1.4.1 数列在日常经济生活中的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 4．1　数列在日常经济生活中的应用 知识点一　数列在产值增长中的应用 1．按活期存入银行1000元，年利率是0．52%，那么按照单利，第5年末的本利和是(　　) A．1036元 B．1028元 C．1043元 D．1026元 答案：D 解析：因为是按照单利计算，所以5年的利息一共是1000×0．52%×5，第5年末的本利和是1000＋1000×0．52%×5＝1000＋26＝1026．故选D． 2．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱心的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，…，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的目标至少需要的天数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：C 解析：设第n天募捐到an元，则数列{an}是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和Sn＝250n(n＋3)．因为S7＝17500，S8＝22000，所以至少需要8天可完成募捐目标．故选C． 3．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为1．75%，若按复利计算，将这1000元存满5年，可以获得利息(参考数据：1．01754≈1．072，1．01755≈1．091，1．01756≈1．110)(　　) A．110元 B．91元 C．72元 D．88元 答案：B 解析：将1000元钱按复利计算，则存满5年后的本息和为1000×1．01755≈1091，故可以获得利息1091－1000＝91(元)．故选B． 4．有关数据显示，某年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨．有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%．由此可知，如果不采取有效措施，则________年后，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．(参考数据：lg 2≈0．3010，lg 3≈0．4771)(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：B 解析：由题知，某年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨，且年平均增长率为50%，则我国快递行业产生的包装垃圾和年份之间符合等比数列，且公比为1＋50%＝1．5，1年后我国快递行业产生的包装垃圾约为400×(1＋50%)＝400×1．5万吨，则n(n∈N＋)年后我国快递行业产生的包装垃圾约为400×(1＋50%)n＝400×1．5n万吨，则有400×1．5n>4000，即1．5n>10，两边取以10为底的对数，得lg 1．5n>lg 10＝1，即nlg >1，则有n>≈≈5．679，因为n∈N＋，所以n＝6，故6年后，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨． 知识点二　数列在分期付款中的应用 5．某企业在某年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由已知条件和分期付款公式，可得a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10，∴a＝．故选C． 6．某企业进行技术改造，有两种方案．甲方案：今年1月1日一次性贷款100万元，今年便可获利10万元，以后每年比上一年增加30%的利润．乙方案：从今年开始，每年1月1日贷款10万元，今年可获利10万元，以后每年比上一年增加5万元利润．贷款银行规定两种方案的使用期都是10年，即到第11年1月1日一次性归还本息．且银行规定两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种使该企业获利更多？用数据说明理由(注意：企业每年的利润不存入银行，不计息)． (参考数据：取1．0510≈1．629，1．310≈13．786，1．510≈57．665) 解：用甲方案，企业10年所获利润总和为 10×(1＋1．31＋…＋1．39)＝10×≈426．2(万元)， 付给银行本息为100×1．0510≈162．9(万元)， 企业所获利润为426．2－162．9＝263．3(万元)． 用乙方案，企业10年所获利润总和为100×1＋×5＝325(万元)， 付给银行本息为10×(1．0510＋1．059＋…＋1．051)＝10×≈132．09(万元)， 企业所获利润为325－132．09＝192．91(万元)． 对比可知，甲方案使该企业获利更多． 一、选择题 1．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是(　　) A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3 C． D． 答案：C 解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a，所以x＝．故选C． 2．某人从2025年1月份开始，每月月初存入银行100元，月利率是1．5‰(不计复利)，到12月底取出的本利和应是(　　) A．1203．6元 B．1219．8元 C．1211．7元 D．1224．4元 答案：C 解析：12×100＋(1＋2＋3＋…＋12)××100＝1211．7(元)． 3．银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q．为吸引长期资金，银行鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于(　　) A． B．[(1＋r)3－1] C．(1＋r)3－1 D．r 答案：B 解析：设储户存a元，存一年定期并自动转存，三年后的本利和为a(1＋r)3元，存三年定期的本利和为a(1＋3q)元．为鼓励储户存三年定期，则a(1＋3q)>a(1＋r)3，即q>[(1＋r)3－1]． 4．某高一学生家长于3月5日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值m元的平板电脑给孩子进行网上学习使用，该平台规定：分12个月还清，从下个月5日，即4月5日，开始偿还，每月5日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为p，则该家长每月的偿还金额是(　　) A．元 B．元 C．元 D．元 答案：B 解析：设每月的偿还金额都是a元，则＋＋…＋＝m，即 ＝m，得a＝．故选B． 5．[多选]市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式．方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同．银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2025年5月7日贷款到账，则2025年6月7日首次还款)．已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0．004，则下列说法正确的是(参考数据：1．004240≈2．61，计算结果取整数)(　　) A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为289200元 B．选择方式②，小张每月还款额为3800元 C．选择方式②，小张总利息为333840元 D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式① 答案：ACD 解析：对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，则a1＝4900，a240＝2510，则S240＝＝120×(4900＋2510)＝889200，故小张该笔贷款的总利息为889200－600000＝289200(元)，故A正确；对于B，设小张每月还款额为x元，则x＋x(1＋0．004)＋x(1＋0．004)2＋…＋x(1＋0．004)239＝600000×(1＋0．004)240，所以x×＝600000×1．004240，即x＝≈≈3891，故B错误；对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为3891×240－600000＝933840－600000＝333840(元)，故C正确；对于D，因为333840>289200，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确．故选ACD． 二、填空题 6．若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则a≈________(最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，1－0．511≈0．9995)． 答案：200 解析：由题意可知，a＋a×50%＋a×(50%)2＋…＋a×(50%)10＝＝400，解得a≈200． 7．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下： 存期 1年 2年 3年 5年 年利率(%) 2．25 2．4 2．73 2．88 某人在该段时间存入10000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为________元． 答案：10456 解析：由题意，存期两年的利息与本金为10000×(1＋2×2．4%)，利息税为10000×2×2．4%×5%，所以到期的本利和为10000×(1＋2×2．4%)－10000×2×2．4%×5%＝10456． 8．某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为10%，约定一次性还款．贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元，利润随即存入银行，存款利息按复利计算，年利率也为10%，则到第n年年初该项目总收益为________万元，到第________年的年初，可以一次性还清贷款． 答案：3000×(1．1n－1－1)　6 解析：由题知，到第n年年初，借贷总额为1000(1＋10%)n＝1000×1．1n，总收益为300＋300×1．1＋…＋300×1．1n－2＝3000×(1．1n－1－1)，当n＝5时，1000×1．1n＝1610．51>3000×(1．1n－1－1)＝1392．3；当n＝6时，1000×1．1n＝1771．561<3000×(1．1n－1－1)＝1831．53，故第n年年初该项目总收益为3000×(1．1n－1－1)，到第6年的年初，可以一次性还清贷款． 三、解答题 9．小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的月利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10个月等额还清，每月月初还一次，并且从借款后次月月初开始归还，问每月应还款多少元？(精确到1元) 解：设每月还款x元，需10个月还清，则每月还款及利息情况如下： 第10个月还款x元，此次欠款全部还清； 第9个月还款x元，过1个月欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元； 第8个月还款x元，过2个月欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元； …… 第1个月还款x元，过9个月欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元． 根据题意可得， x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9 ＝20000(1＋10%)10， ∴x＝≈3255． ∴每月应还款3255元． 10．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时拆除面积为b(单位：m2)的旧住房． (1)分别写出第1年年末和第2年年末的实际住房面积表达式，并写出第n年年末与第n＋1年年末实际住房面积的关系式； (2)如果第5年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(1．15≈1．6) 解：(1)第1年年末的住房面积为1．1a－b； 第2年年末的住房面积为(1．1a－b)×1．1－b＝1．21a－2．1b． 若记第n年年末的实际住房面积为an， 则第n年年末与第n＋1年年末实际住房面积的关系式为an＋1＝1．1an－b． (2)由(1)中的递推关系式，将等式两边同时减10b，得an＋1－10b＝1．1an－11b＝1．1(an－10b)，数列{an－10b}的首项为a1－10b＝1．1a－11b，当b≠时，数列{an－10b}是等比数列，公比q＝1．1， 则an－10b＝(1．1a－11b)·1．1n－1，当b＝时，数列{an－10b}是常数列，an－10b＝0满足上式， 于是an＝(1．1a－11b)·1．1n－1＋10b＝(a－10b)·1．1n＋10b，可得a5＝(a－10b)×1．15＋10b≈1．6(a－10b)＋10b＝1．6a－6b， 由1．6a－6b＝1．3a，解得b＝， 所以每年拆除的旧住房面积为 m2． 7 学科网（北京）股份有限公司 $