第四章 阶段测试2 等比数列-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 阶段测试2　等比数列 一、单项选择题 1．已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项和为21，偶数项和为10，则这个等比数列的项数为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 答案：A 解析：根据题意，数列{an}为等比数列，设an＝a1qn－1＝qn－1，又数列{an}的奇数项和为21，偶数项和为10，则q＝＝2，故Sn＝＝21＋10，即2n－1＝31，解得n＝5.故选A. 2．已知数列{an}是首项为2的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列{an}的前5项和为(　　) A．243或－244 B．242或－244 C．242 D．241 答案：C 解析：设数列{an}的公比为q，则由28S3＝S6，得q≠1，且＝，即1＋q3＝28，解得q＝3，所以数列{an}的前5项和为＝242.故选C. 3．若数列{an}为等比数列，且首项a1＝1，公比q＝，则＋＋＋…＋的值为(　　) A.(210－1) B.(210－1) C.(410－1) D.(410－1) 答案：D 解析：因为数列{an}为等比数列，且首项a1＝1，公比q＝，则a2＝a1q＝，＝2，而＝＝＝4，因此数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以＋＋＋…＋＝＝(410－1)．故选D. 4．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．若要使莞的长度是蒲的长度的2倍，则需要的时间为(　　) A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 答案：A 解析：因为蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为a1＝4，公比为q1＝的等比数列，其前n项和为Sn＝＝8－，又莞第一天长高一尺，以后每天长高前一天的两倍，所以莞生长构成首项为b1＝1，公比为q2＝2的等比数列，其前n项和为Tn＝＝2n－1，又Tn＝2Sn，所以2n－1＝2×，解得n＝4.故选A. 5．在等比数列{an}中，0<a1<a8＝1，则能使不等式＋＋…＋≤0成立的正整数n的最大值为(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 答案：C 解析：设等比数列{an}的公比为q.因为0<a1<a8＝1，所以q7＝>1，则q>1，所以当n>8时，an－>0；当n<8时，an－<0.又a＝a1a15＝a2a14＝…＝a7a9＝1，所以a1＝，a2＝，…，a7＝，则＋＋…＋＝0，又当n>8时，an－>0，所以能使不等式＋＋…＋≤0成立的正整数n的最大值为15.故选C. 二、多项选择题 6．已知正项等比数列{an}中，a1＝2，a5－2a3＝a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2047 D．an＋an＋1<an＋2 答案：ABD 解析：因为a5－2a3＝a4，所以a1q4－2a1q2＝a1q3，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，所以q＝2，故A正确；数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n，故B正确；S10＝＝211－2＝2046，故C不正确；由an＝2n，得an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n，an＋2＝2n＋2＝4×2n，所以an＋an＋1<an＋2，故D正确．故选ABD. 7．下列关于数列{an}与其前n项和Sn的说法正确的是(　　) A．若{an}是等比数列，则S2n－Sn是Sn和S3n－S2n的等比中项 B．若Sn＋1＝2Sn，a1＝2，则an＝2n－1 C．若{an}是等比数列，S2＝1，S4＝4，则S8＝40 D．若a1a2a3…an＝，则数列{an}是递增数列 答案：CD 解析：对于A，当q＝－1，n为偶数时，Sn＝0，A错误；对于B，Sn＋1＝2Sn，S1＝a1＝2，则数列{Sn}是等比数列，Sn＝2×2n－1＝2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，而a1＝2不满足上式，B错误；对于C，{an}是等比数列，S4－S2＝3≠0，则S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…成等比数列，其首项为1，公比为3，则S8＝S2＋(S4－S2)＋(S6－S4)＋(S8－S6)＝1＋3＋9＋27＝40，C正确；对于D，a1a2a3…an＝，当n≥2时，a1a2a3…an－1＝，则an＝＝＝，a1＝满足上式，因此an＝＝1－(n∈N*)，则数列{an}是递增数列，D正确．故选CD. 三、填空题 8．已知{an}为等比数列，a1＝9，a4a6＝6a5－9，则a3＝________． 答案：3 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a4a6＝6a5－9，所以a－6a5＋9＝(a5－3)2＝0，所以a5＝3，因为a1＝9，所以q4＝＝，所以q2＝，a3＝a1q2＝3. 9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a8＝9a，且S8－S4＝λS6，则λ＝________． 答案： 解析：设等比数列{an}的公比为q.因为a2a8＝9a，所以a＝9a，则q2＝3.因为S8－S4＝λS6，所以－＝，则q4－q8＝λ(1－q6)，所以9－81＝λ(1－27)，故λ＝. 10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＋a6＋a8＝170，S8＝255，设bn＝3＋log2an，那么数列{bn}的前21项和为________． 答案：273 解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意，得a1＋a3＋a5＋a7＝S8－(a2＋a4＋a6＋a8)＝255－170＝85，所以q＝＝＝2，得a1＝＝1，则an＝a1qn－1＝2n－1，所以bn＝3＋log2an＝3＋log22n－1＝n＋2，则数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列，故S21＝21×3＋×1＝273. 四、解答题 11．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S4＝5S2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求使得8Sn－15an>0成立的最小正整数n. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q>0， 因为S4＝5S2， 所以q≠1， 所以＝5×， 整理，得1＋q2＝5， 又q>0， 所以q＝2， 所以an＝2×2n－2＝2n－1. (2)由(1)可得Sn＝2n－1， 所以8Sn－15an＝8(2n－1)－15×2n－1＝2n－1－8， 由2n－1－8>0，得n>4， 所以使得8Sn－15an>0成立的最小正整数n＝5. 12．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an－4n，求数列的前n项和Tn. 解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2，故a1＝2， 因为Sn＝2an－2， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2， 两式相减，得Sn－Sn－1＝an＝2an－2an－1， 即an＝2an－1， 故数列{an}为等比数列，公比q＝2， 所以an＝2×2n－1＝2n. (2)因为bn＝an－4n＝2n－4n， 所以＝＝1－， 故Tn＝n－， 令Hn＝＋＋＋…＋，① Hn＝＋＋＋…＋，② ①－②，得Hn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝4－， 即Hn＝8－， 故Tn＝n－＝＋n－8. 13．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0，6Sn＝a＋3an，bn＝，若k>Tn恒成立，则k的最小值为(　　) A. B. C．49 D. 答案：B 解析：当n＝1时，6a1＝a＋3a1，解得a1＝3.当n≥1时，由6Sn＝a＋3an，得6Sn－1＝a＋3an－1，两式相减并化简，得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，由于an>0，所以an－an－1－3＝0，an－an－1＝3，故an是首项为3，公差为3的等差数列，所以an＝3n，则bn＝ ＝，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝－<，所以k≥，故k的最小值为.故选B. 14．已知点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，求使得Tn>成立的最小正整数n. 解：(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝， 由题意知，a1＝f(1)－c＝－c， a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－， a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－. ∵数列{an}为等比数列， ∴a1＝＝＝－＝－c， ∴c＝1. 又公比q＝＝， ∴an＝－×＝－2×，n∈N*. ∵Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝＋(n≥2)， 又bn>0，>0， ∴－＝1. ∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2， 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又b1＝1适合上式， ∴bn＝2n－1(n∈N*)． (2)Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝. 由Tn＝>，得n>， 则使得Tn>成立的最小正整数n为38. 6 学科网（北京）股份有限公司 $