期中复习压轴必刷（各省真题56题）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

期中复习压轴必刷 范围：第13章-第15章 一、单选题 1．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知中，I是角平分线交点，的面积为，的面积为，的面积为，且，则的值可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 3．如图，中，点、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，过点作于点，于点，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4．如图，中，，分别以为边作正方形，图中四块阴影部分面积分别为，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（   ）度． A．30或60 B．45或60 C．60 D．30或45 7．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，于点E．若，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 10．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 11．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题 12．如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为2，则的面积 ． 13．如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，若，则，，，，之间的关系为 ． 15．如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 16．如图，直线，点E、F分别在上，连接，的平分线与直线交于点G．有一个动点M在射线上运动（不与点E、点G重合），连接，若，则 ． 17．如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，连接，若，，则的长为 ． 18．如图，在中，，，点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以个单位秒和个单位秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点作于点，过点作于点要使与全等则点的运动时间为 ． 19．如图，在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点M在线段上，且以的速度由C点向点B运动，同时，点N在线段上由点D向点C运动．当点N的运动速度为 时，与全等． 20．如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 21．如图，在中，，，点是平面内一点，连接、、，，直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，则的度数为 ． 22．如图，，，，点为的中点，，则的长为 ． 23．如图，在边长为4的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 ． 24．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是 ． 25．如图，在中，分别是上的点，作，，垂足分别是．若，，下列结论：①；②；③；④时，，其中正确的是 26．如图，等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上的一点，当时，连接交于点D，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．(填序号) 27．如图a，是长方形纸带（），，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 ． 28．如图，在等腰直角三角形中，，，F为边的中点，点D，E分别在，边上运动，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：是等腰直角三角形；四边形的面积保持不变；．其中正确的是 ． 29．如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 30．如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，，， 均为等边三角形，若，则的边长为 ． 四、解答题 31．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 32．如图所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图①中与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，则 ． ②如图③，的平分线BF、CF相交于点F，若，求的度数． 33．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在中，E是内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 34．综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 35．【问题提出】 如图，已知，直线分别交于点E，F，平分交于点G． （1）如图1．若，则的度数是 ． 【问题探究】 （2）作平分，交于点M． ①如图2，过点G作，交直线于点N，试说明：； ②如图3．点P是延长线上的一点，连接，若，探究与之间的数量关系，并说明理由． 36．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A． 　　B． 　　C．　 D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 37．如图，在中，，，点、分别在坐标轴上 (1)如图①，若点B的横坐标为，求点A的坐标； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点E，过点B作轴于点，求证：． 38．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 39．中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 40．如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 41．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图，若“同源三角形”和上的点在同一条直线上，且，则____． (3)如图，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取的中点，连接，试探究线段与之间的关系并说明理由． 42．在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足，点是y轴上一动点，且． (1)如图1，若，则点C的坐标是________； (2)点，直线交直线于点D． ①如图2，若，交于点H．求证：； ②如图3，若，求的值． 43．如图，已知在中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？请说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，某一时刻能够使与全等？ 44．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 45．在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 46．如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，点为延长线上一点，且． (1)若，则求和的度数； (2)求证：； (3)若，，．请直接写出的面积为__________．（用含的式子表示） 47．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图得到的理由是（    ） A．        B．        C．        D． （2）的取值范围是（    ） A．            B． C．            D． （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 如图，将等腰直角三角形和的直角顶点重合，连接，取的中点M，连接与有什么关系？ 48．如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且． 【问题思考】在图①中，求证：； 【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值． 49．综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 50．如图，已知和都是等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，于点． (1)求证：； (2)直接写出，，之间的数量关系． 51．在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P． (1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标； (2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点； (3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标． 52．已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 53．如图，和都是等边三角形，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 54．如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接． (1)如图，若于点，且交于点，求证：； (2)如图，在（）的基础上，连接，求证：； (3)若，点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？ 55．综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 56．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴必刷 范围：第13章-第15章 一、单选题 1．如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 2．已知中，I是角平分线交点，的面积为，的面积为，的面积为，且，则的值可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系；角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的两边之和大于第三边；过I点分别作，，，可得，再由三角形面积公式和，可得，即可求解 【详解】解：过I点分别作，，，如图所示， ∵I是角平分线交点， ∴ 可设，， ∴，，， ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴四个选项中只有D符合题意 故选：D 3．如图，中，点、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，过点作于点，于点，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】对于①，利用角平分线的性质证明，从而得出平分；对于②，通过四边形内角和定理进行角度推导，得到；对于③，通过证明 得到，，从而得出结论；对于④，利用和角平分线性质进行角度关系的推导． 【详解】①过点作于点 平分平分 又 平分．故①正确； ② ．故②错误； ③平分 在和中， , 同理可得 ．故③正确； ④是的外角， ， ．故④正确． 故答案选D 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理及三角形外角性质．通过作辅助线，构造全等三角形，利用角平分线性质进行角度和线段关系的推导是解题的关键． 4．如图，中，，分别以为边作正方形，图中四块阴影部分面积分别为，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是进行面积之间的转化． 先证明，则，证明，则，那么，故；连接， 同理可证明：，则，， 那么点共线，再证明，则，那么；；． 【详解】解：∵四边形，是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 连接， 同理可证明：， ∴，， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 5．如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据成轴对称图形的特征进行求解，等边三角形的判定和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过作轴对称，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，得到的周长最小，根据垂直平分线的性质得到，，，同理，可得，，，再说明，然后证明是等边三角形，从而可求得． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，． ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，，， 同理，可得，，． ∴，， ∴． 又∵的周长， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：A． 6．如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（   ）度． A．30或60 B．45或60 C．60 D．30或45 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论， ， ， ，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵ ∴，， ∴， 如图，当时，则， ∵， ∴， 解得， 此时； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 此时； 时，则， 由得，，此方程无解， ∴不成立， 综上所述，或， 故选：． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称－最短路径、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质求解最短路径问题是解题的关键． 如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，则此时的值最小， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴点A的坐标为． 故选：B． 8．如图，在四边形中，于点E．若，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图构造全等三角形是关键． 根据题意得到是等腰三角形，如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，由等腰三角形的性质得到，可证得到，由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 9．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①根据角平分线，可知，，根据外角，可知，，推出，即可得到结论；②过作于，于，于，根据角平分线的性质，证明，和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ②过作于，于，于，如图所示： ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ，而不一定等于， ∴不一定等于，故②错误； ③，平分， 垂直平分，故③正确； ④， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④错误． 综上分析可知，①③正确， 故选：B． 10．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 二、多选题 11．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：ABC． 三、填空题 12．如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为2，则的面积 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，由三角形中线平分三角形面积得到，，进而得到，再求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为；14． 13．如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 14．如图，若，则，，，，之间的关系为 ． 【答案】 【分析】设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， ，利用三角形外角性质表示，的关系，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 16．如图，直线，点E、F分别在上，连接，的平分线与直线交于点G．有一个动点M在射线上运动（不与点E、点G重合），连接，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，解答此题的关键是注意分类讨论．设，，则，分“点M在直线上方，点M在直线与之间，”两种情况，分别求解即可． 【详解】解：设，， ， ， 若点M在直线上方时，如图， ， 若点M在直线与之间时，如图， 综上所述 或， 故答案为：或． 17．如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，连接，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据条件证明，得出相等的边，再证明，得出，利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 则， 又∵， ∴， ， ∴， 即， 故答案为：2． 18．如图，在中，，，点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和点分别以个单位秒和个单位秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点作于点，过点作于点要使与全等则点的运动时间为 ． 【答案】1s或3.5s或12s 【分析】本题考查了三角形全等的判定以及全等三角形性质的应用，熟练掌握三角形全等判定定理是解决本题的关键 根据题意,随着点点的运动，分四种情况进行讨论： 在上，在上， 在上，在上，当、都在上时，当到点停止，在上时，然后根据情况计算即可． 【详解】分为四种情况，如图，在上，在上， ，， ， ， ，， ， 则≌， ， 即， ； 如图，在上，在上， 由知， ， ， ， 此种情况不符合题意； 当、都在上时，如图， ， ， 当到点停止，在上时，， 时， 解得； 的速度是每秒，的速度是每秒； 和都在上的情况不存在． 故答案为:或或． 19．如图，在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点M在线段上，且以的速度由C点向点B运动，同时，点N在线段上由点D向点C运动．当点N的运动速度为 时，与全等． 【答案】3.5或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，；当，时，，然后分别列方程求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， ∴，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 综上所述，点N的运动速度为3.5或． 故答案为：3.5或． 20．如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件证明，然后根据全等三角形的性质得出①正确，再利用平行线的判定定理可得②正确，根据条件无法证明③④． 【详解】解：①∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③根据现有条件无法证明， 故③错误，不符合题意； ④根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 21．如图，在中，，，点是平面内一点，连接、、，，直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解决问题的关键． 根据题意易知，，根据等边对等角设，分两种情况讨论：当直线与线段交于点时，当直线与的延长线交于点时，根据等边对等角以及三角形内角和定理分别求出的度数即可． 【详解】解：，， ， 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， ， ， 设， 有以下两种情况： 当直线与线段交于点时，如图所示： ， ， ， ， ， ， 解得， 即， 当直线与的延长线交于点时，如图所示： ， ， °， ， ， ， ， 解得， 即， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 22．如图，，，，点为的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边；连接并延长交于点，证明得出，，进而得出，证明得出，，结合已知可得，根据等角对等边即可得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴， ∴， 延长至，使得，连接， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 23．如图，在边长为4的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明．证明，得出，作点关于的对称点，连接，，则，得出当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：如图，连接，如图所示： 、都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 此时， 由轴对称的性质，可得， ， 故答案为：． 24．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称的应用．解题的关键是能够通过构造全等三角形，把进行转化．构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点． 从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点， ， 在和中， ∴， ， ， ∵有最小值． 当是点到直线的距离时，， 又，，此时， 即取最小值为4， ∴的最小值是 4 ． 故答案为4． 25．如图，在中，分别是上的点，作，，垂足分别是．若，，下列结论：①；②；③；④时，，其中正确的是 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和，证明，可得，即可判定①；由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，得到，即可判定②；在和中，仅知，无法判定，即可判定③；证明，可得，进而得到，再根据四边形的内角和可得，即可判定④，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中，仅知， ∴无法判定，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 26．如图，等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上的一点，当时，连接交于点D，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作交于点，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，，可判断①；根据三线合一性质可得，利用线段的和差和等量代换可判断②③；当点P在边上运动时，也随之变化，可知也随之变化，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③正确； 当点P在边上运动时，也随之变化， 由，可知也随之变化， ∴不一定垂直，故④错误； 故答案为：①②③． 27．如图a，是长方形纸带（），，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 根据折叠的性质和平行线的性质求出图b中的度数，再由折叠的性质求出图c中的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：图b中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在图c中，由折叠的性质可得， ∴． 故答案为：． 28．如图，在等腰直角三角形中，，，F为边的中点，点D，E分别在，边上运动，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，下列结论：是等腰直角三角形；四边形的面积保持不变；．其中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．连接，利用可证，从而得出，，从而求出，即可判断①；根据全等三角形的性质可得，从而得出四边形的面积为，从而判断②；延长到使，连接，证出和，最后根据三角形的三边关系即可判断③． 【详解】解：如图，连接， ，为的中点， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形，①正确； ， ， 四边形的面积为， ， 四边形的面积为16，为定值，②正确； 延长到使，连接， ，，， ， ， ， ， ， 在中， ， ，③正确； 综上，正确的有：． 故答案为：． 29．如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称和等边三角形性质，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质，分别作点关于的对称点、，分别连、、交、于、，则可证明此时周长的最小，由轴对称性，可证明为等边三角形，． 【详解】解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 30．如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，，， 均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质等，由等边三角形的性质得，进而得，由等腰三角形的性质得，故得，再利用直角三角形的性质可得，，即得到的边长为，据此解答即可求解，由等边三角形和直角三角形的性质找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴同理可得，，， ∴， ∴，， ∴的边长为， 的边长为， 的边长为， ， ∴的边长为， ∴的边长为， 故答案为：． 四、解答题 31．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 32．如图所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图①中与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，则 ． ②如图③，的平分线BF、CF相交于点F，若，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查几何变换的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质得应用． （1）结论：，如图①中，连接并延长到，利用三角形的外角性质证明即可； （2）①利用（1）中的结论计算即可； ②如图③中，，利用（1）中的结论，求出即可解决． 【详解】（1）， 理由：如图①中，连接并延长到， ， ， 即． （2）①如图②中， 由（1）知， 又， ； 故答案为：． ②如图③中，设， 由（1）知， ， ， ． 33．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在中，E是内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点G，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ． ， ， ， 即． （2），，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F， 由（1）可知，， ， ． （3）如图，延长，交于点G． ，， ，， ． 四边形的内角与外角的平分线交于点F， ． 34．综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 35．【问题提出】 如图，已知，直线分别交于点E，F，平分交于点G． （1）如图1．若，则的度数是 ． 【问题探究】 （2）作平分，交于点M． ①如图2，过点G作，交直线于点N，试说明：； ②如图3．点P是延长线上的一点，连接，若，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】①；（2）①见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线性质和判定、角平分线得定义等知识点，结合图形进行分析是解题的关键． （1）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质即可得到，进而完成解答； （2）①利用角平分线性质得到，根据平行线的性质可得，进而证明结论；②直接根据平行线的性质、角平分线定义、角的和差进行分析计算即可解答． 【详解】解：（1）：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． 36．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A． 　　B． 　　C．　 D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 【答案】（1）C（2）（3）（4）见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到点，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质，推出，即可得出答案； （4）延长到点，使，连接，由证得，再证，即可证明． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴在和中 ， ∴（）， ∴依据是， 故选：C； 解：由（1）知， ∴，， 在中，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 解：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴（SAS）， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； （4）证明：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 37．如图，在中，，，点、分别在坐标轴上 (1)如图①，若点B的横坐标为，求点A的坐标； (2)如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点E，过点B作轴于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键； （1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质可以得到，然后即可求解点A的坐标； （2）延长、交于点，证明，得到，再证明，得到，然后即可求解； 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图： ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长、交于点，如图： ， ∴， ∵， ∴， ∵x轴恰好平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 38．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见详解 【分析】（1）通过构造辅助线的方式证明和全等，得到，，从而推导，再证明和全等得到，最终通过已知条件转化线段关系得到； （2）通过构造辅助线的方式先得出，再证明和全等，得到，，随后证明和全等，得到，最终根据条件转化可得到． 【详解】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵, ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的计算，线段关系的转化，作出对应的辅助线发现其中包含的关系是解此题的关键． 39．中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． （1）证明，即可得到； （2）延长至点E，使，连接．证明，则，在中，由三边关系可得：，即，由即可得到答案； （3）延长至点F，使，连接．证明，即可得得到，即平分； （4）延长至点F，使，连接．则，证明，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵D是边上的中点． ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， ∵， ∴ 故． （3）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （4），理由如下： 如图，延长至点F，使，连接． ∴ 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴ 40．如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，，根据，，得，可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，，可证，得； （3）过点作于点，过点作于点，证明，得出． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下． 证明：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 理由：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 41．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图，若“同源三角形”和上的点在同一条直线上，且，则____． (3)如图，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取的中点，连接，试探究线段与之间的关系并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（）证明即可求证； （）由“同源三角形”的定义和可得，由得，再根据和三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求解； 本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和是“同源三角形”， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与相交于点， ∵和是“同源三角形”， ∴， ∵， ∴， 由（）可知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 由（）可知， ∴，， ∵的中点分别为， ∴， 在和中， ∴， ∴． 42．在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足，点是y轴上一动点，且． (1)如图1，若，则点C的坐标是________； (2)点，直线交直线于点D． ①如图2，若，交于点H．求证：； ②如图3，若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，非负数的性质，同角的余角相等，平行线的性质，线段和差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作轴于点，由，可得，点，故，当时，，根据同角的余角相等得，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）根据同角的余角相等得，证明，再证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可求证；过作，交于点，同理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∴，点， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：； （2）证明：由（1）知， ∴， ∴，轴，轴， ∴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 43．如图，已知在中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？请说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，某一时刻能够使与全等？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为时，某一时刻能够使与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）经过1秒后，，由已知可得，，即据可证得． （2）可设点Q的运动速度为,经过 与全等，则可知,据（1）同理可得当或时两三角形全等，求x的解即可． 【详解】（1）解：．理由： ，点D为的中点， ． 经过后，． 在和中， ． （2）设点Q的运动速度为， 经过，与全等， 则． ，根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况： ①当且时， 与全等，即且， 解得． ， 舍去此情况； ②当且时， 与全等，即且， 解得， 故若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为时，某一时刻能够使与全等． 44．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 45．在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】（1）①5②（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角的和差，线段的和差等内容，解题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． （1）①先根据条件证明，再证明即可； ②延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可； （2）延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可． 【详解】解：（1）①∵四边形为正方形， ， 又， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5； ②如图延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ， 又∵， ∴， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 又∵， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 46．如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，点为延长线上一点，且． (1)若，则求和的度数； (2)求证：； (3)若，，．请直接写出的面积为__________．（用含的式子表示） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（）根据等腰三角形的 性质可得，即得，进而可得，又由等腰直角三角形的性质得，进而得到，即可求解； （）分别过点作，，垂足分别为点，可证，得到，再证明，得到，，进而得到，即得，即得到，即可求证； （）根据解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点作，，垂足分别为点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 47．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图得到的理由是（    ） A．        B．        C．        D． （2）的取值范围是（    ） A．            B． C．            D． （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 如图，将等腰直角三角形和的直角顶点重合，连接，取的中点M，连接与有什么关系？ 【答案】（1）B；（2）C；（3）； 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，构成三角形的条件，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得，根据三角形三边的关系可得，据此求解即可； （3）延长到F，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，，则可证明；延长交于H，可证明，则． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， 故选：B； （2）∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3）如图所示，延长到F，使得，连接， ∵点M为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵都是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵ ， ∴； 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，，． 48．如图①，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在的延长线上，且． 【问题思考】在图①中，求证：； 【问题再探】若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】若且平分，如图③，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出； （3）延长交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2），理由如下， 如图，在上取点G，使，连接． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴； （3）解：延长交于点H，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的定义等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键． 49．综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)  证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形的内角和定理直接求解即可；由等边三角形的性质知，根据内外角关系可得，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故，即； （3）延长到，使，连接，由，有，知是等边三角形，从而，，可得，因此，即，即可证，得，故． 【详解】（1）解：，， ； 故答案为：； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 50．如图，已知和都是等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，于点． (1)求证：； (2)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，，据此判断出，然后根据全等三角形的判定方法，判断出； 根据，即可判断出，，进而判断出的度数为即可；最后根据，，，得到，于是得到结论． 此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【详解】（1）证明：和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， （2）解：，理由如下： ， ，， 点B，，在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． 51．在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P． (1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标； (2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点； (3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点P的坐标为 【分析】（1）过点C作轴，可证得，从而得出，再根据非负数的性质求出，进一步得出结果； （2）可证明，从而，即可得出结论； （3）C作轴交的延长线于点M，交y轴于点N，可证得，从而，再证，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵点C在第四象限， ； （2）证明：是等腰直角三角形， ， ∵将沿着折叠， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点； （3）解：如图，过点C作轴交的延长线于点M，交y轴于点N， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵点C的横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 故点P的坐标为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，非负数的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 52．已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 53．如图，和都是等边三角形，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（）利用全等三角形判定条件 “” 证明，即可得证； （）由（）可知，，得到，应用外角定理可知，，即可得出结论； （）在上截取，连接，利用全等三角形判定条件 “” 证明，再利用 “同角的补角相等” ，可得，即可得证． 【详解】（1）（1）证明： 和都是等边三角形， ，， ，， ，即， 在与中， ， ， ； （2）由（）知，， ， ， 的度数是； （3）证明：在上截取，连接， 由（）的证明，知， ，即， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， 平分． 【点睛】本题关键是掌握全等三角形的判定条件 “”，灵活运用外角定理，以及掌握角平分线的定义． 54．如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接． (1)如图，若于点，且交于点，求证：； (2)如图，在（）的基础上，连接，求证：； (3)若，点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？ 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）由，则，又，则，得，结合，然后再依据即可求证； （）过分别作于点，作于点，可证，则，然后证明，所以，然后通过角平分线的判定方法即可求证； （）连接，易证，从而有，由此可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：过分别作于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （3）解：，理由如下： 若，则， ∴， 如图：连接， ∵，，点为的中点， ∴ ，，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 55．综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；证明见解析；（3）有；5 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 56．模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $