4.2.5 正态分布-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版）

第四章　概率与统计 4.2　随机变量 4.2.5　正态分布 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 知识点二　利用正态分布求概率 3．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率约为(　　) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ ≤ ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ ≤ ξ ≤ μ＋2σ)≈95.4%) A．4.56% B．13.55% C．27.18% D．31.74% 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 知识点三　正态分布的应用 5．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有(　　) (附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954) A．4093件 B．4770件 C．6830件 D．8185件 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 6．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径进行测量，得出这批钢管的直径X(单位：mm)服从正态分布N(65，4.84)． (1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据； (2)如果钢管的直径X在[60.6，69.4] mm内为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的数学期望． (参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997) 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 知识点四　标准正态分布 7．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，设随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝________． 解析：∵ξ～N(0，1)，∴P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.95. 0.95 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 13 8．乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间ξ(单位：min)服从正态分布N(50，102)；第二条路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间服从正态分布N(60，42)．现有65 min时间可以利用，则应走第________条路线． 一 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 14 40分钟综合练 一、单项选择题 1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．不确定 解析：均值即为其对称轴，∴μ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 2．设随机变量ξ～N(1，4)，若P(ξ<2m)＝P(ξ>3－m)，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：因为随机变量ξ～N(1，4)，P(ξ<2m)＝P(ξ>3－m)，则2m＋3－m＝2，解得m＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 3．如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3 C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 4．若随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，且P(X<1)＝0.8413，则 P(－1<X<0)＝(　　) A．0.6587 B．0.8413 C．0.1587 D．0.3413 解析：∵X～N(0，1)，∴P(－1<X<0)＝P(0<X<1)＝Φ(1)－Φ(0)＝0.8413－0.5＝0.3413.故P(－1<X<0)＝0.3413.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 5．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000，52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为(　　) A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 解析：∵X～N(1000，52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈[985，1015]，982∉[985，1015]，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 二、多项选择题 6．已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列结论正确的是(　　) (参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997) A．E(X)＝100 B．D(X)＝100 C．P(X≥90)＝0.8415 D．P(X≤120)＝0.995 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 解析：由题意可得μ＝1，σ＝0.01，对于A，因为正态分布求得是随机变量X在某一区域内的概率(在某一处的概率约为0)，所以P(X＝1)接近于0，故A错误；对于B，因为X服从正态分布N(1，0.0001)，所以正态曲线关于x＝1对称，所以P(X<0.99)＝P(X≥2－0.99)＝P(X≥1.01)，故B正确；对于C，因为μ－3σ＝0.97，μ＋3σ＝1.03，即零件长度在[0.97，1.03]内的是正常的，否则就不是正常零件，故C正确；对于D，由C项分析，可知0.95∉[0.97，1.03]，所以应对生产线进行检修，故D正确．故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 9．若随机变量ξ～N(10，σ2)，若ξ在(5，10)上的概率为a，a∈(0，0.5)，则ξ在(－∞，15)内的概率为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 10．某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试．经统计，成绩X近似服从正态分布N(108，σ2)，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在108～140之间的人数约为________． 900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 四、解答题 11．某白糖生产线生产出来的白糖的质量服从正态分布N(500，52)(单位:g)． (1)任意抽取一包白糖，该包白糖的质量小于485 g的概率约为多少？ (2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． 附：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 31 13．[多选]李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则下列说法正确的是(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997)(　　) A．X～N(30，6) B．Y～N(34，4) C．若某天只有38 min可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有34 min可用，则李明上学应该选择坐公交车 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 33 14．国家体育总局和教育部联合印发的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围．已知高三男生投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标．某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每名考生可以投掷3次，一旦达标无需再投，若3次均未达标，则考试不合格．为研究该方案的合理性，到某校任选4名高三学生进行测试，若恰有2人不合格的概率超过0.1，则该方案需要调整，否则就定为考试方案．已知该校高三男生投掷实心球的距离ξ1(单位：米)服从正态分布N(6.9，0.25)，女生投掷实心球的距离ξ2(单位：米)服从正态分布N(6.2，0.16)． (1)请你通过计算，说明该方案是否需要调整； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 35 (2)设女生投掷实心球的距离至少增加a米，此时女生投掷实心球的距离为ξ2′，则ξ2′＝ξ2＋a，ξ2′～N(6.2＋a，0.16)． 当ξ2′～N(6.516，0.16)时，6.2＋a＝6.516，得a＝0.316， 且P(ξ2′≤6.832)≈0.785，所以P(ξ2′>6.832)≈1－0.785＝0.215.因为点(6.832，0)关于直线x＝6.516的对称点恰好为点(6.2，0)， 所以P(ξ2′<6.2)≈0.215， 此时女生的合格率为1－0.2153≈1－0.01＝0.99， 所以要使女生的合格率不低于99%，投掷实心球的距离至少增加0.316米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 36 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　正态分布的有关概念 1．[多选]甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σeq \o\al(2,1))，N(μ2，σeq \o\al(2,2))，其概率密度函数为f(x)＝eq \f(1,\r(2π)σi)e-2,i)eq \s\up17(\f((x-ui)2,2σ)) ，其中i＝1，2，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲类水果的平均质量为0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．σ2＝1.99 解析：由题意知，μ1＝0.4，所以甲类水果的平均质量为0.4 kg，故A正确；甲曲线比乙曲线更“瘦”，则甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；乙类水果的平均质量为0.8 kg，则甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小，故C正确；由题意知eq \f(1,σ2\r(2π))＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．故选ABC. 2．设随机变量X～N(1，22)，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))＝_____． 解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))＝eq \f(1,4)D(X)＝1. 解析：因为P(X＞2)＋P(0<X≤2)＋P(－2≤X≤0)＋P(X＜－2)＝1，P(X＞2)＝P(X＜－2)，P(0<X≤2)＝P(－2≤X≤0)，所以P(X＞2)＝eq \f(1,2)[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.1. 解析：由已知得μ＝0，σ＝3，所以P(3<ξ<6)＝eq \f(1,2)[P(－6<ξ<6)－P(－3≤ξ≤3)]≈eq \f(1,2)×(95.4%－68.3%)＝eq \f(1,2)×27.1%＝13.55%. 解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，而质量在[98，102]内的产品的概率为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率约为0.683＋eq \f(0.954－0.683,2)＝0.8185，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量约为10000×0.8185＝8185.故选D. 解：(1)因为μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6， 所以P(X>71.6)＝eq \f(1－P（58.4≤X≤71.6）,2)≈eq \f(1－0.997,2)＝0.0015. 而73∈(μ＋3σ，＋∞)，所以此事件为小概率事件，故该质检员的决定有道理． (2)因为μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4， 由题意可知钢管直径满足μ－2σ≤X≤μ＋2σ为合格品， 所以该批钢管为合格品的概率约为0.95. 所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数Y～H(60，3，3)．所以E(Y)＝eq \f(3×3,60)＝0.15. 解析：①若走第一条路线，ξ～N(50，102)，及时赶到汽车站的概率为P(ξ≤65)＝ Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65－50,10)))＝Φ(1.5)． ②若走第二条路线，ξ～N(60，42)，及时赶到汽车站的概率为P(ξ≤65)＝Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65－60,4)))＝Φ(1.25)． 根据标准正态分布曲线的轴对称性可知，走第一条路线及时赶到汽车站的概率大于第二条路线，故应走第一条路线． 解析：当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝eq \f(1,\r(2π))·e－eq \s\up7(\f(x2,2))在x＝0处取最大值eq \f(1,\r(2π))，故σeq \o\al(2,2)＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦”，反之越“胖”，所以0<σ1<σ2＝1<σ3.故选D. 解析：∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴正态曲线关于x＝100对称，根据题意可得，P(90≤X≤110)≈0.683，P(80≤X≤120)≈0.954，∴P(X≥90)≈0.5＋eq \f(1,2)×0.683＝0.8415，故C正确；P(X≤120)≈0.5＋eq \f(1,2)×0.954＝0.977，故D错误．而A，B都正确．故选ABC. 7．在实际生产中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．若X在[μ－3σ，μ＋3σ]外，可以认为生产线是不正常的，已知P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1，0.0001)(单位：厘米)，则(　　) A．P(X＝1)＝eq \f(1,2) B．P(X<0.99)＝P(X≥1.01) C．若抽检的10个样本的长度均在[0.99，1.02]内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 三、填空题 8．已知变量ξ～N(μ，σ2)，则下列变量：①ξ；②ξ－μ；③eq \f(ξ＋μ,σ)；④eq \f(ξ－μ,σ)，其中服从标准正态分布的是________． 解析：设Z＝eq \f(ξ－μ,σ)，则E(Z)＝Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ξ－μ,σ)))＝0，D(Z)＝eq \f(D（ξ）－D（μ）,σ2)＝eq \f(D（ξ）,σ2)＝1，所以Z＝eq \f(ξ－μ,σ)～N(0，1)．同理，可得①②③不服从标准正态分布． 解析：P(10<ξ<15)＝P(5<ξ<10)＝a，故P(ξ≤5)＝eq \f(1,2)(1－2a)＝eq \f(1,2)－a，所以ξ在(－∞，15)内的概率为eq \f(1,2)－a＋a＋a＝eq \f(1,2)＋a. eq \f(1,2)＋a 解析：由题意，可知P(X<76)＝eq \f(300,2400)＝eq \f(1,8)，因为成绩X服从正态分布N(108，σ2)，所以P(108≤X≤140)＝P(76≤X≤108)＝eq \f(1,2)－P(X<76)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,8)＝eq \f(3,8)，所以该校一分钟跳绳成绩X在108～140之间的人数约为2400×eq \f(3,8)＝900. 解：(1)设该生产线上生产出来的白糖质量为X g，由题意可知X～N(500，52)．因为485＝500－3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知P(X<485)＝eq \f(1,2)[1－P(500－3×5≤X≤500＋3×5)]≈eq \f(1,2)×0.003＝0.0015. (2)检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包白糖检查，其质量都小于485 g的概率约为0.0015×0.0015≈2.25× 10－6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为该生产线出现异常，检测员的判断是合理的． 12．某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数 eq \o(x,\s\up6(－))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间 值代表)； (2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读 时间X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平 均数eq \o(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2. ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝eq \f(X－μ,σ)，则Y～N(0，1)，且P(X≤a)＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y≤\f(a－μ,σ))).利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)； ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20 名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2) (结果精确到0.0001)以及Z的数学期望． 参考数据：eq \r(178)≈eq \f(40,3)，0.773419≈0.0076.若Y～N(0，1)， 则P(Y≤0.75)＝0.7734. 解： (1)eq \o(x,\s\up6(－))＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9， s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78. (2)①由题意知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N(9，1.78)， σ＝eq \r(1.78)＝eq \f(\r(178),10)≈eq \f(4,3). ∴P(X≤10)＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y≤\f(10－9,\f(4,3))))＝P(Y≤0.75)＝0.7734. ②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.2266，可得Z～B(20，0.2266)， P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)＝1－0.773420－Ceq \o\al(1,20)×0.2266×0.773419 ＝1－(0.7734＋20×0.2266)×0.773419≈0.9597. ∴Z的数学期望E(Z)＝20×0.2266＝4.532. 解析：由题意可设X～N(μ1，σeq \o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \o\al(2,2))，由题意可得μ1＝30，σ1＝6，μ2＝34，σ2＝2，所以A错误，B正确；因为P(X≤38)＝P(X≤30)＋P(30<X≤38)<P(X≤30)＋P(30<X≤42)＝P(X≤μ1)＋P(μ1<X≤μ1＋2σ1)＝0.5＋eq \f(1,2)P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈0.5＋0.477＝0.977，P(Y≤38)＝P(Y≤34)＋P(34<Y≤38)＝P(Y≤μ2)＋P(μ2<Y≤μ2＋2σ2)＝0.5＋eq \f(1,2)P(μ2－2σ2<Y≤μ2＋2σ2)≈0.5＋0.477＝0.977，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，故C错误；因为P(X≤34)＝P(X≤30)＋P(30<X≤34)＝0.5＋P(30<X≤34)>0.5，P(Y≤34)＝0.5，所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故D正确．故选BD. 解：(1)因为每个人不合格的概率均为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)，所以4名学生中恰有2人不合格的概率为Ceq \o\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8))) eq \s\up12(2)＝eq \f(147,2048)≈0.07<0.1，所以该方案不需要调整． (2)为提高学生考试合格率，该校决定加强训练，以女生为例，假设所有女生经训练后，投掷距离的增加值相同，则女生投掷实心球的距离至少增加多少米，可使女生的合格率不低于99%? 附：①eq \r(3,10)≈2.15；②若X～N(6.516，0.16)，则P(X≤6.832)≈0.785. $