1.5 数学归纳法-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 知识点一　利用数学归纳法证明恒等式 1．用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即有＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋＝． 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得，对任意的n∈N＋，等式都成立． 知识点二　利用数学归纳法证明整除问题 2．用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n＋15n－1能被9整除． 证明：①当n＝1时，4n＋15n－1＝18能被9整除． ②假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即4k＋15k－1能被9整除， 则当n＝k＋1时，4k＋1＋15(k＋1)－1＝4(4k＋15k－1)－9(5k－2)也能被9整除． 综合①②可得，对任意正整数n，4n＋15n－1能被9整除． 知识点三　利用数学归纳法证明几何命题 3．有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立， 即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分． 则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2． 所以当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，对一切n∈N＋，命题成立． 知识点四　利用数学归纳法证明不等式 4．利用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)． 证明：①当n＝2时，左边＝>0＝右边，∴不等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立， 即＋＋…＋>成立． 那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋…＋>＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝， ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，不等式对一切n∈N＋且n≥2成立． 知识点五　归纳—猜想—证明 5．设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n．试猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：由题意知，a2＝5，a3＝7，a4＝9，a5＝11． 猜想an＝2n＋1．证明如下： ①当n＝1时，显然成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时，ak＝2k＋1(k∈N＋)成立， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时也成立． 由①②知，an＝2n＋1，猜想成立． 一、选择题 1．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，a，b的值可以为(　　) A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3 答案：D 解析：分别令n＝1，2得到关于a，b的方程组解得或 2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2－ B．1＋＋<2－ C．1＋<2－ D．1＋＋<2－ 答案：A 解析：用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)，第一步验证当n＝2时，1＋<2－成立即可． 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 答案：D 解析：∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2． 4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要再证(　　) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案：B 解析：若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n＝k＋2时等式成立． 5．[多选]已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时，p(k)也成立，则下列判断中正确的是(　　) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 答案：AD 解析：由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立．故选AD． 二、填空题 6．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N＋)”时，S1＝_____________________． 答案：＋＋ 解析：∵n＝1时，n＋1＝2，3n＋1＝4，∴S1＝＋＋． 7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除”时，从k到k＋1添加的项数共有________项． 答案：5 解析：当n＝k时，原式为1＋2＋22＋…＋25k－1，当n＝k＋1时，原式为1＋2＋22＋…＋25k－1＋25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4，比较后可知多了25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4，共5项． 8．设平面内有n(n≥3)条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)． 答案：5　(n＋1)(n－2) 解析：f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)． 三、解答题 9．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1<a2， 所以当n＝1时，不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋)时，ak<ak＋1成立，则当n＝k＋1时， ak＋2－ak＋1＝1＋－＝－＝>0， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，不等式an<an＋1(n∈N＋)成立． 10．请观察下列三个式子： ①1×3＝； ②1×3＋2×4＝； ③1×3＋2×4＋3×5＝． 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明． 解：由题意可猜想1×3＋2×4＋…＋n(n＋2)＝． 证明如下： (1)当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，命题成立， 即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2)＝， 则当n＝k＋1时， 1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3) ＝＋(k＋1)(k＋3) ＝(2k2＋7k＋6k＋18) ＝(2k2＋13k＋18) ＝， 所以当n＝k＋1时命题成立． 由(1)(2)知，命题成立． 6 学科网（北京）股份有限公司 $