第15章 回归教材专题(二)角平分线+平行线→等腰三角形&重点强化专题(二)等腰三角形中的分类讨论-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

(2,一4)，B2(2,一1)，C2(5,一2).(3)图略.6.A7.0(答案不唯一)8.B 9.解：(1)图略；(2)图略，A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1)；（3)△A1BC和△A2B2C 关于直线x=3对称.10.解：(1)建立平面直角坐标系略，“帅”的坐标为（一1， 一4)；(2)：棋盘有一个“车”和“马”关于y轴对称，此“车”的坐标为(3,4)， .“车”和“马”“将”三个棋子组成的三角形的面积为与X6×1=3. 11.（3,-2) 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识储备 1.相等等边对等角2.平分线中线高三线合一 基础练综合练素养练 1.(1)D(2)C(3)50°或80°2.80°3.(1)DAC70B7070°(2)证 明：AB=AC,.∠ABC=∠ACB.,BD=CD,.∠DBC=∠DCB.∴.∠ABC -∠DBC=∠ACB-∠DCB,即∠ABD=∠ACD.4.D5.(1)CD3CAD 29(2)⊥CAD29(3)CD3⊥6.证明：.AB=AC,AD是中线，. AD⊥BC,即∠ADC=90°.∴.∠C+∠DAC=90°.：BE⊥AC,∴.∠BEC=90°= ∠C+∠EBC..∠DAC=∠EBC.7.B8.C9.75或15°10.解：设∠EBD =&,EB=ED,.∠EDB=∠EBD=a.AD=ED,∴.∠A=∠AED=2a. ∠BDC=∠A+∠EBD=3a..BD=BC,.∴.∠C=∠BDC=3a.AB=AC,. ∠ABC=∠C=3a.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，.2a+3a+3a= 180°..a=22.5°..∠C=67.5°.11.解：(1)45°(2)∠DAC的度数不会改 变.理由如下：，EA=EC,∴∠C=∠EAC.∴.∠AED=∠C+∠EAC=2∠C. BA=BD,∴.∠BDA=∠BAD..∠BAE=90°，.∠B=90°-∠AEB=90° 2∠C.∠BAD=2(180°-∠B)=7[180-(90°-2∠C]=45°+∠C.· ∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C.∴.∠DAC=∠DAE+ ∠EAC=45°-∠C+∠C=45°.(3)2元 第2课时等腰三角形的判定 知识储备 边等角对等边 基础练综合练 素养练 1.A2.B3.C4.C5.解：△ADF是等腰三角形.理由如下：AB=AC,∴ ∠B=∠C..DE⊥BC,..∠DEB=∠DEC=90°...∠F+∠C=90°，∠B十 ∠BDE=90°..∠F=∠BDE.又∠ADF=∠BDE,.∠F=∠ADF..AD= AF..△ADF是等腰三角形.6.略7.C8.609.2510.(1)①③，①④， ②③，②④(2)解：答案不唯一；以①④为条件：，OB=OC,∴.∠OBC= ∠OCB.,∠DBO=∠ECO,∴.∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB.即∠DBC= ∠ECB,∴.AC=AB.即△ABC是等腰三角形.11.(1)证明：如图2中，DE 是线段AC的垂直平分线，∴.EA=EC,.∠EAC=∠C..∠AEB=∠EAC十 ∠C=2∠C.:∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形.∴.AE是 △ABC的一条等腰分割线；(2)解：：线段AD为等腰分割线，∴.△ABD和 △ACD都是等腰三角形，①如解图①，AD=CD=BD,∴.∠C=∠CAD=30°. ∠ADB=∠C十∠CAD=30°十30°=60°.AD=BD,∴.∠B=60°；②如解图②， AD=BD=AC,AD=AC,∴.∠ADC=∠C=30°..AD=BD,..∠B= ∠DAB..∠ADC=∠B+∠BAD=30°，.∠B=15°：③如解图③，AD=BD, AC=CD,.∠CAD=∠ADC=75°，∠B=∠BAD..∠ADC=∠B+∠BAD,. ∠B=37.5°.综上所述，∠B的度数为60°或15或37.5°. D D 解图① 解图② 解图③ 回归教材专题（二）角平分线十平行线→等腰三角形 【例】(1)解：由题意，得∠GEF=∠FEC=64°.，AD∥BC,.∠1=∠GEB=180° -∠GEF-∠FEC=52°.(2)证明：：AD∥BC,.∠GFE=∠FEC=64°.由(1) 知∠GEF=64°..∠GEF=∠GFE.,.GE=GF..△GEF是等腰三角形 【针对训练】 1.10cm2.C3.B4.95.(1)证明：AF平分∠DAC,.∠DAF=∠CAF AF∥BC,.∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB.,.∠B=∠ACB..AB=AC.. △ABC是等腰三角形.(2)解：EF=BE一CF,理由如下：：BO平分∠ABC, CO平分∠ACD,.∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠DCO.EO∥BC,.∴.∠EOB= ∠OBC,∠OCD=∠EOC..∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠EOC.,∴.EO=BE,CF =FO..EF=EO-OF,.'.EF=BE-CF. 重点强化专题（二）等腰三角形中的分类讨论 1.(1)D(2)17cm(3)252.6或8cm3.(1)35°，35°(2)80°或20° 4.(1)38°或14°(2)69°或21°5.70°或20 【例】(1)3(2)1(3)6(4)86.A7.4 方法技巧专题（一）构造等腰三角形的常用方法 1.A2.证明：过点D作DM∥AC交BC于M...∠DMB=∠ACB,∠FDM ∠E.F是DE的中点，∴.DF=EF.在△DMF和△ECF中， (∠FDM=∠E, DF-EF. .∴.△DMF≌△ECF(ASA)..MD=CE..BD=CE,.∴.MD ∠DFM=∠EFC, =BD..∠B=∠DMB.,∠DMB=∠ACB,∴.∠B=∠ACB,∴.AB=AC 3.证明：延长CE交AB于点F.AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.:CE⊥ AD,.∠AEC=∠AEF=90°.又AE=AE,.△AEC≌△AEF(ASA)..∠ACE =∠AFE.又∠AFE=∠B十∠DCE,∴.∠ACE=∠B十∠ECD.4.证明：延长 BA,CD相交于点Q.:∠CAQ=∠BDQ=90°，∴.∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+ [∠ABE=∠ACQ, ∠Q=90°.∴.∠ACQ=∠ABE.在△ABE和△ACQ中，3AB=AC, ∠BAE=∠CAQ, .△ABE≌△ACQ(ASA)..BE=CQ..BD平分∠ABC,∠BDC=∠BDQ= 90,∠Q=∠BCQ.∴BQ=BC.又：BDLCQ,.CD=DQ=2CQ.BE=CQ =2CD.5.证明：在BC边上取点E,使BE=AB,连接ED.BD平分∠ABC, (AB=EB, ∴.∠ABD=∠CBD.在△ABD和△EBD中， ∠ABD=∠CBD,.△ABD≌ BD=BD. △EBD.∴∠A=∠BED=108°.∴.∠DEC=180°-∠BED=72°.AB=AC, ∠A=108°，∠C=∠ABC=180°，∠4=36，∠EDC=180-∠DEC-∠C =72=/DEC..'.CD=CE..'BC=BE+CE,BE=AB,.'BC=AB+CD. 6.解：（方法一：截长法）在CD上截取DE=BD=2,连接AE.:AD⊥BC,AB =AE.∠AEB=∠ABC=2∠C.:∠AEB=∠C+∠EAC,.∠C=∠EAC. AE=EC=CD一DE=6.∴.AB=6.(方法二：补短法)延长DB至点F,使得BF =AB,连接AF,则∠F=∠BAF,∴.∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F.·∠ABC= 2∠C,∠F=∠C.∴AF=AC.·ADLFC,.FD=DC=8.BD=2,.FB= FD-BD=6..∴.AB=FB=6. 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 知识储备 1.相等相等60°2.(1)相等(2)60° 基础练综合练素养练 1.D2.A3.解：(1)530(2)，AD是等边△ABC的BC边上的中线，.AD 平分∠BAC,∠BAC-60.∠DAE-2∠BAC-30.:AD=AE,∠ADE= ∠AED=180二∠DAE=75.∠ADE的度数是75.4.185.D6,证明： 2 AB=AC,∴.∠B=∠C.DE⊥AB,DF⊥BC,.∠DEA=∠DFC=90°.·D 为AC的中点，.DA=DC.又DE=DF,∴.R△ADE≌Rt△CDF(HL).∠A =∠C.∴.∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.7.①②④8.C9.30° 10.(1)证明：，△ABC为等边三角形，∴.∠BAE=∠C=60°，AB=AC.在 (AB=AC, △ABE和△CAD中，〈∠BAE=∠C,∴.△ABE≌△CAD(SAS);(2)解： LAE-CD. △ABE≌△CAD,∴.∠ABE=∠DAC.:∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°， ∠BFD=∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAC=6O°.11.AE∥BC解：(1) △DBC和△EAC全等.理由：：等边△ABC和等边△DCE,.BC=AC,DC= EC,∠ACB=60°=∠DCE..∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD.即∠BCD=回归教材专题（二）角平分线十平行线→等腰三角形 [针对教材P81练习T2] 模型展示 3.如图，BC∥AD,∠ABC的平分线交AD于点 E,∠BCD的平分线交AD于点F,若AB= CD=3,AD=4,则EF的长是 () D ① A.1 B.2 C.2.5 D.3 如图①中，OC平分∠AOB,CD∥AO,则△COD 是等腰三角形； 如图②中，CB平分∠ACD,AB∥CD,则△ACB 是等腰三角形； E 第3题图 第4题图 如图③中，AB平分△ACD的外角，AB∥CD,则 4.(2024·汕头期末)如图，在△ABC中， △ACD是等腰三角形， ∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O 【例】将一张长方形纸条ABCD按如图所示折 作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F,若 叠，已知∠FEC=64° AB=5,AC=4,则△AEF的周长是 (1)求∠1的度数； 5.(1)如图，点D是△ABC的边BA延长线上 (2)求证：△GEF是等腰三角形， 的点，作∠DAC的平分线AF,若AF∥BC. 求证：△ABC是等腰三角形； 164° E 【针对练习】 1.如图，在△ABC中，∠A=∠B,D是边AB上 任意一点，DE∥BC,DF∥AC,AC=5cm,则 (2)【T5(1)变式】如图，∠ABC的平分线与 四边形DECF的周长是 △ACB外角∠ACD的平分线交于点O,OE ∥BC,交AB,AC于点E,F.试探究EF,BE, CF间的数量关系，并说明理由. B 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC中，CD平分∠ACB,DE∥BC 交AC于点E.若△AED的周长是10，AC= 6,则AD的长是 () A.2 B.3 C.4 D.5 55八年级数学·上册 重点强化专题（二） 等腰三角形中的分类讨论 类型一针对腰长和底边长分类讨论 类型四 画等腰三角形时应分类讨论 1.(1)若等腰三角形的两边长分别是3cm和 解题技巧 在平面内找一个点，使它与另两M 5cm,则这个等腰三角形的周长是 个定点构成一个等腰三角形的三个 A.8 cm B.13 cm 顶，点的基本方法有两种：(1)分别以 C.8cm或13cm D.11cm或13cm 两定点中的一个点为圆心，以两点之 (2)【T1(1)变式1]一个等腰三角形的两边长分 间的距离为半径作圆，该点在所作的圆上.如图，不与 点M,B,点A,N重合；(2)连接两定点，作所连线段 别为3cm和7cm,则它的周长为 的垂直平分线，该点在所作的垂直平分线上， (3)【T1(1)变式2]若实数x,y满足|x-5+ 【例】如图，平面直角坐标系中，点A(2,1), (y-10)2=0,则以x,y的值为边长的等腰三 (1)点B是x轴上一点，若 角形的周长是 △AOB是以OA为腰的等 2.等腰三角形的周长为20cm,一边长为6cm, 腰三角形，则符合条件的点 01234x 则底边长为 B有个； 类型二针对顶角与底角分类讨论 (2)点B是x轴上一点，若△AOB是以OA为底的 3.(1)等腰三角形的一个内角为110°，则另外两 等腰三角形，则符合条件的点B有 个； 个内角的度数是 (3)点B在坐标轴上，若△AOB是以OA为腰的等 (2)【T3(1)变式】等腰三角形的一个外角为 腰三角形，则符合条件的点B有个； (4)点B在坐标轴上，若△AOB是等腰三角形， 100°，则此等腰三角形的顶角的度数是 则符合条件的点B有个. 【变式练习】 类型三针对锐角、直角、钝角三角形分类讨论 6.在平面直角坐标系中，A(2,2),B(4,0).若在 4.(1)等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰 坐标轴上取点C,使△ABC是等腰三角形，则 上的高与另一条腰的夹角是 满足条件的点C的个数是 () (2)【T4(1)变式】等腰三角形一腰上的高与 A.5 B.6 C.7 D.8 一腰的夹角是48°，则这个等腰三角形的底角 7.(2024·信阳期未)在如图所示的正 的度数为 方形网格中，网格线的交点称为格 A 5.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与 点.已知A,B是两格点，若C也是图中的格 AC所在的直线相交成50°的角，则底角的度 点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三 角形的点C的个数是 个 数是 助学助款优质高数56