精品解析：2025年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试数学试卷

2025年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试 数学 本试卷共4页，24小题满分150分．考试用时120分钟注意事项. 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填定在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．选择题每小题填出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案．答案不能写在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或者涂改液．不按以上要求作答的答案无效．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 设虚数单位，求（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 8. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 从甲乙丙三人中任意选两名当正副班长的情况有多少种？（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 过点且斜率为2的直线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 甲乙丙三条生产线共生产1200只灯泡，甲生产线生产200只灯泡，乙生产线生产600只，现采用分层抽样从这1200只灯泡中抽取30只灯泡进行质检，则从丙生产线抽取多少只（ ） A. 5只 B. 10只 C. 15只 D. 20只 12. 已知抛物线，P是抛物线上一点，且点P到焦点的距离为6，则P到轴的距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 13. 从1，3，5，6中任取两个数，两数乘积为奇数概率为（ ） A. B. C. D. 14. 已知数列满足，，则（ ） A. 18 B. 27 C. 39 D. 73 15. 已知表示与的最大值，，若，，当时，求函数的最小值（ ） A 4 B. 1 C. 0 D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 16. 计算：_______. 17. 已知数列是等比数列，，公比，则数列的前5项和为______. 18. 已知向量，，且向量，则_______. 19. 已知直线与圆相交于A，B两点，则____________. 20. 已知，均为锐角，，，则____. 三．填空题（本大题共4小题，第21．22．23各12分，第24题14分，满分50分，解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤） 21. 在中，内角的对边分别是，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积. 22. 在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若数列满足，求数列的前项和. 23. 如图，校区内有一个矩形场地，矩形长10米，宽8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为，设中间草坪面积为平方米 . （1）求中间草坪面积与函数关系式； （2）中间草坪面积大于矩形面积时，求的取值范围. 24. 已知椭圆C：经过点和，点P是椭圆C位于第一象限的动点，点Q与P关于原点对称. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求四边形的面积最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试 数学 本试卷共4页，24小题满分150分．考试用时120分钟注意事项. 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填定在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．选择题每小题填出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案．答案不能写在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或者涂改液．不按以上要求作答的答案无效．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算，结合题意即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 2. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】要使函数有意义，则需使，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及正弦函数、指数函数、对数函数、二次函数的性质判断即可. 【详解】对于选项A：，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数不是偶函数，故A错误； 对于选项B：，定义域为，定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，所以该函数不是偶函数，故B错误； 对于选项C：，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数不是偶函数，故C错误； 对于选项D：，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以该函数为偶函数，故D正确. 故选：D. 5. 设是虚数单位，求（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求解即可. 详解】， 故选：D. 6. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期性求解即可. 【详解】因为正弦型函数的最小正周期， 由函数可知， 所以函数的最小正周期， 故选：D. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因向量，， 所以， 故选：A. 8. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件定义求解判断即可. 【详解】充分性：若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 必要性：若，则或，即当时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 从甲乙丙三人中任意选两名当正副班长的情况有多少种？（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列的定义及运算分析求解即可. 【详解】甲乙丙三人中任意选两名当正副班长，共有种选取情况. 故选：D. 10. 过点且斜率为2的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程和一般式方程代入求解即可 【详解】因为直线过点且斜率为2， 根据直线的点斜式方程可得：， 即. 故选：B. 11. 甲乙丙三条生产线共生产1200只灯泡，甲生产线生产200只灯泡，乙生产线生产600只，现采用分层抽样从这1200只灯泡中抽取30只灯泡进行质检，则从丙生产线抽取多少只（ ） A. 5只 B. 10只 C. 15只 D. 20只 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样定义及运算求解即可. 【详解】由题意可得，丙生产线生产了只灯泡， 此次质检的抽样比为， 所以此次灯泡质检从丙生产线抽取只， 故选：B. 12. 已知抛物线，P是抛物线上一点，且点P到焦点的距离为6，则P到轴的距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合抛物线的定义，即可求出点P到准线的距离，继而求解． 【详解】因为抛物线，P是抛物线上一点，且点P到焦点的距离为6， 所以点P到准线的距离为6， 所以P到轴的距离为. 故选：C. 13. 从1，3，5，6中任取两个数，两数乘积为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出满足两数乘积为奇数的基本事件个数，最后根据古典概型概率公式求解即可. 详解】从1，3，5，6中任取两个数，所有基本事件有： ，共个， 其中满足两数乘积为奇数的基本事件有： ，共个， 所以其概率， 故选：C. 14. 已知数列满足，，则（ ） A. 18 B. 27 C. 39 D. 73 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解． 【详解】因为数列满足， 又， 所以， 所以． 故选：B. 15. 已知表示与的最大值，，若，，当时，求函数的最小值（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合二次不等式的解法和分段函数的表示方法，先表示出函数，结合函数在每段区间上得值域，比较即可求得函数的最小值. 【详解】由题意，令，即， 所以，分解因式得，解得或， 令，即， 所以，分解因式得，解得， 所以当时，， 所以当或时，函数的值域为； 当时，函数的值域为； 综上所述，当时，函数取得最小值1. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 16. 计算：_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 17. 已知数列是等比数列，，公比，则数列的前5项和为______. 【答案】31 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解. 【详解】因为数列是等比数列，，公比， 所以. 故答案为：31. 18. 已知向量，，且向量，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，，且向量， 所以，解得：， 故答案为：. 19. 已知直线与圆相交于A，B两点，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再利用半径，圆心到直线的距离与弦长之间的关系，代入求解即可. 【详解】由圆的方程可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以， 故答案为：. 20. 已知，均为锐角，，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合两角差的余弦公式和同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，均为锐角，， 所以， 所以，又， 所以， 所以. 故答案为：. 三．填空题（本大题共4小题，第21．22．23各12分，第24题14分，满分50分，解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤） 21. 在中，内角的对边分别是，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式可知的面积求解即可. 【小问1详解】 因为内角的对边分别是，，，， 由余弦定理可得：， 所以. 【小问2详解】 由三角形的面积公式可知的面积. 22. 在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，可解出公差的值，再利用等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由（1）可得，利用裂项相消的方法即可求得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，解得：， 所以等差数列的通项公式为：， 等差数列的前项和为. 【小问2详解】 由（1）可得, 所以数列的前项和. 23. 如图，校区内有一个矩形场地，矩形长10米，宽8米，中间做一个矩形草坪，四周小正方形的长与宽均为，设中间草坪面积为平方米 . （1）求中间草坪面积与的函数关系式； （2）中间草坪面积大于矩形面积时，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）, 【解析】 【分析】（1）根据题意，可求出函数得定义域，结合矩形的面积公式，即可求得函数解析式. （2）根据题意，结合二次不等式的解法，即可列式求解. 【小问1详解】 由题意，，即， 中间草坪面积， 所以函数关系式为. 【小问2详解】 因为中间草坪面积大于矩形面积， 即， 所以， 分解因式得， 解得或， 又， 所以， 即的取值范围是. 24. 已知椭圆C：经过点和，点P是椭圆C位于第一象限的动点，点Q与P关于原点对称. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求四边形的面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标分别代入到椭圆方程，求出的值，方程即可得解； （2）设，则点，根据点和求出直线的方程和，计算点到直线的距离为，求解三角形面积和即可. 【小问1详解】 因为椭圆C：经过点和， 把点代入方程得：，解得：， 把点代入方程得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 因为点P是椭圆C位于第一象限的动点，点Q与P关于原点对称， 设，则点,, 因为点和，所以直线：， ， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为, 则， ， 所以四边形的面积 因为， 所以, 当且仅当时，等号成立，即， 所以四边形的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $