第22章 二次函数（知识串讲+知识梳理+真题训练）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

第22章 二次函数 【考点01】二次函数的概念 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【考点07】二次函数的平移变换 【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题 【考点09】根据二次函数图像确定一元二次方程的解 【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解 【考点11】二次函数应用-类抛物线问题 【考点12】二次函数应用-面积问题 【考点13】二次函数应用-利润问题 【考点14】二次函数与几何综合应用 【知识点1】 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【知识点2】 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【知识点3】 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【知识点4】抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【知识点5】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【知识点6】 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 【知识点7】 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点01】二次函数的概念 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 3．函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 1．二次函数图象的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数下列说法正确的是（   ） A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 3．已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 4．二次函数的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．若二次函数的对称轴为直线，则（   ） A．3 B． C．6 D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1．对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 2．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 3．二次函数（）的图象过点，则的值（   ） A．0 B．1 C． D． 4．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 5．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 7．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（  ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点 8．点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象过点，若点 也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，已知对称轴为直线，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D．是关于的一元二次方程的一个根 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 1．已知二次函数（h为常数），当时，y的最小值为10，则h的值为（   ） A．1或 B．1或 C．1或3 D．或5 2．二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于（   ） A． B．5 C． D． 4．已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最小值为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知二次函数（是常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为（   ） A．4 B．或1 C． D．1 6．已知二次函数，当时，随的增大而增大．当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 1．对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 2．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 4．如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【考点07】二次函数的平移变换 1．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 2．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．阴影部分的面积为4 D．若，则 【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题 1．如图，抛物线与轴交于点，把抛物线在轴及共其上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，若直线与共3个不同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．    3．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线与x轴的交点为A，B． （1） 线段AB上的整点个数为 ； （2） 抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点个数为 ． 4．如图，抛物线与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为，将以y轴为对称轴作轴对称得到，与x轴交于点B，若直线与，共有4个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【考点09】根据二次函数图像确定一元二次方程的解 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 2．已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 3．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 4．抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 5．如图，抛物线与直线相交于点．则关于的方程的根是 ． 6．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解 1．如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．二次函数的图象如图所示，则当函数值时，x的取值范围是 ． 3．二次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是 ． 4．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【考点11】二次函数应用-类抛物线问题 1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 2．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（   ）m． A．12 B．10 C．8 D．2 3．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽路其他因素）？ (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方米处？ 4．【综合与探究】 乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；cm）测得数据如下表所示： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计） 5．如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米． (1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式． (2)现有两个宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由． 6．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【考点12】二次函数应用-面积问题 1．如图小张想用总长的篱笆围成矩形场地，其中边靠墙，墙体最多能用，矩形的面积随矩形边长设为的变化而变化． (1)求S与x之间的函数关系； (2)当x为多少时，矩形的面积是？此时长宽分别是多少？ 2．如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 3．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 4．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是． (1)【类比探究】 代数式的最小值是 ； (2)【灵活运用】 试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； (3)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【考点13】二次函数应用-利润问题 1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． (1)用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． (2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ (3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 2．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元千克）之间存在一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ (3)若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 3．某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【考点14】二次函数与几何综合应用 1．如图，已知抛物线经过、两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点Q为抛物线上一点，若，求出此时点Q的坐标． 2．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接、、、． (1)求出二次函数表达式； (2)若的面积等于面积的 时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图所示． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式． 4.如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，，过点、的抛物线与轴的另一个交点为，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点，当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 二次函数 【考点01】二次函数的概念 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【考点07】二次函数的平移变换 【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题 【考点09】根据二次函数图像确定一元二次方程的解 【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解 【考点11】二次函数应用-类抛物线问题 【考点12】二次函数应用-面积问题 【考点13】二次函数应用-利润问题 【考点14】二次函数与几何综合应用 【知识点1】 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【知识点2】 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【知识点3】 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【知识点4】抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【知识点5】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【知识点6】 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 【知识点7】 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点01】二次函数的概念 1．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“二次函数中，二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c”进行求解即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为， 故选B． 3．函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故选：D． 【考点02】特殊二次函数的图像和性质 1．二次函数图象的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确的顶点坐标为． 根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为． 故选：C． 2．已知二次函数下列说法正确的是（   ） A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 3．已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：C． 4．二次函数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了二次函数的性质，因为顶点式，其顶点坐标是，对照求二次函数最值． 【详解】解：∵二次函数是顶点式，， ∴顶点坐标为，函数的最大值为1， 故选：D． 5．若二次函数的对称轴为直线，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称轴是直线，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， 解得. 故选：D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 【考点03】与特殊二次函数有关的几何知识 1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 【详解】解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键，根据二次函数性质可得出点 的坐标， 求得直线 为 ，联立方程求得 的坐标，即可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点 的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为， ∴直线为， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴ …， 故选：B． 【考点04】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1．对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 对于二次函数，可化为顶点式再根据其性质分析即可． 【详解】解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴选项A不符合题意， ∵ ， ∴当时，y有最小值为2， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴选项C符合题意， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 2．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．二次函数（）的图象过点，则的值（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解点在函数图象上的意义是解题的关键； 将点代入函数关系式，即可求解． 【详解】把代入得， ， ． 故选：D． 4．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 5．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法，也可以直接代入顶点坐标公式． 利用配方法化成顶点式求解即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：B． 6．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 7．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（  ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可． 【详解】解：分别将，，代入得： ， 解得：， 即解析式为． A：，开口向下，错误； B：对称轴，开口向下，当时，y随x增大而减小，正确； C：当时，，错误； D：判别式，与x轴有两个交点，错误； 故选：B． 8．点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：A． 9．已知二次函数的图象过点，若点 也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由，和点，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象过点， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远的点，函数值越大， 点 在该二次函数图象上，且点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， 故选：B． 10．二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，已知对称轴为直线，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D．是关于的一元二次方程的一个根 【答案】C 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，先根据图像判断出的正负，再依次对各项分析判断即可． 【详解】解：根据图像可知：开口方向向下， 图像交轴正半轴于点， 对称轴 ，A正确，不符合题意 当时，即二次函数 观察图像可知， 故B正确，不符合题意 解得： C错误，符合题意 且对称轴为 即 根据图像，点在二次函数图像上，即当时， 故D正确，不符合题意 故答案为：C． 【考点05】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 1．已知二次函数（h为常数），当时，y的最小值为10，则h的值为（   ） A．1或 B．1或 C．1或3 D．或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 二次函数的顶点为，开口向上，当不在范围内时，函数在范围内端点处取得最小值，分和两种情况讨论，分别代入端点求解的值． 【详解】当时： 函数在上函数值随着x的增大而增大，最小值在处取得， 当，得：， 解得， 即（舍去，因）或； 当时： 函数在上函数值随着x的增大而减小，最小值在处取得， 当，得：， 解得， 即或（舍去，因）． 当时： 顶点在范围内，此时最小值为6，与题目矛盾，故舍去． 综上，的值为或． 故选：D． 2．二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出抛物线解析式，牢记对称轴公式．将A点和B点坐标代入解析式即可求出解析式，利用对称轴是即可求解． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ， 抛物线的对称轴是． 故选：C ． 3．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的图象的对称轴为轴，得到，进而得到函数关系式为，得到，进而得到，利用二次函数的性质，求最值即可．解题的关键是根据对称轴求出二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为轴， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为； 故选D． 4．已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最小值为，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，解题的关键是将二次函数的解析式化为顶点式．根据题意，将二次函数的解析式化为顶点式，当时，最小值为，即可求解． 【详解】解：将二次函数解析式化为顶点式，即（为常数，且）， 则该二次函数图像的对称轴为，且开口向上， ∵当时，函数的最小值为， ， 解得， 故选：D． 5．已知二次函数（是常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为（   ） A．4 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最小值是，在对称轴的右边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为1． 故选：D． 6．已知二次函数，当时，随的增大而增大．当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，得到该函数的对称轴，根据二次函数的性质即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，， 当或时，， 当时，函数的最大值是8，最小值是， ， 故的值可能是9， 故选：D． 【考点06】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 1．对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以②④⑤正确． 故选：C． 2．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与y轴的交点位置可判断出a、b、c的符号，可判断①；由抛物线与x轴的交点个数可判断②；利用和时的函数值可判断和的符号，可判断③；把代入整理可得，可判断④，可求得答案． 【详解】因为抛物线开口向下，所以， 对称轴为， ，即， 因为抛物线与y轴交点在x轴上方， ， ，故①不正确； 因为抛物线与x轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根， ， 故②不正确； 当时，，当时，， ，， ， 即， ，故③不正确； ， ， 若，则， 即，则有，而由题意可知，故④正确； 综上可知正确的只有1个，所以A选项是正确的． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题． 3．如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； ∵，且，这两个点都在对称轴左侧， ∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确． 所以②③④都正确． 故选：D． 4．如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 【考点07】二次函数的平移变换 1．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加下减、左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移变换的规律求解即可． 【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为． 故选B． 2．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度 ∴得到的抛物线的解析式为 即， 故选：B 3．将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由， ∵抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．阴影部分的面积为4 D．若，则 【答案】C 【分析】首先根据抛物线开口向上，可得；然后根据对称轴为直线，可得，据此判断A；根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断B；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积即可判断C；根据函数的最小值是，判断出时，a、b的关系即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故A不正确； ∵时，， ∴，故B不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴阴影部分是平行四边形，且平行四边形的底是2， ∵函数顶点C的纵坐标为， ∴最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：，故C正确； ∵，， ∴，故D不正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，平行四边形的性质等知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点． 【考点08】二次函数与一次函数的交点个数问题 1．如图，抛物线与轴交于点，把抛物线在轴及共其上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，若直线与共3个不同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：将y＝0代入， 得：， 解得：，， 抛物线与轴交于点、， ，， 抛物线向左平移4个单位长度， ∵， 平移后解析式， 如图， 当直线过点，有2个交点， ， 解得：， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， 整理得：， 相切， ， 解得：， 若直线与、共有3个不同的交点， ， 故选：A． 2．函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．由与平行，可得当时，直线与原图象只有一个交点，联立，即得，再由只有一个交点求解即可． 【详解】解：与平行， 当时，直线与原图象只有一个交点， 联立， ， 即，， 只有一个交点， ， ， 的取值范围为：或 故答案为：或 3．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线与x轴的交点为A，B． （1） 线段AB上的整点个数为 ； （2） 抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点个数为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，二次函数图象与性质等知识； （1）令，即可求得图象与x轴交点的横坐标，从而可确定线段AB上的整点个数； （2）求出当时的函数值，根据函数值及线段即可确定整点个数． 【详解】解：（1）令， 解得：， 在0与2间的整数有1， 则线段AB上的整点为，共有3个整点； 故答案为：3． （2）当时， ， 在x轴下方抛物线内的整点只有，加上线段AB上的3个整点， 则满足题意的整点数为4； 故答案为：4． 4．如图，抛物线与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为，将以y轴为对称轴作轴对称得到，与x轴交于点B，若直线与，共有4个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线过抛物线顶点时m的值以及直线过原点时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】令， 解得：或， 则， ∵与关于y轴对称，：，顶点为， ∴的解析式为（），顶点为， 当直线过抛物线顶点时，它与，共有2个不同的交点，此时； 当直线过原点时，它与，共有3个不同的交点，此时； ∴当时，直线与，共有4个不同的交点． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键． 【考点09】根据二次函数图像确定一元二次方程的解 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 2．已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点坐标问题，掌握与y轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．将代入二次函数求解即可． 【详解】解：将代入二次函数中，则， 故二次函数与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 3．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 4．抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 5．如图，抛物线与直线相交于点．则关于的方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是读懂函数图象；由方程变形为，则可看作是二次函数与直线的交点问题，进而问题可求解． 【详解】解：由方程变形为， ∵抛物线与直线相交于点， ∴方程的根是； 故答案为． 6．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 【考点10】根据二次函数图像确定不等式式的解 1．如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数和不等式，根据条件求出函数解析式是解题的关键． 由交y轴于点，求出，由对称轴为直线，求出，确定函数解析式为，由即可求解． 【详解】解：∵抛物线交轴于点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线， 当时，，即， ∴或， ∴或， ∴当时，或． 故选：C． 2．二次函数的图象如图所示，则当函数值时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．熟练掌握二次函数图象与x轴交点坐标，识图是解题的关键． 根据，知函数图象在x轴的上方，所以找出函数图象在x轴上方对应的x的取值范围即可． 【详解】由二次函数的图象开口向上，与x轴交于，可知， 当或时，函数图象在轴的上方，． 故答案为：或． 3．二次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，图象法解一元二次不等式等知识点，找出二次函数图象与轴的交点并运用数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象得到或时，然后写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴的交点坐标为，， 即：当或时，， 当或时，， 故答案为：或． 4．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【考点11】二次函数应用-类抛物线问题 1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，点B的坐标为，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2米， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度增加了米， 故选：C． 2．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（   ）m． A．12 B．10 C．8 D．2 【答案】B 【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 解之得：． 又，解得． 故选：B． 3．一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽路其他因素）？ (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方米处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动2米射门 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入平移后的解析式中即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入到得， 解得：或（舍去） ∴当时他应该带球向正后方移动2米射门． 4．【综合与探究】 乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；cm）测得数据如下表所示： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)①；；② (3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为 ， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 5．如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米． (1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式． (2)现有两个宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由． 【答案】(1) (2)两小舟能同时从桥下穿过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． （1）设抛物线解析式为，再根据题意求解即可； （2）由题意得，令解出方程，再进行判断即可得到解答． 【详解】（1）解：由题意得，点O和点A的坐标分别为和， ∵B为函数顶点， ∴， 设抛物线解析式为， ∵顶点， ∴， 再将代入解析式可得，， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）两小舟能同时从桥下穿过，理由如下： ∵两小舟的高均为3米， ∴当时，， 解得，， ∴最大能通行的宽度为：（米）， ∵两小舟宽为4米， ∴， ∴两小舟能同时从桥下穿过． 6．项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【考点12】二次函数应用-面积问题 1．如图小张想用总长的篱笆围成矩形场地，其中边靠墙，墙体最多能用，矩形的面积随矩形边长设为的变化而变化． (1)求S与x之间的函数关系； (2)当x为多少时，矩形的面积是？此时长宽分别是多少？ 【答案】(1)，且 (2)当x为时，矩形的面积是，此时长，宽分别是、 【分析】（1）根据题意，得边长设为，则为，根据面积公式得出函数关系式即可． （2）令，建立方程，求解即可． 本题考查了二次函数的应用及解一元二次方程，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得边长为，则为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：∵，且， 令， ∴， 解得（舍去）或， ∴当时，． 故当x为时，矩形的面积是，此时长，宽分别是、． 2．如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 【答案】(1)；； (2)长为，宽为或长为，宽为； (3)； 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． （2）由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； （3）自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 3．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 【答案】(1) (2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，，为抛物线的顶点， ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 4．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是． (1)【类比探究】 代数式的最小值是 ； (2)【灵活运用】 试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； (3)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)； (2)见解析； (3)当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及配方法的应用，利用配方法找出代数式的最值是解题的关键． （1）利用配方法将原式变为，结合，可得出，进而求解； （2）利用配方法将变为，结合，可得出，进而求解； （3）设，矩形养殖场的总面积为，则，，利用矩形的面积公式，可找出关于的函数关系式，即可解决最值问题． 【详解】（1）， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 故答案为：； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为， 又∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，矩形养殖场的总面积为，则CF＝，， 根据题意得： ， ， ∵， ∴， ∴当时，的最大值为． 答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【考点13】二次函数应用-利润问题 1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． (1)用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． (2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ (3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【答案】(1)； (2)55元件 (3)当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）①根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；②根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【详解】（1）①每件商品的利润为元， 故答案为：； ②每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； （2）设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． （3）解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 2．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元千克）之间存在一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ (3)若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)18元； (3)售价为28元时，每天获利最大为2210元． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数在实际销售利润问题中的应用，涉及了一次函数解析式的求解，一元二次方程的应用，求二次函数的最值问题等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为：，把代入求解即可； （2）根据利润＝（售价－进价）×销售数量列出方程，求解后根据题意选择合适的售价即可； （3）设该超市每天获利W元，写出利润函数，通过配方法结合二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 把代入得： ， 解得：， y与x的函数关系式为：； （2）解：根据题意知，， 整理得： 解得：或， 要让消费者得到实惠， ， 答：该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为18元； （3）解：设该超市每天获利W元， ， ， 开口向下， 对称轴为， 在时，W随x的增大而增大， 时，W最大值（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 3．某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． (2)降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【分析】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式． （1）设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论； （2）设降价元，该超市的利润最大，利润为．根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值． 【详解】（1）解：设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． （2）解：设降价元，该超市的利润最大，利润为． 时，利润取得最大值，且最大值为2000元． 答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【考点14】二次函数与几何综合应用 1．如图，已知抛物线经过、两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点Q为抛物线上一点，若，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）设抛物线解析式为，然后将代入求解即可； （2）先求出，设点Q的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴设抛物线解析式为 将代入得， 解得 ∴； （2）解：∵两点， ∴， 设点Q的纵坐标为m， ∵， ∴，即， 解得：， 当，有， 解得：或， ∴点Q的坐标为，； 当，有， 解得： ∴点Q的坐标为 综上，点Q的坐标为，或． 2．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接、、、． (1)求出二次函数表达式； (2)若的面积等于面积的 时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)m的值为3 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可； （2）过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的函数表达式为，则点的坐标为，点的坐标为，求出，解方程即可； （3）求出点的坐标为，分三种情况，①当为对角线时，证出轴，则点与点关于直线对称，得出求出，即可得出答案；②当为对角线时，由①得，由平行四边形的性质得出，进而得出答案；③当为对角线时，点与点的纵坐标互为相反数，或，再分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，如图1所示： ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的函数表达式为：， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为：， 点的坐标为：， ∴， ∴ ， ∴， 解得：（不合题意舍去），， ∴的值为 3 ； （3）解：由（2）得：， ∴点的坐标为：， 分三种情况讨论：①当为对角线时，如图2所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∴点与点关于直线对称， ， ， ， ， ， ②当为对角线时，如图3所示： 由①得：， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． ③当为对角线时， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴点与点的纵坐标互为相反数， ， ∴点的纵坐标为：， 将代入中， 得：， 解得：， 当时，如图4所示： 则， 分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5所示： 则， 同理得点； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、二次函数图象和性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 3．若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图所示． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若恰好平分，求直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，掌握全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，则，求得点M坐标，进而利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点， 当时，，当时，，解得， ∴点，， 则，解得：， 故二次函数的表达式为：； （2）解：如图，设直线交y轴于点M， 从二次函数的表达式知，抛物线的对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点D， ∴点D的横坐标是2， 当时，， ∴， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角为， 即， ∵恰好平分， 故， 而，， 故， ∴， 故， 故点， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得 所以，直线的表达式为：． 4.如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，，过点、的抛物线与轴的另一个交点为，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点，当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）将，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论，①在上截取，证明，得出直线与抛物线的交点即为所求点，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解；②过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点，进而得出点和点重合，即可求解； （3）根据题意画出图形，根据图象点在轴之间，即或点在点的左侧，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：存在， 当时， 解得； ∴，即， ①如图所示，在上截取， ，， ， ， ， ， 即 所以直线与抛物线的交点即为所求点 设直线 的解析式为 将，，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴点的坐标为 ②如图所示，过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点 ，， 把 代入得 点 即为所求点 综上所述，点的坐标为或 （3）解：如图，     ∵点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点， ∴的横坐标为， 又，， 当 ，解得：或 ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时， ∴点在轴之间，即或点在点的左侧 ∴或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $