1.2.1 等差数列的概念及通项公式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.2.1　等差数列及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及通项公式 一、必备知识基础 1.在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(　　) A.6 B.8 C.16 D.32 2.已知数列{an}是等差数列,a3=2,公差d=-,则其首项a1=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 3.在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,则a10=(　　) A.25 B.28 C.31 D.34 4.若等差数列{an}的公差d=2,a8∶a7=7∶8,则a1=(　　) A.-15 B.-28 C.15 D.28 5.已知等差数列{an}的各项都不相等,a1=2,且a4+a8=,则公差d=(　　) A.1 B. C.2 D.2或 6.(多选题)已知数列{an}为等差数列,则下列说法正确的是(　　) A.数列{an+b}(b为常数)是等差数列 B.数列{-an}是等差数列 C.数列{}是等差数列 D.an+1是an与an+2的等差中项 7.(2025甘肃庆阳高二期末)已知递减等差数列{an}中,a1,a2 024是方程x2-2 025x+2 024=0的两个实根,当an=0时,n=　　　　　.  二、关键能力提升 8.(2025甘肃兰州第一中学高二月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),则an=(　　) A. B. C. D. 9.在数列{an}中,a1=-1,a3=3,an+2=2an+1-an(n∈N+),则a10=(　　) A.10 B.17 C.21 D.35 10.(多选题)若各项均为正数的数列{an}是等差数列,且a2=5,则(　　) A.当a3=7时,a7=15 B.a4的取值范围是[5,15) C.当a7为整数时,a7的最大值为29 D.公差d的取值范围是(0,5) 11.在数列{xn}中,(n≥2),且x2=,x4=,则x10=　　　　　.  12.已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列,且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　.  13.已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a4=81. (1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3. (2)是否存在一个实数λ,使得数列{}为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. (3)求数列{an}的通项公式. 三、学科素养创新 14.在等差数列{an}中,a2,a8是方程x2+mx-8=0的两根,若a4+a6=+1,则实数m的值为(　　) A.-6 B.-2 C.2 D.6 参考答案 1.B　因为在等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则a4=a1+3d=2+3×2=8,故选B. 2.A　∵a3=a1+2d=2,公差d=-, 则a1=a3-2d=2+1=3.故选A. 3.B　因为在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,所以a10=a1+9d=28,故选B. 4.B　设a8=7k,a7=8k,k∈R,则a8-a7=7k-8k=-k=2,则k=-2. 即a7=-16,故a1=a7-6d=-16-12=-28,故选B. 5.B　∵a1=2,且a4+a8=,∴2+3d+2+7d=(2+2d)2. 整理可得4d2-2d=0.∵d≠0,∴d=.故选B. 6.ABD　记数列{an}的公差为d,则an+1-an=d. (an+1+b)-(an+b)=d,故A正确; (-an+1)-(-an)=-(an+1-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确; ,不一定是常数,所以数列{}不一定是等差数列,故C不正确; 根据等差数列的定义可知2an+1=an+an+2,所以an+1是an与an+2的等差中项,故D正确.故选ABD. 7.2 025　解析 解方程x2-2 025x+2 024=0,得x=1或x=2 024,又数列{an}是递减数列,所以a1=2 024,a2 024=1,所以数列的公差为d==-1, 所以a2 025=a2 024+d=1-1=0,故n=2 025. 8.D　解析 由an+1=,得=4+, 所以=4,又a1=1, 所以数列{}是首项为1,公差为4的等差数列, 所以=1+4(n-1)=4n-3, 所以an=. 故选D. 9.B　∵an+2=2an+1-an(n∈N+), ∴an+2+an=2an+1,即数列{an}是等差数列. 设{an}的公差为d,∵a1=-1,a3=3, ∴a3=a1+2d,即3=-1+2d,得d=2. 则an=-1+(n-1)×2=2n-3,故a10=2×10-3=17. 10.ABC　当a2=5,a3=7时,公差d=2,a7=a3+4d=7+8=15,故A正确; 因为{an}各项均为正数,所以a1=5-d>0,即d<5,且d≥0, 所以公差d的取值范围是[0,5),故D错误; 因为a4=5+2d,所以a4的取值范围是[5,15),故B正确; a7=5+5d∈[5,30),当a7为整数时,a7的最大值为29,故C正确.故选ABC. 11.　在数列{xn}中,因为(n≥2),所以数列{}是等差数列.又因为x2=,x4=,所以数列{}的公差d=)=×()==1,所以+9d=1+9×,所以x10=. 12.an=2n+1　设等差数列{log2(an-1)}的公差为d, 由a1=3,a3=9, 得log2(a3-1)=log2(a1-1)+2d, 解得d=1, 所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n, 即an=2n+1. 13.解(1)由题意知a4=2a3+24-1=81,解得a3=33. 同理可得a2=13,a1=5. (2)假设存在实数λ满足题意,则(n≥2)必是与n无关的常数, ∵=1-,∴λ=-1.∴存在实数λ,使得数列{}为等差数列,且λ=-1. (3)由(2)知数列{}是等差数列,其首项为2,公差为1,则=2+(n-1)·1,故an=(n+1)2n+1. 14.B　因为a2,a8是方程x2+mx-8=0的两根, 所以a2+a8=-m,a2a8=-8,Δ=m2+32>0. 在等差数列{an}中,a2+a8=a4+a6=2a5,又a4+a6=+1, 所以2a5=+1,所以a5=1, 所以-m=a2+a8=2a5=2,所以m=-2.故选B. 6 学科网（北京）股份有限公司 $