4.3.2 第3课时 数列求和-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 第3课时　数列求和 知识点一　分组求和法 1．数列11，103，1005，10007，…的前n项和Sn＝________． 答案：(10n－1)＋n2 解析：数列的通项公式为an＝10n＋(2n－1)，所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2. 2．求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)(a≠0)． 解：原式＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n) ＝(a＋a2＋…＋an)－ ＝ 知识点二　并项求和法 3．已知数列12，－22，32，－42，…，(－1)n－1·n2，则其前n项和Sn＝________． 答案：(－1)n－1·(n∈N*) 解析：当n是偶数时，Sn＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－3－7－…－(2n－1)＝－；当n是奇数时，Sn＝1＋(32－22)＋(52－42)＋…＋[n2－(n－1)2]＝1＋5＋9＋…＋(2n－1)＝.综上，Sn＝(－1)n－1·(n∈N*)． 4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝2n－3，求数列{an}的前n项和Sn. 解：当n为偶数时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(2×1－3)＋(2×3－3)＋…＋[2(n－1)－3]＝2×[1＋3＋…＋(n－1)]－3×＝； 当n为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝2＋(2×2－3)＋(2×4－3)＋…＋[2(n－1)－3]＝2＋2×[2＋4＋…＋(n－1)]－3×＝. 故数列{an}的前n项和为 Sn＝ 知识点三　倒序相加法 5．已知函数f(x)＝，数列{an}为等比数列，an>0，a183＝1，则f(ln a1)＋f(ln a2)＋f(ln a3)＋…＋f(ln a365)＝________． 答案： 解析：∵f(x)＝，∴f(x)＋f(－x)＝＋＝1.∵数列{an}是等比数列，∴a1a365＝a2a364＝…＝a＝1，∴ln a1＋ln a365＝ln a2＋ln a364＝…＝ln a365＋ln a1＝ln a＝0.设S365＝f(ln a1)＋f(ln a2)＋…＋f(ln a365)　①，则S365＝f(ln a365)＋f(ln a364)＋…＋f(ln a1)　②，①＋②，得2S365＝[f(ln a1)＋f(ln a365)]＋[f(ln a2)＋f(ln a364)]＋…＋[f(ln a365)＋f(ln a1)]＝365，∴S365＝. 6．已知函数f(x)＝x＋3sin＋，数列{an}的通项公式为an＝f，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Tn，则T2025＝________． 答案：2025 解析：∵f(a)＋f(1－a)＝a＋3sin(a－)＋＋1－a＋3sin＋＝2＋3sin＋3sin＝2，T2025＝f＋f＋…＋f　①，则T2025＝f＋f＋…＋f　②，①＋②，得2T2025＝2025×＝4050，∴T2025＝2025. 知识点四　裂项相消法 7．已知各项均为正数的等差数列{an}的公差为4，其前n项和为Sn，且2a2为S2，S3的等比中项． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意，知{an}为各项均为正数的等差数列，公差为4， 故a2＝a1＋4，S2＝2(a1＋2)，S3＝3a1＋×4＝3(a1＋4)， 又2a2为S2，S3的等比中项， 所以4a＝S2S3， 即4(a1＋4)2＝6(a1＋2)(a1＋4)， 即(a1＋4)(a1－2)＝0， 解得a1＝2或a1＝－4(舍去)， 故an＝2＋4(n－1)＝4n－2. (2)由(1)得bn＝＝＝， 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝. 知识点五　错位相减法 8．已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋3log4an＋2＝0，数列{cn}满足cn＝an·bn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)由题意，得an＝， 又bn＝－3log4an－2，故bn＝3n－2. (2)由(1)知an＝，bn＝3n－2， 所以cn＝(3n－2)×. 所以Sn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×，① 于是Sn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×.② ①－②，得Sn＝＋3×－(3n－2)×＝－(3n＋2)×. 所以Sn＝－×. 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，且an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2025＝(　　) A.－1 B.－1 C.－1 D.－1 答案：D 解析：由f(4)＝2，可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x＝，∴an＝＝＝－，∴S2025＝a1＋a2＋a3＋…＋a2025＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.故选D. 2．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项和S100＝(　　) A．200 B．－200 C．400 D．－400 答案：B 解析：S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a1＋a2＋…＋a100＝(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 答案：C 解析：因为an＝，所以an＋a101－n＝＋＝＋＝＝2，所以a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝2，所以a1＋a2＋…＋a100＝50×2＝100.故选C. 4．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　) A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 答案：D 解析：由于数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，故有a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，从而可得a3＋a1＝2，a4＋a2＝8，a7＋a5＝2，a8＋a6＝24，a11＋a9＝2，a12＋a10＝40，a15＋a13＝2，a16＋a14＝56，…，从第1项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第2项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列．{an}的前60项和为15×2＋＝1830.故选D. 5．设数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S120＝(　　) A．－60 B．－120 C．180 D．240 答案：D 解析：由an＝(－1)n(2n－1)cos＋1，得a1＝－cos＋1＝1，a2＝3cosπ＋1＝－2，a3＝－5cos＋1＝1，a4＝7cos2π＋1＝8，a5＝－9cos＋1＝1，a6＝11cos3π＋1＝－10，a7＝－13cos＋1＝1，a8＝15cos4π＋1＝16，…，由以上可知，数列{an}的奇数项为1，从a2开始，依次取2个相邻偶数项的和为6，故S120＝(a1＋a3＋…＋a119)＋(a2＋a4＋…＋a118＋a120)＝60＋30×6＝240.故选D. 二、多项选择题 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2，则(　　) A．a1＝4 B．an＝2n＋1 C．数列{(－1)n＋an}的前2n项和为(2n＋1)2 D.＋＋＋…＋＝ 答案：AC 解析：当n＝1时，a1＝S1＝22＝4，故A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以an＝故B错误；数列{(－1)n＋an}的前2n项和为(－1＋a1)＋(1＋a2)＋…＋(1＋a2n)＝(－1＋1－1＋1＋…－1＋1)＋(a1＋a2＋…＋a2n)＝S2n＝(2n＋1)2，故C正确；＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＝，故D错误．故选AC. 7.如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．S6＝56 B．an－an－1＝n－1(n≥2) C.＋＋＋…＋<2 D．数列的前100项和为－ 答案：ACD 解析：对于A，a4＝10，a5＝15，a6＝21，S6＝a1＋a2＋…＋a6＝56，A正确；对于B，由每层球数的变化规律可知an－an－1＝n(n≥2)，B错误；对于C，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋…＋2＋1＝，当n＝1时，a1＝1满足an＝，∴an＝(n∈N*)．∵＝＝2，∴＋＋＋…＋＝2×＝2×<2，C正确；对于D，＝2×(－1)n，则其前100项和为 2×＝2×＝－，D正确．故选ACD. 三、填空题 8．设数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋abn＝________． 答案：2n＋1－n－2 解析：易知an＝2n－1，bn＝2n－1，∴abn＝2×2n－1－1＝2n－1，∴ab1＋ab2＋…＋abn＝21＋22＋…＋2n－n＝2n＋1－n－2. 9．已知数列{an}是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2＋a3＝12.若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________． 答案：－ 解析：设数列{an}的公比为q，由a2＋a3＝12，a1＝1，得q＋q2＝12，解得q＝3或q＝－4.因为数列{an}的各项都为正数，所以q>0，所以q＝3，所以an＝3n－1.因为bn＝＝＝，所以Sn＝＝＝－. 10．已知等差数列{an}中，a5＝，若函数f(x)＝sin2x＋1，记yn＝f(an)，则y5＝________，数列{yn}的前9项和为________． 答案：1　9 解析：因为yn＝sin2an＋1，所以y5＝sin2a5＋1＝sinπ＋1＝1.数列{yn}的前9项和为sin2a1＋sin2a2＋sin2a3＋…＋sin2a8＋sin2a9＋9，在等差数列{an}中，由a5＝，得sin2a5＝0，a1＋a9＝2a5＝π，所以2a1＋2a9＝4a5＝2π，则2a1＝2π－2a9，所以sin2a1＝sin(2π－2a9)＝－sin2a9，同理可得sin2a2＝－sin2a8，sin2a3＝－sin2a7，sin2a4＝－sin2a6.由倒序相加可得(sin2a1＋sin2a2＋sin2a3＋…＋sin2a8＋sin2a9＋sin2a1＋sin2a2＋sin2a3＋…＋sin2a8＋sin2a9)＝0，所以y1＋y2＋y3＋…＋y8＋y9＝9. 四、解答题 11．已知公差不为0的等差数列{an}的前4项和为20，且a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝n×2an，求数列{bn}的前n项和Sn，并判断是否存在n(n∈N*)，使得Sn＝1440成立．若存在，求出所有n的解；若不存在，请说明理由． 解：(1)设{an}的公差为d(d≠0)，依题意得 即 解得 ∴an＝2n. (2)∵bn＝n×22n＝n×4n， ∴Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n， 4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1， 两式相减，得 －3Sn＝4＋42＋43＋…＋4n－n×4n＋1 ＝－n×4n＋1 ＝4n＋1－， ∴Sn＝4n＋1＋. 令4n＋1＋＝1440， 化简得(3n－1)4n＝3239. ∵左边为偶数，右边为奇数， ∴不存在n∈N*，使得Sn＝1440成立． 12．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋. (1)证明：{an}是递减数列； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝＋， 得a＝1. 因为an>0，所以a1＝1. 当n≥2时，Sn＝＋， 则2anSn＝a＋1， 所以2Sn(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)2＋1， 即S－S＝1. 因为S＝a＝1，所以数列{S}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以S＝1＋n－1＝n， 因为{an}为正项数列，所以Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，a1＝1也适合该式，所以an＝－. 因为＝＝<1， 且an>0， 所以{an}是递减数列． (2)由已知得(－1)n＝(－1)n＝(－1)n(＋)， 当n为偶数时，Tn＝－(＋)＋(＋)－(＋)＋…＋(＋)＝； 当n为奇数时，Tn＝－(＋)＋(＋)－(＋)＋…－(＋)＝－. 所以Tn＝ 13．已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an.数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且数列{abn}是等比数列，则bn＝________；设数列{nbn}的前n项和为Tn，则满足不等式Tn≥99×2n＋2＋2成立的整数n的最小值为________． 答案：2n　199 解析：由nan＋1＝(n＋1)an，得＝，即＝＝…＝＝2，故an＝2n.因为ab1＝a2＝4，ab2＝a4＝8，所以{abn}的公比为2，所以abn＝4×2n－1＝2n＋1.因为an＝2n，所以abn＝2bn，所以2n＋1＝2bn，故bn＝2n.依题意，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，两式相减，得－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，则Tn＝(n－1)·2n＋1＋2，而不等式Tn≥99×2n＋2＋2，即(n－1)·2n＋1＋2≥198×2n＋1＋2，因为2n＋1>0，所以n－1≥198，解得n≥199，故整数n的最小值为199. 14．数列{an}满足a2＝3，an＋1＝2an＋1. (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)证明：由数列{an}满足a2＝3，an＋1＝2an＋1， 可得＝＝＝2， 令n＝1，可得a2＝2a1＋1， 即2a1＋1＝3， 解得a1＝1，则a1＋1＝2， 所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得an＋1＝2×2n－1＝2n， 所以an＝2n－1， 则an＋1＝2n＋1－1， 可得bn＝＝·＝－， 则Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 4 学科网（北京）股份有限公司 $