专题01 集合、充要条件和逻辑用语（讲义）-2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及山东省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合、充要条件和逻辑用语。 2026版山东省（春季高考） 《数学考纲专题练》 专题01 集合、充要条件和逻辑用语 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 集合 · (1)集合及其表示: · (2)集合之间的关系: · (3)集合的运算: 2. 充要条件 3. 逻辑用语 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 1 集合的运算（交集） 3 （1）题型：选择题。 （2）分值：每年都有涉及，分值占3-6分。 （3）内容：集合的运算，特别是交集；元素、集合之间的相互关系；逻辑用语，判断命题的真假。 选择题 3 逻辑用语（命题的真假） 3 2024 选择题 1 元素与集合、集合与集合的关系 3 选择题 15 逻辑用语（命题的真假） 3 2025 选择题 1 集合的运算（交集） 3 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山东省春季高考有2道选择题分别考查集合与逻辑用语，分值占6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 元素与集合的关系 · 集合之间的关系 · 集合的运算 · 命题的真假 四、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1.集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集 A⊆B或B⊇A 真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集 A⫋B或B⫌A 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意： (1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁U A 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁U A＝{x|x∈U且x∉A} 注意： 1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果p，那么q”的命题，我们称p为命题的条件，简称条件；称q为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； （五）逻辑用语 1.量词 (1)全称量词 在陈述中表示对象的全体，“全部的”“所有的”“任意一个”等词在逻辑中通常被称为全称量词，记作“”，含有全称量词的命题叫作全称命题。 (2)存在量词 在陈述中表示的个体或一部分，“存在”“有的”“部分”“至少有一个”等词在逻辑中通常被称为存在量词，记作“”，含有存在量词的命题叫作特称命题。 2.逻辑联结词 (1)“且”即都的意思，符号表示为“”； (2)“或”即或者的意思，符号表示为“”； (3)“非”即否定的意思，符号表示为“”. 3.真值表 p q p q pq pq 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 五、10分钟小测验 1．已知集合，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知表示空集，N表示自然数集，则下列关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 4．实数，，0，中，无理数是（   ） A． B． C．0 D． 5．下列能构成集合的是（    ） A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．数学必修第一册课本中所有的难题 6．集合（   ） A． B． C． D． 7．“有一个角是”是“是等边三角形”的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．“”是“x、y至少有一个为零”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．命题“，使得”的否定形式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案解析】 1．D 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】∵集合，∴，，，． 故选：D. 2．B 【分析】根据空集的概念判断. 【详解】A选项， 0不是空集的元素，故A不正确； B选项，空集是任何集合的子集，所以正确； C选项，0是自然数，应表示为，故C不正确； D选项，空集是任何集合的子集，应表示为，故D不正确. 故选：B. 3．A 【分析】根据集合中的元素具有确定性判断选项即可. 【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足； 接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足. 故选：A. 4．A 【分析】根据无理数的概念判断答案即可. 【详解】无限不循环小数叫做无理数， 所以是无理数，都是有理数. 故选：A． 5．C 【分析】依据集合元素的确定性，判断选项中对象标准是否明确来确定能否成集. 【详解】A：“中央电视台著名节目主持人”中“著名”这个标准不明确， 所以无法明确哪些主持人属于这个集合，不能构成集合； B：“我市跑得快的汽车”“跑得快”没有一个确定的标准， 所以不能明确哪些汽车属于这个集合，不能构成集合； C：“上海市所有的中学生”对于上海市的每一个学生， 我们都可以明确地判断他是不是中学生，这个标准是确定的， 所以上海市所有的中学生能构成集合； D：“数学必修第一册课本中所有的难题”“难”这个概念是相对的， 不同的人对难题的理解不一样，没有一个明确的界定标准， 所以不能确定哪些题目属于这个集合，不能构成集合. 故选：C. 6．A 【分析】由集合的含义即可求解. 【详解】，且，所以集合． 故选：A. 7．B 【分析】等边三角形的三个角都为但只有一个角为的三角形不一定是等边三角形. 【详解】等边三角形的三个角都为但只有一个角为的三角形不一定是等边三角形. 即三角形的一个角为不能推出该三角形为等边三角形， 等边三角形可以推出该三角形的三个角均为， 所以“有一个角是”是“是等边三角形的必要不充分条件”. 故选：. 8．C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】能推出x、y至少有一个为零，而x、y至少有一个为零也能推出， 所以“”是“x、y至少有一个为零”的充要条件． 故选：C． 9．B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】是等腰三角形不能推出是等腰直角三角形， 而是等腰直角三角形能推出是等腰三角形， 所以“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的必要不充分条件． 故选：B. 10．D 【分析】根据命题的否定概念求解即可. 【详解】命题“，使得”的否定形式为“，.” 故选：D. 六、经典例题解析 （一）集合 【考试题型1】集合的基本关系 例1.（22山东真题）已知集合，，若，则实数的值是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】根据集合之间包含关系直接求得. 【详解】若,集合中元素一定在集合中， 因为,所以, 又因为,所以. 故选：A. 例2.满足条件⫋ 的集合的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法，列举满足题意的集合，即可得解. 【详解】由已知可得集合中至少有个元素，且其中一定有，两个元素， 则满足题意的集合有，，，，，，， 共有个， 故选：C. 例3.下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系，逐一分析每个选项即可． 【详解】对于A，集合包含元素，所以，故A正确； 对于B，空集是集合，而集合的元素是、、，均为数字，不是集合， “”用于元素与集合的关系，集合与集合的关系不能用“”，故B错误； 对于C，集合中的元素，不在集合中，根据子集的定义可知，显然并不是的子集，故C错误； 对于D，是数集，也是数集，而“”用于元素与集合的关系，集合与集合的关系不能用“”，故D错误． 故选：A． 【考试题型2】集合的基本运算 例1.（23山东真题）已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据交集得概念即可求解. 【详解】. 故选：A. 例2.已知集合，，若集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意计算即可求解. 【详解】因为中的元素是属于且不属于的，所以． 故选：B 例3. 已知集合或，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合的补集，再求出与集合的交集. 【详解】因为或，所以， 又因为， 所以. 故选：A （二）充要条件 【考试题型1】充要条件的判断 例1.（24山东真题）函数是偶函数的充要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 例2.设，则“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的判定方法进行判定. 【详解】因为若“且”则“”成立； 但当“”时，“且”未必成立.比如“，”时，“”成立，但“且”不成立. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A （三）逻辑用语 【考试题型1】命题的真假 例1.（24山东真题）已知命题p、q，若是真命题，则下列结论正确的是（ ） A.p、q都是真命题 B.p是真命题，q是假命题 C.p、q都是假命题 D.p是假命题，q是真命题 【答案】C 【分析】根据：“原命题为真则命题为假”，：“一真为真，全假为假”即可判断. 【详解】因为为真命题， 则为假命题， 又因为为假命题，则p、q都是假命题. 故选：C. 例2.已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】根据定义直接判命题的真假. 【详解】对于命题，易知，而非， 为假命题，则为真； 对于命题，易知满足，所以为真命题； 故选：B. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1集合的概念及表示方法】 1.注意集合中元素的三个特性，确定性、无序性、互异性，根据题目给出的条件分别列出方程。 2.区分开元素与集合从属符号，与集合与集合从属符号的区别。 3.牢记常用集合的符号表示。 【专题内容总结2集合之间的关系】 4.注意子集和真子集的关系，真子集一定是子集，但子集不一定是真子集。 5.牢记集合子集、真子集、非空子集、非空真子集的数量公式。 【专题内容总结3集合的运算】 6.集合的交（取重叠）、并（取全部）、补（取剩下），最好结合Venn图来理解。 【专题内容总结4充要条件】 7.注意充分条件和必要条件的箭头朝向。 8.小可以推大，但大不可以推小。 【专题内容总结5逻辑用语】 9.牢记逻辑真值表。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $