4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 知识点一　等比数列的定义 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…成等比数列 答案：AC 解析：A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；当q＝1时，数列为0，0，0，0，…，故不是等比数列，D错误．故选AC. 2．[多选]下列数列为等比数列的是(　　) A．b，b，b，b，…(b为常数，b≠0) B．22，42，62，82，… C．1，－，，－，… D.，，，，… 答案：ACD 解析：A中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B中，≠，所以该数列不是等比数列；C中的数列是首项为1，公比为－的等比数列；D中的数列是首项为，公比为的等比数列．故选ACD. 知识点二　等比数列的通项公式 3．若一个数列为a－6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a2028是这个数列的(　　) A．a2028不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第340项 答案：D 解析：记a－6，1，a6，a12，a18，…为数列{bn}，则它是首项为a－6，公比为a6的等比数列，于是bn＝a－6·(a6)n－1＝a6n－12，由6n－12＝2028，得n＝340，所以a2028是这个数列的第340项．故选D. 4．[多选]下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是(　　) A．an＝(－1)n·32n－1 B．an＝ C．an＝2－n D．an＝log2n 答案：AC 解析：对于A，an＝(－1)n·32n－1，＝＝－9，是常数；对于B，an＝，＝，不是常数；对于C，an＝2－n，＝＝，是常数；对于D，an＝log2n，＝，不是常数．故选AC. 知识点三　等比数列的判定与证明 5．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*，求证数列是等比数列，并求出{an}的通项公式． 解：由题意知an>0，＝＝＋， －1＝，－1＝， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以－1＝×＝，所以an＝. 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)设bn＝an＋3，证明数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式． 解：(1)数列{an}的前n项和为Sn， 且Sn＝2an－3n(n∈N*)， 当n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1， 解得a1＝3， 当n＝2时，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9， 当n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21. (2)因为Sn＝2an－3n， 所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 两式相减，得an＋1＝2an＋3， 又bn＝an＋3， 所以bn＋1＝an＋1＋3， 所以＝＝＝2， 得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6， 所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以bn＝6×2n－1， 所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)． 知识点四　等比中项及应用 7．若1，x，y，z，16成等比数列，则y的值为(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．2 答案：A 解析：由解得y＝4.故选A. 8．已知一等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－13是该数列的第________项． 答案：4 解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4.又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾；当x＝－4时，2x＋2＝－6，3x＋3＝－9，＝＝，故该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项公式为an＝－4×n－1，由－4×n－1＝－13，得n＝4. 一、单项选择题 1．在等比数列{an}中，a1＝，公比q＝2，则a4与a6的等比中项是(　　) A．2 B．±4 C．4 D．－4 答案：B 解析：因为在等比数列{an}中，a1＝，公比q＝2，所以a4＝a1q3＝×23＝2，a6＝a1q5＝×25＝8，所以a4与a6的等比中项为±＝±4.故选B. 2．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q.由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝aq＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4. 3．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．16 答案：B 解析：∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an.∵a1＝1≠0，∴an≠0.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8. 4．若数列{an}的通项公式为an＝，则(　　) A．数列{an＋an＋1}是首项为，公比为的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是首项为－，公比为－的等比数列 C．数列{an＋an＋1}是首项为－，公比为的等比数列 D．数列{an＋an＋1}是首项为－，公比为－的等比数列 答案：B 解析：因为an＋an＋1＝＋＝＝－，＝＝－，a1＋a2＝－＝－，所以{an＋an＋1}是首项为－，公比为－的等比数列．故选B. 5．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，则其公比为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)(100＋x)，解得x＝25.故这三个数依次为45，75，125，公比q＝＝. 二、多项选择题 6．已知正项等比数列{an}的公比为q，若a3＋a4＝4(a1＋a2)，且a3＝，则(　　) A．q＝3 B．a5＝ C.是数列{an}中的项 D．a1＝3 答案：BC 解析：由a3＋a4＝4(a1＋a2)，可得q2＝4，所以q＝2，A错误；a5＝a3×4＝，B正确；an＝a3qn－3＝×2n－3＝，＝，所以是数列{an}中的项，故C正确；由q＝2，可得a1＝，D错误．故选BC. 7．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝8，且T4＝T3，则下列结论正确的是(　　) A．a4＝1 B．{an}的公比为 C．T3＝32 D．Tn＝2 答案：ABD 解析：因为T4＝T3，所以a4＝1，A正确；设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝a1q3，a1＝8，所以q＝，B正确；Tn＝a1a2…an＝23×22×21×…×24－n＝2，D正确；由D项知，T3＝26＝64，C错误．故选ABD. 三、填空题 8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案： 解析：设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，所以q2＝.记较小的锐角为θ，则sinθ＝＝. 9．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，等比数列的公比q＝________，此时数列{an}的通项公式为an＝________． 答案：2　2n－1 解析：由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝.a3＝a1q2＝＝(q＞0)，而－＋＝－＋　①，当q＝2时，①式有最大值，所以当q＝2时，a3有最小值4.此时a1＝＝＝1，数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 10．已知一个等比数列的前4项积为，第2项与第3项的和为，则这个等比数列的公比为________． 答案：3±2或－5±2 解析：设这四个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由题意，得所以所以＝±，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2或q＝－5±2. 四、解答题 11．已知数列{an}是由正数组成的等比数列，且a3a4＝288，a6＋a7＝6a5，求数列{an}的通项公式． 解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由a6＋a7＝6a5，得a1q5＋a1q6＝6a1q4， 即q2＋q－6＝0， 解得q＝2或q＝－3(舍去)． 由a3a4＝288，得a1q2·a1q3＝288， 解得a1＝3， 所以an＝3×2n－1. 12．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求an. 解：(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4， a3＝3a2－2×3＋3＝－15. 下面证明{an－n}是等比数列： 由an＝3an－1－2n＋3可得 an＋1＝3an－2(n＋1)＋3， an＋1－(n＋1)＝3an－2(n＋1)＋3－(n＋1)＝3(an－n)， 又a1－1＝－2≠0， 所以数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2×3n－1， 所以an＝n－2×3n－1. 13．已知正项数列{an}中，a1＝3，an＋1－1＝(an－1)2，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n＋1 B．an＝22n－1 C．an＝22n－1＋1 D．an＝22n－1 答案：C 解析：因为正项数列{an}中，a1＝3，an＋1－1＝(an－1)2，显然an≠1，所以an＋1－1＝(an－1)2>0，所以对an＋1－1＝(an－1)2两边同时取对数，可得lg (an＋1－1)＝lg (an－1)2＝2lg (an－1)，所以＝2，所以{lg (an－1)}是以lg (a1－1)＝lg 2为首项，2为公比的等比数列，所以lg (an－1)＝(lg 2)·2n－1＝lg 22n－1，所以an－1＝22n－1，所以an＝22n－1＋1.故选C. 14．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)，设bn＝log3(an＋2)． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设数列cn＝，且对任意正整数n，不等式cn≤λ恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)由a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)， 可得an＋2＝3an－1＋6＝3(an－1＋2)，a1＋2＝3， 即数列{an＋2}是首项和公比均为3的等比数列， 则an＋2＝3n，即an＝3n－2， 即bn＝log3[(3n－2)＋2]＝n. (2)由(1)，知cn＝＝>0， 因为＝· ＝<1， 所以{cn}为递减数列，所以cn≤c1＝， 又对任意正整数n，不等式cn≤λ恒成立， 所以λ≥， 即实数λ的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $