1.2.1(1)直线的点斜式方程（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

第1章 坐标平面上的直线 1.2.1(1)直线的点斜式方程 沪教版2020选择性必修第一册·高二 学习目标 教学重点：理解几种特殊形式直线方程的推导原理，能求解直线的特殊形式方程； 教学难点：能选择合适直线方程形式解决问题，理解几何特征与代数形式的转化逻辑 理解直线方程的推导过程，明确各自适用条件； 掌握直线方程的表达式，能根据已知条件选择合适形式求直线方程； 体会特殊形式直线方程的形成过程，培养数学建模、逻辑推理与数学符号语言表达能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：几种特殊直线方程形式的概念提炼； 逻辑推理：特殊直线方程推导过程的逻辑分析； 直观想象：结合直线几何特征理解方程形式，建立几何与代数的联系； 数学运算：根据不同条件准确计算并写出直线的特殊形式方程。 新知引入 情境1：如果把风筝看作一个点，随着风筝的高低起伏，线的方向也会发生变化，如何从数学的角度解释线的变化情况呢？ 情境2：本章1.1的例3中，我们证明了与点、共线的点的坐标一定满足关系式，那么直线又有什么特点，我们怎么描述它？与 点的坐标一定满足关系式有什么关系吗？ 如何用数学语言 描述“直线” 新知引入 情境2：本章1.1的例3中，我们证明了与点、共线的点的坐标一定满足关系式 反之，若点的坐标满足关系式，那么点一定与，共线 点的坐标满足⟺点与，共线 直线上的点正好是方程的解作为坐标的点 这种情况下，我们说“直线的方程是”， 或者说，“方程表示了直线” 小发现： 直线的方程是一个关于与的二元一次方程 新知引入 思考1：我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线. 由1.1的例3的启示，你能否将直线上任意一点的坐标满足的关系表示出来？ l α x y O (x0,y0) P(x,y) 由上述推导过程可知： 直线l上每个点的坐标(x, y)都满足关系式y－y0=k(x－x0)； 新知探究 直线经过点，且斜率为. 设是直线上不同于点的任意一点 追问：反之，坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的每个点都在直线上? 新知探究 问题1：回顾刚刚的推导过程，你能说明为什么坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的每个点都在直线上吗? 新知探究 由上可知： ①直线l上每个点的坐标(x, y)都满足关系式y－y0=k(x－x0)； ②坐标满足关系式的每一个点都在直线上. 这就证明了方程是经过定点，且斜率为的直线的方程.这种形式的直线方程叫做直线的点斜式方程。 新知探究 问题2： 能否直接表示直线？为什么要变形？ 除点 外 直线l上的其他点 直线l上的任意点 直线上任意点的坐标都满足直线的方程. 问题3：特别的，若直线经过点，斜率为，此时直线方程如何表示？ 将点和斜率代入直线的点斜式方程， 得，即. 新知探究 直线的点斜式方程： 是经过定点，且斜率为的直线方程 直线的斜截式方程： 定点选成直线 轴的交点，其中称为直线在轴上的截距. 其中，和均有明显几何意义：是直线斜率，是直线在轴上截距. 就是一个点斜式方程 新知探究 思考2：(1)当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？ (2)当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？ l x y O (x0,y0) P(x,y) l x y O (x0,y0) P(x,y) 即 当直线的倾斜角为时 即 当直线的倾斜角为时 不存在， 直线与轴平行或重合 不能用点斜式表示 即 小技巧：直线点斜式方程的前提：①斜率存在②已知一点和斜率. 典例精讲 例1：求倾斜角是且在轴上的截距是的直线的点斜式方程。 解：因为在轴上的截距是，所以经过点 因为的斜率所以的点斜式方程是 练习1：写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与轴平行； (3)经过点，且与轴垂直. 解：(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为 (2)由题意知，直线的斜率，所以直线的点斜式方程为. (3)由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为该直线没有点斜式方程. 练习巩固 变式1-1：(1)直线点斜式方程是y=x，那么此直线斜率是______，倾斜角是______; (2)直线点斜式方程是，那么此直线斜率是_______，倾斜角是______； 【答案】 （1）；（1） 变式1-2：求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程. 解：因为直线的斜率为，所以倾斜角为. 所以所求直线的倾斜角为，其斜率为. 所以所求直线方程为. 新知探究 直线的点斜式方程： 斜截式方程是特殊的点斜式方程，斜截式和点斜式都只能表示斜率存在的直线。 新知探究 思考3：直线方程与我们学过的一次函数表达式类似，如何从直线方程角度认识一次函数？ 一次函数 直线方程 (二元一次方程) 变量x，y间的对应关系 直线上任意点坐标 (x , y)满足的代数关系 一次函数的图象是直线 k：直线的斜率 b：直线在y轴上的截距 典例精讲 例2：已知直线在轴、轴上的截距分别为.求直线的方程，并判断点是否在直线上。 解：因为在轴上的截距是且斜率存在，所以可设的方程为. 又因为经过点，所以.解得 所以，的方程为 因为，所以点不在直线上。 小技巧： 点在直线上⟺ 点的坐标满足直线方程 练习巩固 练习2：倾斜角为与轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_____. 【答案】 或 . 变式2-1：已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求的斜截式方程. 解：设直线方程为 则当时，；时， 由已知可得即∴ 故所求直线的斜截式方程为或 练习巩固 变式2-2：已知直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求的方程 解：因为直线在轴、轴上的截距存在，所以直线斜率存在且不为0 又因为直线经过点，所以设直线方程为，则当时，，即直线在轴上的截距 当时，，即直线在轴上的截距 又直线在轴、轴上的截距相等， 从而有，，解得或 所以，直线的方程为或 小结 和的几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 直线方程 几何要素 适用范围 点斜式方程（简称点斜式） 直线上一点坐标 斜率 直线存在斜率 斜截式方程（简称斜截式） 斜率 直线在轴上的截距 直线存在斜率 直线的点斜式方程 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $