，，，， ， 整理，得，， ②如图，过点作于，则四边形为矩形， ，，， , , 由①，； ， ， ， ， ， 当时，面积的最大值为16． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 ，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，不等式的性质等知识，构造辅助线，证全等、相似及利用勾股定理构造方程是解题的关键． 1．（2025·江苏扬州·一模）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)定值4，理由见解析 【分析】本题考查了正方形与折叠，尺规作图，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）①设，则，，在中，根据勾股定理求解即可； ②以A、B为圆心，为半径画弧，相交于点，过A作交于E即可； （2）证明，得出，证明，得出，则，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：； ②如图，点E即为所求， 理由：由作图知， ∵ ∴， 又， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴B、关于对称， 又， ∴点E符合题意； （2）解：的值为定值4， 理由如下； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为定值4． 2．（2025·广东深圳·一模）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 【详解】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ，， ， ， 解得， ，故④正确 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的H处，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于等边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得的长，根据求得的值，即可求得答案． 【详解】解：①由折叠的性质可知：，， ∵四边形是矩形， ， ，故①正确； ②由折叠的性质可知：，， ， ， ，故②正确； ③∵四边形是矩形， ， 在中，， 设，即， 在中，， 即，解得， ， ； 同理可得， ，， ， 与不相似，故③错误； ④，， ， ， ，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，点、分别是正方形的边、上的动点（不与、、重合），且始终保持，、分别交于点、，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些性质与判定．把绕点逆时针旋转得到，先证明，得，，从而得，故证①；证，得，，故可证②；证，故可证③；证明即可判断④． 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ∴， ∴点、、三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵中，， ∴， 故②错误； ∵，， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故答案为：①④． 5．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在矩形中，为对角线，过点作的垂线，交于点，垂足为点，过点作交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得，根据，，推出，得到，由余角的性质可得，即可得证； （2）由（1）知，推出，证明，得到，推出，设，则，即可求解； （3）利用相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由（1）知， ， ， ， 又， ， ， ，即， 设，则， 解得，（舍去）， 即； （3）证明：，，， ，，， ， 又，， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 6．（2025·安徽池州·三模）如图，已知在矩形中，点F，G分别在边上，是的中点，连接，与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰三角形； (3)连接，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，易证，即可证明结论； （2）延长交于点，利用矩形的性质证明，推出，进而得到即是的中点，再根据直角三角形的性质得到，即可得出结论； （3）先证明，推出，求出，设，则，进而求出，证明，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点， 是中点， ， ， ， ， 又， 即是的中点， 即， 在中，， 是等腰三角形； （3）解：是的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 7．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点E，F在正方形的对角线上，． (1)求证：； (2)如图2延长交于点G，连接．判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质和三角形外角的性质得到，即可得出结论； （2）证明，得到，再证明，得到，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·吉林·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：；探究2：见解析；探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质， 等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得出，再证明， 即可得出． （2）由相似三角形的性质可得出， 再结合已知条件可得出的值． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，点C和点D都在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）通过，可得，再利用角度转换即可解答； （2）证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由题（1）可得， ， ， , , ． 11．（2024·广东惠州·二模）综合探究 【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空： ①的度数为 　　； ②若，则的长为 　　； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】（1）①根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； ②结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，易得，设正方形边长为，则，，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案； （3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）①将 绕点逆时针旋转得， ，， 为等腰直角三角形， ； ②为等腰直角三角形，， ， 故答案为：①；②； （2）将绕点逆时针旋转得，如图， 由旋转的性质可得，，，， ， ，，共线， ， ， ，，， ， ， ， ， 设正方形边长为，则，， 在 中，， 即， 解得或（负值舍去）， 正方形的边长为； （3）如图，将绕逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质可得，，，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解． 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，是对角线，点在边上，点在对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在对角线上，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，，点在边上，点在对角线上，，作交的延长线于点的延长线交于点，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，结合，得出，即可作答； （2）连结交于点，证出，根据相似三角形的性质，列式代入数值，计算即可作答； （3）连结交于点，延长交的延长线于点，证明，再根据等面积法，得，运用勾股定理得出的值，根据列式，得出的值，最后由，得，列式代入数值，计算即可作答； 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 可得， 即； （2）如图2，连结交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 则 则 ∴ （3）．过程如下： 如图3，连结交于点，延长交的延长线于点． ∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 则． ， ． ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ 得， ， ∵ ∴ ∴ ， 即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质，综合性强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知，是正方形的对角线，点，分别是，上的点，且，，分别与交于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得出，由已知，通过等量代换得到，即可得出， （2）根据正方形的性质可得出，由已知，通过等量代换得到，得出，，由（1）结论可得，，即可求解， （3）由，，可得，即是等腰直角三角形，即可求解， 本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质与判定． 【详解】（1）解：，是正方形的对角线， ， 又， ，即， ， （2）解：，是正方形的对角线， 和均为等腰直角三角形，， ，， ∵， ，即， ∴， ， 由（1）知， ， ， ， （3）解：， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）探究与实践 【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．若，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到． 易证：，从而得． 【方法归纳】 有公共顶点，锐角等于较大的角的一半时，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型．这种解法称为经典之旋转法． 【实践探究】 （1）在用图①结论下，若，，则正方形的边长是多少？ （2）如图②，点M、N分别在正方形边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连接、，已知，，求的长． 【答案】（1）正方形的边长是6；（2）数量关系为，理由见解析；（3） 【分析】（1）由勾股定理得，设正方形的边长为x，根据结论得到，即可求出正方形的边长； （2）将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接，由旋转的性质得到：，，，，证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得出，然后结合勾股定理，即可得到结论； （3）分别在上截取，在上截取，使，连接交于点R，连接，此时四边形为正方形，设，利用勾股定理列方程，求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【详解】解：（1）如图，在中，， 由勾股定理得：，解得， 设正方形的边长为x， 则，， 由结论知：， 解得：， 即正方形的边长是6； （2）数量关系为：，证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接， 由旋转的性质得到：，，，， 又， ， ， 且，， ， ， 又，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 又，， ； （3）如图，分别在上截取，在上截取，使，连接交于点R，连接，此时洗四边形为正方形， 由问题初探知： 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， 即 解得：， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用旋转将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形是解题关键． 15．（2024·湖北·模拟预测）在平行四边形中， ，点E，F 分别为边，上的点，连接，，， (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，F 为的中点，求的长； (3)如图3，若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）由平行四边形中得到，，，，再结合得到，在上取一点，使，连接，则是等边三角形，再证明，得到，即可得到； （2）延长至，使，连接，则是等边三角形，得到，，由中点得到，，再证明，得到，解方程即可； （3）延长至，使，连接，设，，则，，先证明，得到，得到，再证明，得到，则，把代入得，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中， ， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长至，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵F 为的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵，不在边上， ∴； （3）解：延长至，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，得到， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 把代入得， 解得或， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 16．（2025·内蒙古呼伦贝尔·三模）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，是上一点． (1)如图1，连接，当，，时，求的度数； (2)如图2，连接，与相交于点．且，，． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论； （2）①延长交于，设菱形的边长为，则，，求得，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形中位线定理得到； ②过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是； （2）解：①延长交于， 设菱形的边长为，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ； ②过作交的延长线于， ，， ， ，， ， ， 由①知，， ， ． 17．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知矩形，．点是上一点． (1)【操作判断】如图①，若射线平分交于点，根据题意在图①中画出（不写作法，但保留作图痕迹），图中的度数为___________度； (2)【问题探究】如图②，在（1）的条件下连接交于点，若，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，若，，，将所在的直线，围绕点逆时针旋转，所得射线交于，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由尺规作图作角平分线的方法作图即可，结合矩形的性质、角平分线的定义即可得解； （2）先根据勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质推得即可求得； （3）作交延长线于点，作交延长线于点，反向延长后交延长线于点，结合矩形性质和等腰直角三角形性质证明，结合全等三角形性质求得、，最后证明，由相似三角形的性质即可求得． 【详解】（1）解：画出的平分线如下图： 矩形中，，， ，， ． 故答案为：． （2）解：矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 即， 解得， 经检验是该方程的解， ． （3）解：作交延长线于点，作交延长线于点， 反向延长后交延长线于点， 则四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， 矩形和矩形中， ，，， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、等角对等边、相似三角形的判定与性质、分式方程的实际应用、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 18．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)【操作判断】如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系． 小军的思路：过点作交的延长线于点，易证，从而，，可得，即可求解． 根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题探究】如图②，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，在矩形中，，，点，分别在射线，上，连接，，已知，，求线段的长． 【答案】(1)补全图形见解析，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的长为8或32 【分析】（1）按要求补图即可，根据证明，得出，再根据证明，得出，然后根据线段的和差关系即可得出结论； （2）在上截取，连接，然后类似（1）证明即可； （3）分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，根据相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图①； ，理由如下： 如图①，，四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：，理由如下： 如图②，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：分情况讨论：①当点在线段上时，，则点在线段上，如图③，延长至点，使，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，则四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 如图③，过点作交的延长线于点， 同理可证， ，， ， ，， ，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即的长为8； ②当点在的延长线上时，，则点在的延长线上，如图④，延长至点，使，过点作的平行线，交于点，延长交的延长线于点，连接，则四边形是正方形， 同①可得， ， 设，则， 过点作交于点，同理可证， ，， 同理可证， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即的长为32． 综上所述，线段的长为8或32． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 19．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）矩形中，为边上的动点，为边上的动点． (1)如图1，若，且与相似，求的长，并在图1中作出点的位置，要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹； (2)如图2，若，且，求的长； (3)如图3，当点与点重合，是的中点，是上的动点，且，求的最小值．【直接写出结果，不写解题过程】 【答案】(1)4或6或，图见解析 (2) (3)的最小值为 【分析】（1）设，分两种情况讨论：当时，有；当时，有；分别求解出，再画出点即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，到，连接，交于点，交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点，则是等腰直角三角形，先证明得，，再由平行线的性质得，即可得，，，再证明得，进而可得答案； （3）如图，由是的中点，，得点在以为直径的圆上，所以是直角，所以也是直角，故点又在以为直径的圆上，所以的最小值为，由已知可得，再由勾股定得，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 分以下两种情况： 当时，有， ， 解得， 即或6； 当时，有， ， 解得， 即； 综上，的长为4或6或； 点的位置如图1所示； （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，到，连接，交于点，交于点， 过点作的垂线，垂足为，交于点，则是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ， ， 又， ， ， 求得， ， ， 且， ∵，， ∴， ， 求得； （3）解：如图， ∵是的中点，， ∴点在以为直径的圆上， ∴是直角， ∴也是直角， 故点又在以为直径的圆上， ∴的最小值为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论等知识． 20．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 【答案】(1)；理由见解答过程； (2)． 【分析】（1）补充的条件是，先证明，进而依据“”判定和全等即可得出； （2）连接，证明和相似得，，则，再根据得和相似，则，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后求出，，证明和相似得，则，由此可得的长． 【详解】（1）解：当时，,理由如下： ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，,， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：连接GF，如图所示： ∵，, ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 21．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，在直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，、是线段上的两个动点，且，过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点，垂足分别为、、设点的坐标为，令， (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)在点、运动过程中，点也随之运动，探索：是否为定值？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)为定值，理由见解析 【分析】（1）根据点、坐标得出，根据等边对等角推出，根据，结合三角形外角的性质，推出，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，即可证明； （2）过点作于点，根据点、点得出，推出，推出，，根据等角对等边得出，结合勾股定理求出，利用证明，计算角度推出，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出，则，计算求出的值即可； （3）过点作于点，过点作于点，由（1）得，根据相似三角形的性质得出，则，推出，，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据勾股定理推出，，进一步得出，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点坐标为，点坐标为，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵点坐标为，点坐标为，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∵过点、分别作轴和轴的垂线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为，； （3）解：为定值，理由如下， 如图，过点作于点，过点作于点， 由（1）得， ∴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∵，过点作于点，过点作于点， ∴，，， ∴，四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，综合性较强，灵活运用知识点、作辅助线推理证明是解题的关键． 22．（24-25九年级上·四川成都·期中）【问题背景】 （1）如图1，在中，D是上一点，．求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形中，点M是的中点，连接交对角线于点F，点G在上，．若，求的长； 【联系拓展】 （3）如图3，在菱形中，E，F分别在边，上，满足， ，，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，菱形的性质； （1）证明，得到即可； （2）先由，得到，求出，，再证明，得到，代入求值即可； （3）延长和，分别与直线交于点，，设，，则，，由菱形得到，，，，再由，得到，求得，再证明，得到，求得，，再同理得到，得到，代入求得，最后根据菱形的边长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在正方形中，点M是的中点，， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长和，分别与直线交于点，， 设，，则，， ∵菱形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去），， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴菱形的边长． 23．（24-25九年级下·四川成都·开学考试）（1）如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边，上的点，连接，，，，请直接写出，，之间的数量关系：________． （2）如图2，四边形是菱形，点E，F分别是边，上的点，连接，，，，，，，求线段的长． （3）如图3，若菱形的边长为4，E在延长线上，F在边上，，，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）延长至点G，使得．证明．则．证明．则； （2）分别在上取点M、N，使得，连接，证明，则，过点A作于点G，则,得到，同理可得，，证明，设则，则，解得或（不合题意，舍去），得到则，过点F作于点H，得到，，勾股定理即可得到答案； （3）连接，在上取点M，使得，证明，则，求出，过点F作于点H，过点C作于点O，求出，，得到，，过点E作于点N，得到，则，用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 延长至点G，使得． ∵四边形为正方形． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 即：． 又． ∴． ∴． 即； （2）如图2，分别在上取点M、N，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点G，则, ∴， 同理可得，， ∴, ∴， 设则 ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴ ∴， 过点F作于点H， ∵， ∴， ∴； （3）连接，在上取点M，使得， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵菱形的边长为4， ， ∴ 过点F作于点H，过点C作于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点N， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了菱形的性质、正方形的性质、含角直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性较强，难度大，添加合适的辅助线是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $