4.4 数学归纳法-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 知识点一　利用数学归纳法证明恒等式 1．用数学归纳法证明：1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 答案：C 解析：当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C. 2．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝2－(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，左边＝， 右边＝2－＝，显然成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即＋＋＋…＋＝2－， 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝2－＋＝2－ ＝2－， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 综上可得，＋＋＋…＋＝2－(n∈N*)． 知识点二　利用数学归纳法证明不等式 3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立，那么下列命题正确的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 答案：D 解析：若f(3)≥9成立，由题意知，当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，但不能保证k＝1，2的情况，故A错误；若f(5)≥25成立，则当k≥5时，均有f(k)≥k2成立，但不能保证k＝4的情况，故B错误；由题意知，若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立，故C错误；f(4)＝25≥16，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，故D正确．故选D. 4．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 证明：①当n＝2时，左边＝＝， 右边＝1－＝. 因为<，所以不等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意n≥2，n∈N*，不等式成立． 知识点三　利用数学归纳法证明整除问题 5．用数学归纳法证明：11n＋1＋122n－1能被133整除(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，11n＋1＋122n－1＝112＋12＝133，能被133整除， 所以当n＝1时，结论成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，11k＋1＋122k－1能被133整除， 那么当n＝k＋1时， 11k＋2＋122k＋1＝11k＋1×11＋122k－1×122＝11k＋1×11＋122k－1×11－122k－1×11＋122k－1×122＝11×(11k＋1＋122k－1)＋133×122k－1. 由假设可知11×(11k＋1＋122k－1)＋133×122k－1能被133整除， 即11k＋2＋122k＋1能被133整除， 所以当n＝k＋1时，结论也成立． 综上，11n＋1＋122n－1能被133整除(n∈N*)． 知识点四　利用数学归纳法证明几何命题 6．用数学归纳法证明：凸n边形的内角和f(n)＝(n－2)·180°(n≥3，n∈N*)． 证明：当n＝3时，三角形的内角和为180°， 即f(3)＝180°＝(3－2)×180°，结论成立； 假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，结论成立， 即f(k)＝(k－2)·180°， 假设凸k＋1(k≥3，k∈N*)边形A1A2…AkAk＋1，如图所示， 则凸k＋1(k≥3，k∈N*)边形A1A2…AkAk＋1可以由以A1Ak为边的△A1AkAk＋1与凸k边形A1A2…Ak拼接而成， 所以f(k＋1)＝f(k)＋180°＝(k－2)·180°＋180°＝(k－1)·180°， 这说明当n＝k＋1时，结论也成立， 故凸n边形的内角和f(n)＝(n－2)·180°(n≥3，n∈N*)． 知识点五　归纳—猜想—证明 7．已知数列{an}中，a1＝2，an＝(n≥2)． (1)求a2，a3，a4的值； (2)猜测an的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)∵数列{an}中，a1＝2，an＝(n≥2)， ∴a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝. (2)由(1)猜想an＝， 用数学归纳法进行证明： ①当n＝1时，a1＝＝2，猜想成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立， 即ak＝， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝＝＝，猜想也成立． 综上所述，an＝. 8．给出下列不等式： 1>， 1＋＋>1， 1＋＋＋＋＋＋>， 1＋＋＋…＋>2. (1)根据给出的不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)根据给出的不等式的规律， 归纳猜想出不等式的一般结论为1＋＋＋＋…＋>(n∈N*)． (2)证明：①当n＝1时，1>，显然成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即1＋＋＋＋…＋>， 则当n＝k＋1时， 1＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋>＋>＋2k·＝＋>＋＝， 即当n＝k＋1时，结论也成立． 由①②知，对任意n∈N*，结论成立． 一、单项选择题 1．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，a，b的值可以为(　　) A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3 答案：D 解析：分别令n＝1，2得到关于a，b的方程组 即解得或 2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)时，由n＝k(k∈N*)的假设证明n＝k＋1(k∈N*)时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(　　) A.k(k＋1)(2k＋1) B.k(k＋1)(2k＋3) C.(k＋1)(k＋2)(2k＋3) D.k(k＋1)(2k＋1)(2k＋3) 答案：C 解析：由数学归纳法证明n＝k＋1(k∈N*)时，结论成立，即需证明12＋22＋…＋(k＋1)2＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]成立，即必须证得右边为(k＋1)(k＋2)(2k＋3)．故选C. 3．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≤n(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1不等式左边增添的项数是(　　) A．k B．2k－1 C．2k D．2k＋1 答案：C 解析：当n＝k时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k－1项；当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k＋1－1项，所以增添的项数为2k＋1－2k＝2k. 4．用数学归纳法证明“对任意正偶数n，an－bn能被a－b整除”时，其第二步论证应该是(　　) A．假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝k＋1时命题也成立 B．假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2k＋1时命题也成立 C．假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2k＋1时命题也成立 D．假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2(k＋1)时命题也成立 答案：D 解析：因为n为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2(k＋1)时命题也成立． 5．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n＋1)与f(n)之间的关系为(　　) A．f(n＋1)＝f(n)＋n B．f(n＋1)＝f(n)＋2n C．f(n＋1)＝f(n)＋n＋1 D．f(n＋1)＝f(n)＋n－1 答案：B 解析：依题意得，由n个圆增加到n＋1个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f(n＋1)＝f(n)＋2n.故选B. 二、多项选择题 6．已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1012时，p(k)成立，且当n＝1013时，p(k)也成立，则下列判断中正确的是(　　) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 答案：AD 解析：由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2026成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立．故选AD. 7．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n为正整数)，利用数列的递推公式猜想数列{an}的通项公式为an＝.下面是用数学归纳法证明的过程： ①当n＝1时，a1＝1满足an＝，命题成立； ②假设当n＝k(k为正整数)时，命题成立，即ak＝成立，则当n＝k＋1时，由an＋1＝，得＝＝＋1，即是以＝1为首项，1为公差的等差数列，所以＝n，即an＝，所以ak＋1＝，命题也成立． 由①②知an＝. 则下列评述正确的是(　　) A．猜想正确，推理①正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理①②都正确 D．猜想正确，推理②不正确 答案：AD 解析：由化递推公式为通项公式知命题正确，推理①正确，故A正确，B错误；推理②不正确，错在证明当n＝k＋1时，没用假设当n＝k时的结论，即ak＋1＝＝＝，故C错误，D正确．故选AD. 三、填空题 8．用数学归纳法证明Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N*)时，S1＝____________. 答案：＋＋ 解析：∵当n＝1时，n＋1＝2，3n＋1＝4， ∴S1＝＋＋. 9．用数学归纳法证明…>(n>1)时，从n＝k到n＝k＋1，左端增加的式子为________，这个增加的式子共有因式的个数是________． 答案：…　2k－1 解析：因为分母的公差为2，所以增加的式子的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列的通项公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1个因式． 10．若正项数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝________． 答案：－ 解析：∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝，∴在正项数列{an}中，当n＝1时，a1＝，解得a1＝1，当n＝2时，1＋a2＝，解得a2＝－1，∴a3＝－，a4＝2－，…，猜想an＝－.证明：当n＝1时，显然成立；假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝－，则当n＝k＋1时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1＝＋ak＋1＝，∴－ak＋1＝2，解得ak＋1＝－，故当n＝k＋1时，结论也成立．故an＝－. 四、解答题 11．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)，用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1<a2，所以当n＝1时，不等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，ak<ak＋1成立， 则当n＝k＋1时， ak＋2－ak＋1＝1＋－＝－＝>0， 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，不等式an<an＋1(n∈N*)成立． 12．已知n为正整数，且n≥5，试猜想n2与2n的大小关系，并用数学归纳法证明． 解：当n＝5时，n2＝25，2n＝32，n2<2n； 当n＝6时，n2＝36，2n＝64，n2<2n. 猜想：当n≥5时，n2<2n. 证明如下： ①当n＝5时，由上面的探求可知猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*，k≥5)时，猜想成立，即2k>k2， 则2×2k>2k2， 2k2－(k＋1)2＝k2－2k－1＝(k－1)2－2， 当k≥5时，(k－1)2－2>0，则2k2>(k＋1)2， 从而2×2k>(k＋1)2，即2k＋1>(k＋1)2成立， 所以当n＝k＋1时，猜想也成立． 综上，对任意n≥5，n∈N*，n2<2n成立． 13．设数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝则S22025－1－S22024－1＝____________． 答案：24048 解析：S22025－1－S22024－1＝a22024＋a22024＋1＋…＋a22025－1.由a1＝1＝20，a2＋a3＝a1＋a3＝1＋3＝4＝22，a4＋a5＋a6＋a7＝a1＋a5＋a3＋a7＝1＋3＋5＋7＝16＝24，猜想a2n＋a2n＋1＋…＋a2n＋1－1＝22n.下面用数学归纳法证明：若an＝则对任意自然数n，a2n＋a2n＋1＋…＋a2n+1－1＝22n成立．证明：当n＝0，1，2时，由上可知命题成立；假设当n＝k时，a2k＋a2k＋1＋…＋a2k+1－1＝22k，则当n＝k＋1时，a2k+1＋a2k+1＋1＋…＋a2k+2－1＝a2k+1＋a2k+1＋2＋…＋a2k+2－2＋2k＋1＋1＋2k＋1＋3＋…＋2k＋2－1＝a2k＋a2k＋1＋…＋a2k+1－1＋2k＋1＋1＋2k＋1＋3＋…＋2k＋2－1＝22k＋＝22k＋2k(2k＋2k＋1)＝22k＋2＝22(k＋1)，所以当n＝k＋1时，命题也成立．综上所述，对任意自然数n，a2n＋a2n＋1＋…＋a2n+1－1＝22n.故S22025－1－S22024－1＝a22024＋a22024＋1＋…＋a22025－1＝22×2024＝24048. 14．已知各项均为正整数的数列{an}，{bn}，{cn}满足cn＋1＝an，a＝b＋c，bn>cn. (1)若b2＝3b1＝4c1，求； (2)已知a1＝5. ①求c4； ②求证：an－bn可以为定值，且当an－bn为定值时，＋＋…＋<. 解：(1)由题意，设b2＝12t(t>0)， 则b1＝4t，c1＝3t， 由递推关系可得a＝b＋c＝25t2， 则c2＝a1＝5t，a＝b＋c＝169t2， 则c3＝a2＝13t，所以＝. (2)①由题意，得c2＝a1＝5， 由a＝b＋c，得(a2－b2)(a2＋b2)＝c＝25， 因为数列{an}，{bn}，{cn}各项均为正整数，且bn>cn， 经列举，只有a2－b2＝1，a2＋b2＝25满足题意， 解得a2＝13，b2＝12. 同理，c3＝a2＝13，由a＝b＋c， 得(a3－b3)(a3＋b3)＝c＝169， 可解得a3＝85，b3＝84，所以c4＝a3＝85. ②证明：an－bn可以为定值，当an－bn＝1时，满足题意． 用数学归纳法证明如下： 当n＝2时，c2＝a1＝5＝4＋1，经列举，只有a2－b2＝1，a2＋b2＝25，解得a2＝13，b2＝12均为正整数，满足题意． 假设当n＝k(k∈N*，k>2)时， 设ck＝4t＋1，t∈N*， 由a＝b＋c可得c＝(ak－bk)(ak＋bk)， 由ak－bk＝1可得ak＝bk＋1， 所以c＝(ak－bk)(ak＋bk)＝2bk＋1， 则bk＝，ak＝. 此时bk＝＝＝8t2＋4t， ak＝＝＝8t2＋4t＋1， 因为t∈N*， 所以ak，bk均为正整数，满足题意； 当n＝k＋1(k∈N*)时，ck＋1＝ak＝8t2＋4t＋1＝4(2t2＋t)＋1， 令u＝2t2＋t，则ck＋1＝4u＋1，u∈N*， 则bk＋1＝＝8u2＋4u，ak＋1＝＝8u2＋4u＋1，均为正整数，也满足题意． 综上，当an－bn＝1时，an，bn，cn均为正整数，满足题意． 所以an－bn可以为定值1. 由题意得，当n≥2时，a＝b＋c＝b＋a， 又an＝bn＋1， 所以(bn＋1)2＝b＋(bn－1＋1)2， 化简整理得2bn＝b＋2bn－1， 取倒数得＝＝， 即＝－. 累加可得＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－<， 又因为a1＝5，b1＝a1－1＝4， 所以＋＋…＋<＝. 6 学科网（北京）股份有限公司 $