4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 第2课时　等差数列的性质及应用 知识点一　等差数列的性质的运用 1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝15，a4＋a6＋a8＝33，则a9＝(　　) A．6 B．12 C．17 D．24 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a1＋a3＋a5＝15，a4＋a6＋a8＝33，可得9d＝(a4＋a6＋a8)－(a1＋a3＋a5)＝33－15＝18，解得d＝2，又由a1＋a3＋a5＝15，可得a1＋a3＋a5＝3a3＝15，解得a3＝5，所以a9＝a3＋6d＝5＋6×2＝17.故选C. 2．设{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．5 B．6 C．16 D．32 答案：B 解析：因为{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，所以a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…可以构成新的等差数列，该等差数列的首项为1，公差为1，a6＋a7＋a8为新等差数列的第6项，所以a6＋a7＋a8＝1＋5×1＝6. 3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案：C 解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8. 4．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝45，a2a5＝36，且a4＞a2，则a5＝________． 答案：12 解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝45，且a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4，∴3(a2＋a5)＝45，∴a2＋a5＝15.又a2a5＝36，∴或又a4＞a2，∴a4－a2＝2d＞0，∴d＞0，∴a5＞a2，∴a5＝12. 知识点二　等差数列的综合运用 5．已知等差数列{an}的首项为，若{an}从第11项起比1大，则其公差d的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：依题意，an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)d，由{an}从第11项起比1大，得即解得<d≤，所以公差d的取值范围是.故选C. 6．在1和17之间插入(n－2)个数，使这n个数成等差数列，若这(n－2)个数中第一个为a，第(n－2)个为b，当＋取得最小值时，n的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：D 解析：由已知得a＋b＝18，则＋＝×＝×≥×(26＋10)＝2，当且仅当b＝5a时，等号成立，此时a＝3，b＝15，可得n＝9.故选D. 7．设方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成首项为的等差数列，则|m－n|＝________． 答案： 解析：∵方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0的一次项系数相同，由根与系数的关系及等差数列的性质，令x1，x4为方程x2－2x＋m＝0的两根，x2，x3为方程x2－2x＋n＝0的两根．令x1＝，则x4＝2－＝，从而x2＝，x3＝.∴m＝x1x4＝，n＝x2x3＝，∴|m－n|＝. 8．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问题：在[1，2026]的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列{an}，则数列{an}的项数为________． 答案：102 解析：将题目问题转化为an－1既是4的倍数也是5的倍数，也就是20的倍数，所以an－1＝20(n－1)，即an＝20n－19，令1≤20n－19≤2026，所以1≤n≤102.25，又n∈N*，所以n＝1，2，3，…，102，共102项． 一、单项选择题 1．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40＝(　　) A．40 B．70 C．80 D．90 答案：D 解析：在等差数列中，间隔相等的项成等差数列，∵a10＝30，a20＝50，∴a30＝70，a40＝90.故选D. 2．已知公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(　　) A．－182 B．－78 C．－148 D．－82 答案：D 解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＝－2，a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82. 3．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面3节的容积共12升，则第5节的容积为(　　) A．3升 B．4升 C．5升 D．6升 答案：A 解析：记该等差数列为{an}，由题意可得，a1＋a2＋a3＝6，a7＋a8＋a9＝12，因此(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＝6a5＝18，解得a5＝3，则第5节的容积为3升．故选A. 4．在－3与15之间插入5个数，使这7个数成等差数列，则插入的5个数之和为(　　) A．21 B．24 C．27 D．30 答案：D 解析：设插入的5个数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则数列－3，a1，a2，a3，a4，a5，15为等差数列，因此2a3＝－3＋15＝12，解得a3＝6，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝30.故选D. 5．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2 a2·…·2a10)＝(　　) A．10 B．20 C．40 D．2＋log25 答案：B 解析：因为2 a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4＝220，所以原式＝log2220＝20. 二、多项选择题 6．已知数列{an}满足a1＝15，3an＋1＝3an－2.若akak＋1＜0，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的通项公式为an＝n＋ B．数列{an}是递增数列 C．k＝23 D．ak－2＋ak＋2＝ 答案：CD 解析：由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－，所以数列{an}为首项a1＝15，公差d＝－的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋，故A，B错误；由akak＋1＜0，得ak＞0，ak＋1＜0，令an＝－n＋＝0，得n＝，所以a23＞0，a24＜0，所以k＝23，故C正确；ak－2＋ak＋2＝2ak＝2a23＝，故D正确．故选CD. 7．设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn}，把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则(　　) A．a3＋b5＝c3 B．a46＝c10 C．a5b2<c8 D．c9－b9＝a26 答案：BC 解析：根据题意，结合余数的相关性质，数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，则an＝2＋3(n－1)＝3n－1，数列{bn}是首项为2，公差为5的等差数列，则bn＝2＋5(n－1)＝5n－3，数列{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，故数列{cn}是首项为2，公差为15的等差数列，则cn＝2＋15(n－1)＝15n－13.对于A，a3＋b5＝8＋22＝30，c3＝45－13＝32，a3＋b5≠c3，故A错误；对于B，a46＝3×46－1＝137，c10＝15×10－13＝137，a46＝c10，故B正确；对于C，a5＝3×5－1＝14，b2＝5×2－3＝7，c8＝15×8－13＝107，a5b2＝14×7＝98<c8，故C正确；对于D，c9＝15×9－13＝122，b9＝5×9－3＝42，a26＝3×26－1＝77，c9－b9＝122－42＝80≠a26，故D错误．故选BC. 三、填空题 8．若{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为________． 答案：－ 解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝2a5＝a2＋a8，代入a1＋a5＋a9＝π，得(a2＋a8)＝π，∴a2＋a8＝，从而cos(a2＋a8)＝－. 9．已知等差数列{an}的首项a1＝，满足an<1的n的最大值为9，则公差d的取值范围是________． 答案： 解析：由题意，得即又a1＝，所以≤d<. 10．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________． 答案：4 解析：∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4. 四、解答题 11．哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，求哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份． 解：哈雷彗星回到近日点的年份为an＝1606＋76(n－1)，奥伯斯彗星回到近日点的年份为bn＝1606＋70(n－1)， 则an与bn的公共项构成以1606为首项，70与76的最小公倍数为公差的等差数列， 又70与76的最小公倍数为2660， 则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份为cn＝1606＋2660(n－1)． 令n＝2，则c2＝4266. 所以哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为4266年． 12．已知无穷等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号为被4除余3的项组成数列{bk}． (1)求b1和b2； (2)求{bk}的通项公式； (3){bk}中的第110项是{an}中的第几项？ 解：(1)因为a1＝3，d＝－5， 所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n， 因为数列{an}中序号能被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…， 所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. (2)设{an}中的第m项是{bk}中的第k项， 即bk＝am，则m＝3＋4(k－1)＝4k－1(k∈N*)，所以bk＝am＝a4k－1＝8－5(4k－1)＝13－20k(k∈N*)， 所以{bk}的通项公式为bk＝13－20k(k∈N*)． (3)因为b110＝13－20×110＝－2187， 设b110是{an}中的第x项， 则－2187＝8－5x，则x＝439， 所以b110是{an}中的第439项． 13．已知公差不为0的等差数列{an}满足am＋ap＝2a4(m，p∈N*)，则＋的最小值为________． 答案：1 解析：由题意可知，m＋p＝8，则(m＋1)＋p＝9，所以＋＝＝＋＋≥＋2＝1，当且仅当＝，即m＝2，p＝6时，等号成立，所以＋的最小值为1. 14．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，若在{an}中每相邻两项间都插入3项，使其与原数列的数构成新的等差数列{bn}． (1)若插入的第一组3项之和记为c1，第二组3项之和记为c2，…，构成数列{cn}．判断数列{cn}是否为等差数列．若是，求出通项公式；若不是，说明理由； (2)在(1)的条件下，用an与cn表示bn. 解：(1)由题意可知，an＝2＋8(n－1)＝8n－6， 设an，an＋1间插入的3项为tn1，tn2，tn3， 因为an，tn1，tn2，tn3，an＋1为等差数列，所以tn2＝＝＝8n－2， 可得cn＝tn1＋tn2＋tn3＝3tn2＝24n－6， 因为cn＋1－cn＝(24n＋18)－(24n－6)＝24，且c1＝18， 所以数列{cn}是以18为首项，24为公差的等差数列， 所以cn＝24n－6. (2)由题意可知，数列{bn}是首项为a1＝2，公差为＝2的等差数列，得bn＝2＋2(n－1)＝2n， 由(1)知，an＝8n－6，cn＝24n－6， 所以bn＝(cn－an)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $