3.1.3 第2课时 组合数的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 第2课时　组合数的应用 知识点一　无限制条件的组合问题 1．某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了5种不同的荤菜和n种不同的素菜． (1)当n＝4时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求n的最小值． 解：(1)当n＝4时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜， 若每份学生餐有1荤3素，由分步乘法计数原理可知，共有CC＝5×4＝20种不同的配餐供学生选择． (2)从5种不同的荤菜和n种不同的素菜中，任取2荤2素，有CC种不同选择． 由题意，得CC≥200，整理，得n(n－1)≥40， 因为n∈N＋，所以n≥7， 所以n的最小值为7. 知识点二　有限制条件的组合问题 2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　) A．14 B．24 C．28 D．48 答案：A 解析：6人中选4人的方案有C＝15种，没有女生的方案只有1种，所以不同的选派方案共有15－1＝14种． 3．将1，2，3，…，9这九个数字无重复地填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，当3，4固定在图中位置时，填写空格的方法共有(　　) 3 4 A.6种 B．12种 C．18种 D．24种 答案：A 解析：由题意可得数字1，2，9的位置也是固定的，如图所示，5，6，7，8四个数字在A，B，C，D四个位置上，A，B两个位置的填法有C种，C，D两个位置则只有C种填法．由分步乘法计数原理知，填写空格的方法共有CC＝6种. 1 3 C 2 4 D A B 9 知识点三　不同对象分组、分配问题 4．4件不同的装饰品要装进包装盒里，在下列不同的条件下，一共有多少种包装方法？ (1)有3个不同形状的精美盒子可供选择； (2)有3个不同形状的精美盒子可供选择，每个盒子至少有1件装饰品； (3)有3个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子可供选择，每个盒子至少有1件装饰品； (4)有3个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子可供选择． 解：(1)由分步乘法计数原理可得，一共有34＝81种包装方法． (2)因为每个盒子至少有1件装饰品，故有且只有两个装饰品放到同一个盒子中，故一共有CA＝36种包装方法． (3)将4件不同的装饰品分成三堆，不同的分法有C＝6种，故一共有6种包装方法． (4)将4件不同的装饰品分成一堆，有1种分法；4件不同的装饰品分成两堆，有C＋＝7种分法；由(3)可得4件不同的装饰品分成三堆，有6种分法．故共有1＋7＋6＝14种包装方法． 知识点四　相同对象分配问题 5．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，有多少种不同的分配方案？ 解：先给每个小朋友分3个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入3个“板”，共有C＝680种方法，故有680种不同的分配方案． 知识点五　排列与组合的综合应用 6．某市践行“干部村村行”活动，现有5名干部可供选派，下乡到3个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每名干部只能去1个村，则不同的选派方案共有(　　) A．243种 B．210种 C．150种 D．125种 答案：C 解析：把5名干部分为(1，1，3)和(1，2，2)两组，当分为(1，1，3)时，有CA＝60种派法；当分为(1，2，2)时，有·A＝90种派法．根据分类加法计数原理可得，共有60＋90＝150种不同的选派方案． 7．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午(后2节)，不同的排法种数是________． 答案：192 解析：由题意，要求数学课排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，有CC＝8种，再排其余4节，有A＝24种．根据分步乘法计数原理知，共有8×24＝192种不同的排法． 8．设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为a，b，c，若b>a，b>c，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”．求由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”有多少个． 解：①若“峰型三位数”由三个不同的数字组成：当“峰型三位数”含有数字0时，0必为个位，再从余下5个数字中任取两个，大的数字放十位，有C种方法；当“峰型三位数”没有数字0时，从除0外的5个数字中任取3个，最大的数字放十位，有CA种方法，此时“峰型三位数”的个数为C＋CA＝30. ②若“峰型三位数”由两个不同的数字组成，则一定不包含0，有C＝10种方法，此时“峰型三位数”的个数为10. 综上，“峰型三位数”有30＋10＝40个． 一、单项选择题 1．从2，3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c且a<b<c，则不同的数组有(　　) A．35组 B．42组 C．105组 D．210组 答案：A 解析：不同的数组有C＝35组． 2．将四名新来的学生分到高三两个班，每班至少一人，则不同的分配方法数为(　　) A．12 B．16 C．14 D．18 答案：C 解析：每个班至少分到一名学生有两种情况：四名学生中有两名学生分在一个班的方法数是C＝6；有三名学生分在一个班的方法数是CA＝8.故不同的分配方法数为6＋8＝14.故选C. 3．凸十边形的对角线的条数为(　　) A．10 B．35 C．45 D．90 答案：B 解析：C－10＝35条．故选B. 4．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法种数是(　　) A．16 B．21 C．24 D．90 答案：B 解析：第一类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C＝6种选取方法；第二类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C＝15种选取方法．由分类加法计数原理得，共有6＋15＝21种选取方法． 5．男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．72 C．144 D．288 答案：B 解析：若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间，不同的排法种数为CACA＝36；同理可得，若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数也为36.根据分类加法计数原理，不同的排法种数为36＋36＝72.故选B. 二、多项选择题 6．银川动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有3种兰花，3种三角梅共6种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，6种精品花卉将全部去A，B展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，则下列说法正确的是(　　) A．若A展馆需要3种花卉，有20种安排方法 B．若“绿水晶”去A展馆，有1＋C＋C种安排方法 C．若“绿水晶”不去A展馆，有31种安排方法 D．若其中2种三角梅不能去同一个展馆，有40种安排方法 答案：AC 解析：对于A，从6种花卉选择3种，故A展馆需要3种花卉，有C＝20种安排方法，故A正确；对于B，若“绿水晶”去A展馆，若A展馆只有1种花卉，则有1种方法，若A展馆有2种花卉，则有C种方法，若A展馆有3种花卉，则有C种方法，若A展馆有4种花卉，则有C种方法，若A展馆有5种花卉，则有C种方法，故共有1＋C＋C＋C＋C＝31种安排方法，故B错误；对于C，若“绿水晶”不去A展馆，若A展馆只有1种花卉，则有C种方法，若A展馆有2种花卉，则有C种方法，若A展馆有3种花卉，则有C种方法，若A展馆有4种花卉，则有C种方法，若A展馆有5种花卉，则有C种方法，故共有C＋C＋C＋C＋C＝31种安排方法，C正确；对于D，解法一：以A展馆为例，若A展馆只有1种花卉，则2种三角梅选择1种，有C种方法，若A展馆有2种花卉，则2种三角梅选择1种，再从剩余的4种花卉中选择1种，有CC种方法，若A展馆有3种花卉，则2种三角梅选择1种，再从剩余的4种花卉中选择2种，有CC种方法，若A展馆有4种花卉，则2种三角梅选择1种，再从剩余的4种花卉中选择3种，有CC种方法，若A展馆有5种花卉，则2种三角梅选择1种，剩余的4种花卉均给A展馆，有CC种方法．综上，共有C＋CC＋CC＋CC＋CC＝32种方法．解法二：先安排其中2种三角梅，有A种方法，再安排其余4种花卉，有24种方法，由分步乘法计数原理得，共有A·24＝32种安排方法，故D错误．故选AC. 7．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进行社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　) A．若1班不再分配名额，则共有C种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有C种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 答案：BD 解析：对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有C种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有C种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，1班有2个劳动模范，先满足每个班级2个名额，还剩10个名额，分配到6个班级，每个班级至少一个，根据隔板法，有C＝126种分配方法，故C错误，D正确． 三、填空题 8．某流浪动物救助团体新捕捉流浪猫6只，现有5个不同的空置猫笼，6只流浪猫分别为狸花猫1只、三花猫4只(可和谐相处)、橘猫1只．该救助团体计划将1只狸花猫放在一个猫笼里，4只三花猫每2只放在一个猫笼里，橘猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排方法有________种． 答案：360 解析：4只三花猫每2只放在一个猫笼里，则分组方法有＝3种，一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼里，有A种方法，则不同的安排方法有A×3＝360种． 9．5名乒乓球队员中有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种． 答案：48 解析：两老一新时，有CCA＝12种排法；两新一老时，有CCA＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法． 10．将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，则不同的填数方法共有________种；若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有________种．(用数字作答) 第1行 第2行 答案：1680　912 解析：首先任选4个格子填1，有C种方法，再将余下的4个数填入其他4个格子，有A种方法，所以不同的填数方法共有CA＝1680种．要使填入的每行数之和为偶数，第1，2行填1的个数有(0，4)，(2，2)，(4，0)三种情况，其中括号中的第1个数表示第1行填1的个数，第2个数表示第2行填1的个数，若(0，4)，即第1行0个1，第2行4个1，此时有A＝24种方法；若(2，2)，即第1行、第2行各2个1，此时有CACA＝864种方法；若(4，0)，即第1行4个1，第2行0个1，此时有A＝24种方法，所以不同的填数方法共有24＋864＋24＝912种． 四、解答题 11．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 解：(1)从余下的34名学生中选取2名， 有C＝561种方法． ∴不同的选法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名， 有C＝5984种方法． ∴不同的选法有5984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2100种方法． ∴不同的选法有2100种． (4)选取2名女生有CC种方法，选取3名女生有C种方法，选取方法共有CC＋C＝2100＋455＝2555种． ∴不同的选法有2555种． (5)选取3名的总数为C，因此选取方法共有C－C＝6545－455＝6090种． ∴不同的选法有6090种． 12．现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子． (1)当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法．(本题均用数字作答) 解：(1)当每个盒子的球数大于等于0时，根据分步乘法计数原理，得共有36＝729种不同放法． (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有CC＝60种不同放法． (3)当每个盒子的球数不小于1时，共有三类：第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有A＝90种放法；第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有CCA＝360种放法；第三类，每盒2个球，有A＝90种放法，所以共有90＋360＋90＝540种不同放法． 13．[多选]现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是(　　) A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D．若0必选，则可以组成832个五位数 答案：BCD 解析：对于A，5，4，3，2，1，0，最高位不能是零，其余数字全排列，则AA＝5×120＝600，故A错误．对于B，AC＝24×10＝240，故B正确．对于C，AC－AC＝120×20－24×10＝2160，故C正确．对于D，分四种情况：若不选2，则有AA＝4×24＝96个；若选1个2，则有CAA＝4×4×24＝384个；若选2个2，则有CAA＝6×4×12＝288个；若选3个2，则有CAA＝4×4×4＝64个，一共有96＋384＋288＋64＝832个，故D正确．故选BCD. 14．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸”“京剧”“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的方法种数； (3)计划安排A，B，C，D，E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的方法种数． 解：(1)依题意得，共有A－2A＋A＝504种排法． (2)第一步，先将甲和乙的不同课程选好，有A种选课方法； 第二步，将甲和乙的相同课程选好，有C种选课方法； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的选课方法有C种． 因此所有选课的方法种数为ACC＝360. (3)当A只任教1门时，先排A任教课程，有C种情况， 再从剩下5门中排B的任教课程，有C种情况， 接下来剩余4门中必有2门由同一名老师任教，分三组全排列，有CA种情况， 所以当A只任教1门时，共有CCCA＝5×5×6×6＝900种安排方法； 当A任教2门时，先排A任教的2门，有C种情况， 接下来剩余4门由其余4名教师任教，有A种情况， 所以当A任教2门时，共有CA＝240种安排方法． 综上所述，所有课程安排的方法种数为900＋240＝1140. 6 学科网（北京）股份有限公司 $