第3﹑4章 概率 数据的集中趋势和离散程度（知识串讲+知识梳理+真题训练）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

第3﹑4章 概率 数据的集中趋势和离散程度 【考点1】 平均数 【考点2】加权平均数 【考点3】中位数和众数 【考点4】方差 【考点5】数据的集中趋势和离散程度综合应用 【考点6】根据概率公式计算 【考点7】已知概率求数量 【考点8】几何概率 【考点9】列表法或树状图法求概率 知识点1：平均数 （1）算术平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. （2）加权平均数 知识点2 ：中位数和众数 中位数：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数。如果一组数据中有奇数个数，那么这组的中位数就取最中间两个数和的平均值九尾这组的中位数。 众数：一组数据中出现次数最多的数。 知识点3：方差 知识点3：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【考点1】 平均数 1．某校组织“庆国庆”画展，参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60，则这组数据的平均数为（   ） A．56 B．57 C．58 D．59 2．已知某个数的和是，另个数的和是，则这个数的平均数是（　　） A． B． C． D． 3．某校团委开展以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，所有评委的平均分为最后得分．下表是九年级（1）班的亮分情况： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 8.9 8.7 8.6 9.0 8.8 则九年级（1）班的得分为（   ） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 4．5名同学参加市级作文比赛，老师只公布了其中4人的成绩，分别88分，80分，75分，82分，没有公布小红的成绩，但告诉大家5个人的平均成绩为84分．小红的成绩是（    ） A．95分 B．94分 C．84分 D．92分 5．已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据，，的平均数为 ． 6．已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， 则 ． 7．七年一班8名学生在一次数学测验中的成绩以分为标准，超过的分数记为正数不足的分数记为负数，记录如下： (1)本次数学测验最高分是______分，最低分是______分 (2)求本次数学测验的总分是多少分？ (3)求本次数学测验的平均分是多少分？ 【考点2】加权平均数 1．某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成：平时体育活动表现占成绩的，体育理论测试占，体育技能测试占．小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是 分． 2．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表： 候选人 甲 乙 测试成绩（百分制） 面试 85 90 笔试 90 80 如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，面试成绩和笔试成绩按照6：4的比例确定个人的成绩，平均成绩高者将被录取，公司将录取 ． 3．学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有的同学选择了8元/份的盒饭，有的同学选择了10元的盒饭，有的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费 元． 4．某学校招聘工作人员，考试分笔试、面试和才艺三部分，笔试成绩、面试成绩与才艺成绩按记入总成绩，若小李笔试成绩为分，面试成绩为分，才艺成绩为分，则他的总成绩是 分． 5．某校规定：学生本学期体育总评成绩由参与课堂活动、日常测试、学期末测试三部分构成，小明本学期这三部分成绩分别是90分，85分，88分，各部分在总评中所占比例依次为，则小明本学期体育总评成绩为 分. 6．某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 65 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶3∶6的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末应该最少考多少分才能达到优秀？ 【考点3】中位数和众数 1．某小组5人在一次数学测验中的成绩分别是：110，105，105，100，98，则他们的成绩的中位数和众数分别是（    ） A．110和105 B．110和100 C．105和100 D．105和105 2．成都市某周的日最低气温统计如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 日最低气温/ 4 5 3 4 6 7 2 则这七天中日最低气温(单位：)的众数、中位数分别是（   ） A．4，4 B．5，4 C．4，3 D．4， 3．为了解八（1）班学生的睡眠状况，小明调查了全班50名学生每天的睡眠时间，绘成如图所示的睡眠时间统计图，则所调查学生睡眠时间的众数是（   ） A． B． C． D． 4．两组数据，，与，，，的平均数都是，若将这两组数据合并成一组数据，则这组数据的中位数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024−2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/h 人数 则这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是（    ） A．13，13 B．12，14 C．13，15 D．13，14 6．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 7．某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 （填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【考点4】方差 1．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中得分的统计结果如图．下列说法不正确的是（    ） A．乙得分的众数是32分 B．甲比乙发挥稳定 C．甲得分的中位数是28分 D．甲的平均分比乙的平均分高 2．题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（      ） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 3．甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差分别为9和，则射击成绩较稳定的是 ． 4．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ． 5．已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是 . 6．若的方差是6，则的方差是 ． 【考点5】数据的集中趋势和离散程度综合应用 1．八年级某老师对一、二两班学生进行了一次“安全知识竞赛”，并将成绩进行了统计，绘了如图图表（满分10分，学生得分均为整数）． (1)补充完成下列的成绩统计分析表： 班级 平均分 中位数 众数 方差 一班 7.1 _____ 6 2.69 二班 6.9 8 _____ 5.89 (2)小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察表可知，小亮是_____班学生；（填“一”或“二”） (3)甲同学依据平均分推断，一班学生安全知识水平更好些．乙同学不同意甲的推断，请给出两条支持乙同学观点的理由． 2．为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 160 168 172 162 162 172 172 176 【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高(单位：cm)如下表： 【数据分析】分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 a b 169 5.75 乙 168 170 172 31 请你根据以上信息完成下列问题： （1）此次采用的调查方式属于 ．(填“抽样调查”或“全面调查”) （2） ______，________． 【数据运用】 （3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由． （4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选 名队员． 3．每年的12月4日是中国的“全国法制宣传日”．某校为了增强学生对法律知识的了解，举行了法律知识竞赛，要求每班选派12名同学参赛（满分10分，成绩为整数）．比赛结束后，将甲，乙两班的参赛选手的成绩汇总并绘制成如下不完整的统计图表： 甲乙两班的成绩分析表 班级 平均分 中位数 方差 甲班 6 5.67 乙班 7 5.14 根据以上图表的信息，回答下列各题： (1)______，______，并补全条形统计图； (2)A参赛选手说：“这次竞赛我得了8分，在我们班中得8分的人最多！”观察上表可知，参赛选手是______班的学生；（填“甲”或“乙”） (3)根据以上图表信息，你认为甲乙两班哪个班参赛成绩更好？请结合表中的统计量说明理由． 4．当前全球各国都高度重视人形机器人并努力提升操作性和便利性，某小公司设计了一款机器人，与工人进行了一次比赛，机器人和工人对同一动作各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 机器人 96 91 89 89 89 95 89 91 94 95 工人 82 80 90 95 92 71 83 95 99 95 平均数 中位数 众数 方差 机器人 91 6.8 工人 88.2 95 70.16 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：_________，_________； (2)求的值； (3)根据以上数据分析，请你分析机器人和工人操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 5．为了解学生体育锻炼情况，以便为中考体考制定更有针对性的体育训练方案，初二同学在一月份进行了体育测试，随机抽取了男、女生各20人的体测成绩（满分为50分，成绩得分用表示，数据分为四组，分别为组：组：组：组：），并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息： 抽取的20名男生的成绩在组中的数据是：41，42，42，43，43，44，45 抽取的20名女生的成绩的数据是：32，33，34，34，37，39，39，39，39，40，40，42，43，43，44，44，49，49，50，50． 所抽取的学生体测成绩统计表 性别 平均数 中位数 众数 男生 41 40 女生 41 40 所抽取的男生体测成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)通过以上的数据分析，你认为初二年级中男、女生体测成绩哪个更好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)若初二年级共有3600名学生参加此次体育测试，请估计该年级参加此次体育测试的学生中体测成绩大于45分的学生有多少人？ 【考点6】根据概率公式计算 1．2025年春节档有六部影片上映，分别是《射雕英雄传》《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这六部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（   ） A． B． C． D． 2．下列在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外其余都相同．从袋中随机摸一个球，摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（   ） A． B． C． D． 4．九（1）班有50名学生，其中有20人报了美术班，从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是 ． 5．小明观察某个红绿灯口，发现红灯时间，黄灯，绿灯，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是 ． 【考点7】已知概率求数量 1．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有 个． 2．在不透明的袋子中有8个红球和若干个绿球，这些球除颜色外无其他差别，每次摇匀后随机取出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现取到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球 个． 3．在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 4．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲤鱼 尾． 5．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有 个． 6．二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 7．某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： (1)估计柑橘损坏的概率为__________； (2)估计这批柑橘完好的质量为__________千克； (3)若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？ 8．在一个不透明的口袋里装有15个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表． 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 摸到红球的频数n 123 243 487 725 964 摸到红球的频率 0.820 0.810 0.812 0.806 0.803 (1)发现：摸到红球的频率在常数__________（精确到0.01）附近摆动，推测：摸到红球的概率是__________（精确到0.1） (2)求口袋中红球的个数． 【考点8】几何概率 1．某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 2．“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为 ． 4．如图，中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，若一个小球在内自由滚动，并随机停在某个位置，那么小球最终停留在阴影部分的概率是 ． 5．如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ． 6．如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 【考点9】列表法或树状图法求概率 1．小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 2．在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 30 40 m 50 频率 n 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______； (2)请补全频数分布直方图； (3)某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 3．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝  B．东明粮画 C．青神竹编 D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_______． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 4．庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 5．为了激发青少年的创新热情，第39届全国青少年科技创新大赛计划于2025年暑期举办，科创爱好者小勋设计了一款闯关小游戏，如图，在进入游戏之前有甲、乙两组关卡，每组关卡中各有4个按钮和4个装置（含2个发光装置和2个发音装置），每个按钮控制该组的一个装置（按钮与装置一对应，但顺序不对应），每按下一个按钮，该组就会有一个发音装置发出“闯关失败”的声音或一个发光装置亮起玩家每次从两组分别随机按下一个按钮，若两组中各有一个发光装置亮起，则可进入游戏：若两组中只有一组是发光装器亮起，另一组发出“闯关失败”的声音，则可再闯关一次；若两组均发出“闯关失败”的声音，则退出游戏． (1)从甲组任意按下一个按钮，发光装置亮起的概率为________； (2)小勋设计完成后让好朋友小华试玩了一下，请用列表法或画树状图法求小华一次就能进入游戏的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3﹑4章 概率 数据的集中趋势和离散程度 【考点1】 平均数 【考点2】加权平均数 【考点3】中位数和众数 【考点4】方差 【考点5】数据的集中趋势和离散程度综合应用 【考点6】根据概率公式计算 【考点7】已知概率求数量 【考点8】几何概率 【考点9】列表法或树状图法求概率 知识点1：平均数 （1）算术平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. （2）加权平均数 知识点2 ：中位数和众数 中位数：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数。如果一组数据中有奇数个数，那么这组的中位数就取最中间两个数和的平均值九尾这组的中位数。 众数：一组数据中出现次数最多的数。 知识点3：方差 知识点3：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【考点1】 平均数 1．某校组织“庆国庆”画展，参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60，则这组数据的平均数为（   ） A．56 B．57 C．58 D．59 【答案】C 【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数公式直接求解即可． 【详解】解：四个类别作品的幅数分别为58、56、58、60， 这组数据的平均数为 故选：C． 2．已知某个数的和是，另个数的和是，则这个数的平均数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平均数的计算，用个数的总和除以即可．解题的关键是掌握：一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的个数． 【详解】解：∵某个数的和是，另个数的和是， ∴这个数的总和为， ∴这个数的平均数是． 故选：D． 3．某校团委开展以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，所有评委的平均分为最后得分．下表是九年级（1）班的亮分情况： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 8.9 8.7 8.6 9.0 8.8 则九年级（1）班的得分为（   ） A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9 【答案】C 【分析】本题考查的是平均数的含义，根据平均数公式计算即可． 【详解】解：九年级（1）班的得分为：， 故选：C 4．5名同学参加市级作文比赛，老师只公布了其中4人的成绩，分别88分，80分，75分，82分，没有公布小红的成绩，但告诉大家5个人的平均成绩为84分．小红的成绩是（    ） A．95分 B．94分 C．84分 D．92分 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数的概念，先根据平均数为84可求得5名学生的总成绩，再用总成绩减去其他4名学生的成绩即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，这5名学生的总成绩为：（分）， ∴小红的成绩为（分）． 故选：A． 5．已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据，，的平均数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义可得，则数据，，的平均数为，根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：数据，，的平均数是， ， ， 则数据，，的平均数为 ． 故答案为：． 6．已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， 则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平均数的概念，熟记公式是解决本题的关键． 根据平均数的计算公式即可求解． 【详解】一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， ， 解得∶， 故答案为∶2． 7．七年一班8名学生在一次数学测验中的成绩以分为标准，超过的分数记为正数不足的分数记为负数，记录如下： (1)本次数学测验最高分是______分，最低分是______分 (2)求本次数学测验的总分是多少分？ (3)求本次数学测验的平均分是多少分？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数加减混合运算的应用，求一组数据的平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先找出记录中的最高分与最低分，再分别加上即可； （2）乘以8，再加上记录的和即可； （3）根据算术平均数的求法求解． 【详解】（1）解：本次数学测验成绩的最高分是：（分），最低分是：（分）， 故答案为：；； （2） 所以本次数学测验的总分是分； （3） （分）， 所以本次数学测验的平均分是分． 【考点2】加权平均数 1．某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成：平时体育活动表现占成绩的，体育理论测试占，体育技能测试占．小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是 分． 【答案】84.4 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，列式计算即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：84.4 2．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表： 候选人 甲 乙 测试成绩（百分制） 面试 85 90 笔试 90 80 如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，面试成绩和笔试成绩按照6：4的比例确定个人的成绩，平均成绩高者将被录取，公司将录取 ． 【答案】甲 【分析】本题考查了加权平均数的计算公式，根据题意先算出甲、乙两位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， 因为甲的平均分数最高， 所以甲将被录取． 故答案为：甲． 3．学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有的同学选择了8元/份的盒饭，有的同学选择了10元的盒饭，有的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费 元． 【答案】9.6 【分析】题目主要考查加权平均数，分别用单价乘以相应的百分比，然后相加，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 4．某学校招聘工作人员，考试分笔试、面试和才艺三部分，笔试成绩、面试成绩与才艺成绩按记入总成绩，若小李笔试成绩为分，面试成绩为分，才艺成绩为分，则他的总成绩是 分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，根据题意和题目中的数据，利用加权平均数即可计算出小李的总成绩，明确题意，利用加权平均数进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，小李的总成绩是：（分）， 故答案为：． 5．某校规定：学生本学期体育总评成绩由参与课堂活动、日常测试、学期末测试三部分构成，小明本学期这三部分成绩分别是90分，85分，88分，各部分在总评中所占比例依次为，则小明本学期体育总评成绩为 分. 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的知识；解题的关键是熟练掌握加权平均数的性质，从而完成求解．结合题意，根据加权平均数的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，小明本学期体育总评成绩为： （分） 故答案为： 6．某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 65 75 （1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小张的期末评价成绩； （2）若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶3∶6的权重来确定期末评价成绩． ①请计算小张的期末评价成绩为多少分？ ②小王在期末应该最少考多少分才能达到优秀？ 【答案】（1）80分；（2）①82分；②小王在期末应该最少考85分才能达到优秀 【分析】（1）根据平均数的定义，将三个成绩之和除以3即可求解； （2）①根据加权平均数的定义即可求解；②根据加权平均数的定义列出不等式，求解即可． 【详解】解：（1）小张的期末评价成绩为（分）； （2）①小张的期末评价成绩为（分）； ②设小王期末考试x分，根据题意可得： ， 解得， ∴小王在期末应该最少考85分才能达到优秀． 【点睛】本题考查平均数与加权平均数，掌握平均数和加权平均数的求法是解题的关键． 【考点3】中位数和众数 1．某小组5人在一次数学测验中的成绩分别是：110，105，105，100，98，则他们的成绩的中位数和众数分别是（    ） A．110和105 B．110和100 C．105和100 D．105和105 【答案】D 【分析】本题考查中位数和众数，将这组数字从小到大排列，根据中位数和众数的定义即可求解． 【详解】解：这5个数从小到大排列为：98，100，105，105，110， 中位数为排在第三位的105， 105出现次数最多，故众数为105， 故选：D． 2．成都市某周的日最低气温统计如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 日最低气温/ 4 5 3 4 6 7 2 则这七天中日最低气温(单位：)的众数、中位数分别是（   ） A．4，4 B．5，4 C．4，3 D．4， 【答案】A 【分析】本题考查了求一组数据的众数和中位数，熟练掌握中位数的定义：“将一组数据从小到大或从大到小进行排序，排在中间位置的一个数或两个数的平均数，叫做这组数据的中位数”；众数的定义：“一组数据中出现次数最多的数，叫做这组数据的众数”，是解题的关键． 根据众数和中位数的定义解答即可． 【详解】解：将数据按照从小到大依次排列，处在中间位置的数是， ∴中位数是； ∵出现次数最多的数是， ∴众数是． 故选：A ． 3．为了解八（1）班学生的睡眠状况，小明调查了全班50名学生每天的睡眠时间，绘成如图所示的睡眠时间统计图，则所调查学生睡眠时间的众数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查众数，直接根据众数的定义求解即可． 【详解】解：全部学生中，睡眠时间为的人数最多，有19人，故众数是． 故选：A． 4．两组数据，，与，，，的平均数都是，若将这两组数据合并成一组数据，则这组数据的中位数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了中位数；算术平均数；根据平均数求出和的值，合并数据后排序，确定中位数． 【详解】解：∵组数据，，与，，，的平均数都是， ∴， 解得：， 若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为，，，，，，，一共个数，第四个数是，则这组数据的中位数是； 故选：C． 5．2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024−2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/h 人数 则这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是（    ） A．13，13 B．12，14 C．13，15 D．13，14 【答案】A 【分析】本题考查了求众数和中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：由表格知，一周内体育活动时间为小时的有人，人数最多， 所以这些学生阅读时间的众数是； 因为共有人， 所以中位数是排序后第25，26名的平均数，即． 这些学生的综合体育活动时间的众数和中位数分别是,； 故选：A． 6．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 7．某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 （填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【答案】中位数 【分析】本题考查了中位数的定义，理解中位数的意义是解题的关键． 根据题意可知第8名的数据即为中位数，据此可解． 【详解】解：由题意可得：一名学生想要知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数， 故答案为：中位数． 【考点4】方差 1．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中得分的统计结果如图．下列说法不正确的是（    ） A．乙得分的众数是32分 B．甲比乙发挥稳定 C．甲得分的中位数是28分 D．甲的平均分比乙的平均分高 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，众数，方差，平均数等知识∶根据平均数的定义列式计算即可；根据众数和中位数的定义，方差的定义列式计算，结合平均数和方差的定义判断即可． 【详解】解：．乙近六场得分为：，则乙得分的众数是32分，故该选项正确，不符合题意； ．甲近六场比赛的平均得分是：（分）， 乙近六场比赛的平均得分是：（分）， 甲学生近六场得分的方差：； 乙学生近六场得分的方差：； 甲得分的方差小于乙得分的方差，说明甲在比赛中发挥更稳定，该选项正确，不符合题意； ．甲近六场得分从小到大排列为：， 故中位数是：，该选项错误，符合题意； ．由B可知甲的平均分高于乙的平均得分，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（      ） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 【答案】C 【分析】本题主要查了方差．根据方差公式可得，再由完全平方公式计算，可得，即可解答． 【详解】解：∵5个数据，，，，的平均数为6， ∴， ∴方差为 ∴小方，小程所列的式子都正确． 故选：C 3．甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差分别为9和，则射击成绩较稳定的是 ． 【答案】乙 【分析】本题主要考查了方差，掌握方差的越小、数据越稳定成为解题的关键． 根据数据方差越小、数据越稳定解答即可． 【详解】解：∵甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差分别为9和，， ∴射击成绩较稳定的是乙． 故答案为：乙． 4．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方差，算术平均数，根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案，掌握方差，算术平均数计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 5．已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是 . 【答案】8 【分析】本题考查了方差与算术平均数，用到的知识点：如果一组数据的平均数为，方差为，那么另一组数据，，，的平均数为，方差为．根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，……，的平均数是，方差是方差为，再进行计算即可． 【详解】解：∵数据的方差是2， ∴数据的方差是． 故答案为：8． 6．若的方差是6，则的方差是 ． 【答案】 【分析】此题考查了方差，一组数据中的各个数据都加上或减去同一个数后得到的新数据的方差与原数据的方差相等；若一组数据中的各个数据都扩大或缩小几倍，则新数据的方差扩大或缩小其平方倍．设的平均数为，则，，的平均数为，则，由，，，即可得到，，的方差． 【详解】解：设的平均数为，则，，的平均数为， 则， ∵，，， ∴，，的方差为， 故答案为：． 【考点5】数据的集中趋势和离散程度综合应用 1．八年级某老师对一、二两班学生进行了一次“安全知识竞赛”，并将成绩进行了统计，绘了如图图表（满分10分，学生得分均为整数）． (1)补充完成下列的成绩统计分析表： 班级 平均分 中位数 众数 方差 一班 7.1 _____ 6 2.69 二班 6.9 8 _____ 5.89 (2)小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察表可知，小亮是_____班学生；（填“一”或“二”） (3)甲同学依据平均分推断，一班学生安全知识水平更好些．乙同学不同意甲的推断，请给出两条支持乙同学观点的理由． 【答案】(1)7；8； (2)一； (3)支持乙同学的理由：二班学生的众数高于一班；二班学生的中位数高于一班．（答案不唯一） 【分析】本题考查了条形统计图、平均数、中位数以及众数，弄清题意是解本题的关键． （1）由图表知一班总人数，再将一班成绩按照从小到大的顺序找出第20，21个数据均为7，所以一班中位数是7；从图表中可直接得出二班众数； （2）观察表格，成绩为7分处于中游略偏上应为一班学生； （3）根据平均数、中位数、众数的意义判定并说明理由即可． 【详解】（1）解：从条形统计图可知一班人数为：人， 处在最中间的两个数为第20个数据7分，第21个数据7分， 所以一班中位数是7分， 从条形统计图可知二班成绩的众数为8分； 故填表为： 班级 平均分 中位数 众数 方差 一班 7.1 7 6 2.69 二班 6.9 8 8 5.89 故答案为：7；8； （2）观察表格，成绩为7分处于中游略偏上应为一班学生； 故答案为一； （3）虽然一班的平均分比二班高，但从统计图可以看出，二班有3名学生的成绩为1分，在该组数据中属于极端值，平均分受极端值的影响较大； 支持乙同学的理由：二班学生的众数高于一班；二班学生的中位数高于一班． 2．为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 160 168 172 162 162 172 172 176 【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高(单位：cm)如下表： 【数据分析】分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 a b 169 5.75 乙 168 170 172 31 请你根据以上信息完成下列问题： （1）此次采用的调查方式属于 ．(填“抽样调查”或“全面调查”) （2） ______，________． 【数据运用】 （3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由． （4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选 名队员． 【答案】（1）全面调查；（2）169，；（3）选择甲队比较合适，见解析；（4）5 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，抽样调查和全面调查的区别． （1）根据抽样调查和全面调查的区别即可解答； （2）根据平均数和中位数的定义即可解答； （3）利用方差的意义即可解答； （4）析两队队员的身高数据，即可解答． 【详解】（1）解：此次采用的调查方式属于全面调查 ， 故答案为：全面调查 ； （2）解：， 将甲队的数据按从小到大的顺序排列，最中间的两个数是169，169， ， 故答案为：，； （3）应选择甲队，理由： ∵， ∴甲队队员的身高比乙队更整齐， ∴选择甲队比较合适； （4）解：从甲队选择身高分别为169，169，169，172，173 的5名队员，从乙队选择身高分别为172，172，172 的3名队员组建新的舞蹈队．故应从甲队挑选5名队员， 故答案为：． 3．每年的12月4日是中国的“全国法制宣传日”．某校为了增强学生对法律知识的了解，举行了法律知识竞赛，要求每班选派12名同学参赛（满分10分，成绩为整数）．比赛结束后，将甲，乙两班的参赛选手的成绩汇总并绘制成如下不完整的统计图表： 甲乙两班的成绩分析表 班级 平均分 中位数 方差 甲班 6 5.67 乙班 7 5.14 根据以上图表的信息，回答下列各题： (1)______，______，并补全条形统计图； (2)A参赛选手说：“这次竞赛我得了8分，在我们班中得8分的人最多！”观察上表可知，参赛选手是______班的学生；（填“甲”或“乙”） (3)根据以上图表信息，你认为甲乙两班哪个班参赛成绩更好？请结合表中的统计量说明理由． 【答案】(1)，6，见解析 (2)乙 (3)乙班成绩更好，见解析 【分析】本题考查频数分布表、条形统计图、平均数、中位数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据加权平均数、中位数定义求解即可； （2）根据条形统计图即可解答； （3）分别从方差、平均数和中位数的角度进行比较． 【详解】（1）解：， 甲班10个人中位数位于第5和第6个数，故， ， 补全条形统计图如图， 故答案为：，6； （2）解：A参赛选手说：“这次竞赛我得了8分，在我们班中得8分的人最多！”观察上表可知，参赛选手是乙班的学生； 故答案为：乙； （3）解：乙班成绩更好． 理由：∵乙班的平均数略高于甲班，乙班的中位数高于甲班，且方差小于甲班，即成绩波动小于甲班， ∴乙班成绩更好． 4．当前全球各国都高度重视人形机器人并努力提升操作性和便利性，某小公司设计了一款机器人，与工人进行了一次比赛，机器人和工人对同一动作各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 机器人 96 91 89 89 89 95 89 91 94 95 工人 82 80 90 95 92 71 83 95 99 95 平均数 中位数 众数 方差 机器人 91 6.8 工人 88.2 95 70.16 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：_________，_________； (2)求的值； (3)根据以上数据分析，请你分析机器人和工人操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)从平均数看，机器人的更好，从众数看人工更好，从方差看，机器人更稳定 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）根据平均数，中位数，众数和方差方面分析即可． 【详解】（1）将工人的10次操作成绩从小到大排列为：71，80，82，83，90，92，95，95，95，99 第5位和第6位分别为90，92 ∴中位数 ∵机器人的10次操作成绩中89分的次数最多 ∴众数； （2）机器人的10次操作成绩的平均数； （3）根据题意得， 从平均数看，机器人的更好，从众数看工人更好，从方差看，机器人更稳定． 5．为了解学生体育锻炼情况，以便为中考体考制定更有针对性的体育训练方案，初二同学在一月份进行了体育测试，随机抽取了男、女生各20人的体测成绩（满分为50分，成绩得分用表示，数据分为四组，分别为组：组：组：组：），并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息： 抽取的20名男生的成绩在组中的数据是：41，42，42，43，43，44，45 抽取的20名女生的成绩的数据是：32，33，34，34，37，39，39，39，39，40，40，42，43，43，44，44，49，49，50，50． 所抽取的学生体测成绩统计表 性别 平均数 中位数 众数 男生 41 40 女生 41 40 所抽取的男生体测成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)通过以上的数据分析，你认为初二年级中男、女生体测成绩哪个更好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)若初二年级共有3600名学生参加此次体育测试，请估计该年级参加此次体育测试的学生中体测成绩大于45分的学生有多少人？ 【答案】(1)；； (2)男生与女生的平均数一样，但男生的中位数比女生的高，因此初二年级中男生体测成绩更好． (3) 【分析】本题考查了数据的分析，中位数，众数，合理分析数据得到相关信息是解题的关键． （1）先求出男生组人数的占比，即可求出的值；根据人数找出中位数所在的位置即可得到中位数；根据女生数据中出现最多的成绩，即可求得众数； （2）利用中位数分析即可； （3）利用总数大于45分的学生占比即可求解． 【详解】（1）解：由题可得：组男生的人数为人， ∴男生在组的占比为：， ∴的占比为：，则； ∴男生在组的人数分别为：人，在组的人数分别为：人， ∵人的中位数为排名在第和第人的成绩平均数， ∴第和第人落在组数据上，成绩分别为分，分， ∴； 由女生的数据可得：出现最多的成绩为：分， ∴； 故答案为：；；． （2）男生与女生的平均数一样，但男生的中位数比女生的高，因此初二年级中男生体测成绩更好． （3）解：∵大于45分的男生有：人，大于分的女生有人， ∴人， 答：大于分的学生有人． 【考点6】根据概率公式计算 1．2025年春节档有六部影片上映，分别是《射雕英雄传》《哪吒之魔童闹海》《封神》《熊出没》《唐探1900》《蛟龙行动》．小明从这六部影片中随机选择一部影片观看，选到《哪吒之魔童闹海》的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等可能事件的概率公式求解． 本题考查概率的基本计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：总共有6部影片，每部影片被选中的可能性相等，其中《哪吒之魔童闹海》是1部，因此所求概率为成功事件数（1）除以总事件数（6），即． 故选：A． 2．下列在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外其余都相同．从袋中随机摸一个球，摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，根据概率公式求解即可． 【详解】解：从袋中随机摸一个球共有种等可能结果，摸到红球有种， ∴摸到红球的概率是， 故选：A． 3．如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握概率公式． 用红色区域的面积除以圆的面积得到指针落在黄色区域的概率． 【详解】解：指针落在红色区域的概率. 故选：A． 4．九（1）班有50名学生，其中有20人报了美术班，从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是等可能事件的概率．根据等可能事件求概率的公式计算：如果一个事件中有种等可能结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率是． 【详解】解：名学生中有人报了美术班， 从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是． 故答案为：． 5．小明观察某个红绿灯口，发现红灯时间，黄灯，绿灯，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【考点7】已知概率求数量 1．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为0.3，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数，即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3， ∴摸到白球的概率约为0.3， ∴袋子中一共有个球， ∴估计袋子中黑球有个， 故答案为：． 2．在不透明的袋子中有8个红球和若干个绿球，这些球除颜色外无其他差别，每次摇匀后随机取出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现取到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，直接利用绿球个数÷总数，进而得出答案． 【详解】解：设绿球的个数为x， 根据题意，得：， 解得， 经检验是原分式方程的解， 即袋中有绿球2个， 故答案为：2． 3．在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，概率公式求概率，解题的关键是要计算出红球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到红球的概率，再设绿球个数为个，根据红球的概率,即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红球， 估计摸到红球的概率为， 设绿球个数为个， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 估计箱子中有个绿球． 故答案为：． 4．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲤鱼 尾． 【答案】360 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后即可估计事件的概率． 由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，而鲤鱼出现的频率为0.36，然后乘以总数即可得到水塘有鲤鱼有多少尾． 【详解】解：∵水塘约有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36， ∴鲤鱼出现的概率为0.36， ∴水塘有鲤鱼（尾）， 故答案为：360． 5．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有 个． 【答案】 【分析】本题考查了概率的应用，根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共个，摸到白色球的概率是， ∴口袋中白色球可能有个． 故答案为：． 6．二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了频率估计概率，由落入黑色部分的频率稳定在0.6，可根据几何概率求黑色部分的面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：15． 7．某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： (1)估计柑橘损坏的概率为__________； (2)估计这批柑橘完好的质量为__________千克； (3)若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据概率求数量，一元一次方程的应用，掌握用频率估计概率知识是解决本题的关键． （1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率； （2）用整体减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概率，用柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可求解； （3）设每千克的售价应为元，根据每千克的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据统计图可得，随着抽取橙子质量的增加，损坏率稳定在附近， 即柑橘损坏的概率估计值为． 故答案为：． （2）解：柑橘完好的概率估计值为：， 则这批柑橘完好的质量为：千克． 故答案为：． （3）解：设每千克的售价应为元， 根据题意得：， 解得：， 故每千克的售价应大约为元． 8．在一个不透明的口袋里装有15个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表． 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 摸到红球的频数n 123 243 487 725 964 摸到红球的频率 0.820 0.810 0.812 0.806 0.803 (1)发现：摸到红球的频率在常数__________（精确到0.01）附近摆动，推测：摸到红球的概率是__________（精确到0.1） (2)求口袋中红球的个数． 【答案】(1)0.80，0.8 (2)60个 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．正确记忆概率所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1是解题关键． （1）从表中的统计数据可知，摸到红球的频率稳定在0.80左右，再利用频率估计概率即可； （2）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可． 【详解】（1）解：发现：摸到红球的频率在常数0.80附近摆动，推测：摸到红球的概率是0.8； 故答案为：0.80，0.8； （2）解：设口袋中红球的数量为个， 则， 解得：， 答：口袋中红球的个数为60个． 【考点8】几何概率 1．某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：由图知，字母“B”所在的区域的圆心角度数为， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“B”所在区域内的概率是，即中奖的概率是． 故选：B． 2．“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求出大正方形的面积和阴影部分面积，再利用几何概率公式计算即可，正确计算出图形的面积是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形， 设大正方形的边长为， 大正方形的对角线长为，面积为， 阴影部分的边长为， ， (该点取到阴影部分)， 故选：A． 3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用黑色小正方形的数量除以小正方形的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为， 故答案为：． 4．如图，中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，若一个小球在内自由滚动，并随机停在某个位置，那么小球最终停留在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查求扇形的面积，求概率，根据题意求出三角形面积及扇形面积，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴得面积为：，， ∴阴影部分扇形的面积为：， ∴小球最终停留在阴影部分的概率是：， 故答案为：． 5．如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率．设正方形的边长为a，则圆的直径为，求出正方形的面积为，圆的面积为，然后用正方形的面积除以圆的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，则圆的直径为， ∴正方形的面积为，圆的面积为， ∴飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是． 故答案为：． 6．如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例成为解题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可解答． 【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 【考点9】列表法或树状图法求概率 1．小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． （1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正正反、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75． 2．在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 30 40 m 50 频率 n 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______； (2)请补全频数分布直方图； (3)某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3)列表见解析，概率为 【分析】本题考查了频数分布表的相关计算、频数分布直方图的补全以及用列表法求随机事件的概率，解题的关键是掌握“频率=频数÷样本总数”的关系，并通过列表列出所有等可能结果来计算概率． （1）根据频率与频数的关系，用的频数除以样本总数200，即可求出n； （2）先通过样本总数减去其他组的频数求出的频数m，再根据m的值补全直方图中对应区间的柱形； （3）标记2名男生和1名女生，用列表法列出从3人中抽2人的所有可能情况，数出“1男1女”的情况数，结合概率公式(概率符合条件的情况数总情况数)计算概率． 【详解】（1）解：由题意知，样本总数为200,的频数为40．   根据“频率频数样本总数”，得．   故答案为：； （2）解：先求的频数m．   ∵样本总数为200，且各组频数之和等于样本总数，   ∴．   补全频数分布直方图：在“”区间对应的柱形，高度调整为与频数70对应； （3）解：设2名男生分别为男1、男2，1名女生为女，列表如下： 男1 男2 女 男1 (男1，男2) (男1，女) 男2 (男2，男1) (男2，女) 女 (女，男1) (女，男2) 由表格可知，从3人中随机抽2人，共有6种等可能结果(考虑顺序)，其中“1名男生和1名女生”的结果有4种．   ∴抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．   答：抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为． 3．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝  B．东明粮画 C．青神竹编 D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_______． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率．解题的关键是明确概率的计算公式（概率所求情况数与总情况数之比），并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． （1）确定总情况数为4，选中“青神竹编”的情况数为1，根据概率公式计算即可； （2）通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，再结合概率公式求解． 【详解】（1）解：总共有4幅图，随机选择一幅，选中“C．青神竹编”的情况只有1种．根据概率公式，所求概率为． 故答案为：． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2． 所以两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 4．庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片都没有抽到“福星蛇墩墩”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为； （2）解：画树状图下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种， 则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为． 5．为了激发青少年的创新热情，第39届全国青少年科技创新大赛计划于2025年暑期举办，科创爱好者小勋设计了一款闯关小游戏，如图，在进入游戏之前有甲、乙两组关卡，每组关卡中各有4个按钮和4个装置（含2个发光装置和2个发音装置），每个按钮控制该组的一个装置（按钮与装置一对应，但顺序不对应），每按下一个按钮，该组就会有一个发音装置发出“闯关失败”的声音或一个发光装置亮起玩家每次从两组分别随机按下一个按钮，若两组中各有一个发光装置亮起，则可进入游戏：若两组中只有一组是发光装器亮起，另一组发出“闯关失败”的声音，则可再闯关一次；若两组均发出“闯关失败”的声音，则退出游戏． (1)从甲组任意按下一个按钮，发光装置亮起的概率为________； (2)小勋设计完成后让好朋友小华试玩了一下，请用列表法或画树状图法求小华一次就能进入游戏的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：从甲组任意按下一个按钮，发光装置亮起的概率为； （2）设甲组的四个按钮中，控制发光装置的两个按钮分别为A，B，控制发音装置的两个按钮分别为C、D，乙组的四个按钮中，控制发光装置的两个按钮分别为E、F，控制发音装置的两个按钮分别为G，H，根据题意画树状图如下：      由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小华一次就能进入游戏的情况有4种， （小华一次就能进入游戏）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $