4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念与通项公式 知识点一　等差数列的定义及应用 1．下列数列是等差数列的是(　　) A.，，， B．1，，， C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0 答案：D 解析：∵－≠－，故排除A；∵－1≠－，故排除B；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C.故选D. 2．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}分别满足下列各式，其中数列{bn}必为等差数列的是(　　) A．bn＝|an| B．bn＝a C．bn＝ D．bn＝－ 答案：D 解析：设数列{an}的公差为d，选项A，B，C都不一定满足bn－bn－1为同一常数，所以这三个选项都不符合题意．对于D，因为当n≥2时，bn－bn－1＝－＋＝＝－，所以数列{bn}必为等差数列． 知识点二　等差数列的通项公式 3．在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝(　　) A．48 B．49 C．50 D．51 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＝，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，∴d＝，又an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，∴n＝50. 4．[多选]已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：ACD 解析：由题设可知an＝1＋(n－1)d，81是该数列中的一项，即81＝1＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d，n∈N*，所以d是80的因数，结合选项知A，C，D符合题意． 5．已知数列{an}满足a1＝1，＝，an>0，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝(n∈N*) 解析：因为＝，所以＝＋2，－＝2，所以数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又an>0，所以an＝(n∈N*)． 知识点三　等差中项 6．已知a＝，b＝，则a与b的等差中项为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设a与b的等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝＋＝(－)＋(＋)＝2，∴x＝.故选A. 知识点四　等差数列与函数的关系 7．设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递减数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an<0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：令{an}的公差为d且d≠0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，若{an}为递减数列，则d<0，结合一次函数的性质，不论a1为何值，均存在正整数N0，当n>N0时，an<0，充分性成立；若存在正整数N0，当n>N0时，an<0，由于d≠0，即{an}不为常数列，故an＝dn＋(a1－d)递减，即d<0，所以{an}为递减数列，必要性成立．所以“{an}为递减数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an<0”的充要条件．故选C. 8．已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由于(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5. 由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5， 解得d＝2，于是an＝2n－1. (2)数列{an}的图象是直线y＝2x－1上一些离散的点，如图所示． (3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列． 一、单项选择题 1．在等差数列{an}中，a5＝11，a11＝5，则a1＝(　　) A．－15 B．15 C．25 D．－25 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d，由即解得故选B. 2．给出下列结论： ①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)； ④数列{2n＋1}是等差数列． 其中正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③④ D．③④ 答案：C 解析：由题易知②③④中结论正确，①中数列的公差为－2.故选C. 3．等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－2(n∈N*) B．an＝2n＋4(n∈N*) C．an＝－2n＋12(n∈N*) D．an＝－2n＋10(n∈N*) 答案：D 解析：由⇒⇒所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋10(n∈N*)． 4．已知数列{an}是等差数列，且3a＋a＝4，则a1的最大值为(　　) A. B. C. D．1 答案：A 解析：设数列{an}的公差为d，由3a＋a＝4，得3a＋(a1＋d)2＝4，整理得d2＋2a1d＋4a－4＝0，把该式看作关于d的一元二次方程，则Δ＝4a－4(4a－4)≥0，解得－≤a1≤.故选A. 5．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝.若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是(　　) A．(－8，－6) B．(－7，－6) C．(－6，－5) D．(6，7) 答案：B 解析：∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，∴an＝n＋a－1，∴bn＝＝1－.又对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知≤，则必有6＋a＜0且7＋a＞0，∴－7＜a＜－6.故选B. 二、多项选择题 6．下列关于等差数列{an}单调性的结论，正确的是(　　) A．若数列{an}是递增数列，则公差d>0 B．若公差d≠0，则数列{an}一定是递增数列或者递减数列 C．若a1<a2<a3，则数列{an}是递减数列 D．若a2<a4<a6，则数列{an}是递增数列 答案：ABD 解析：对于A，若数列{an}是递增数列，则an＋1－an>0，即公差d>0，故A正确．对于B，若公差d≠0，则d>0或d<0，当d>0时，有an＋1－an>0，则数列{an}是递增数列；当d<0时，有an＋1－an<0，则数列{an}是递减数列，故B正确．对于C，若a1<a2<a3，因为数列{an}是等差数列，则a2－a1＝a3－a2＝d>0，所以数列{an}是递增数列，故C错误．对于D，若a2<a4<a6，因为数列{an}是等差数列，则a4－a2＝a6－a4＝2d>0，即d>0，所以数列{an}是递增数列，故D正确．故选ABD. 7．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}是等差数列 B．数列是等差数列 C．an＝ D．an＝n 答案：BC 解析：由＝＋，得－＝－，所以数列是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.故选BC. 三、填空题 8．在等差数列{an}中，a11＝3，a7＋2a10＝3，则a2025＝________． 答案：2017 解析：设等差数列{an}的公差为d.由a11＝3，得a7＋4d＝3，由a7＋2a10＝3，得a7＋2(a7＋3d)＝3，整理得a7＋2d＝1，解得d＝1，a7＝－1，因此等差数列{an}的通项公式为an＝a7＋(n－7)d＝n－8，所以a2025＝2017. 9．已知b是a，c的等差中项，且a>b>c，若lg (a＋1)，lg (b－1)，lg (c－1)成等差数列，a＋b＋c＝15，则a的值为________． 答案：7 解析：由题意，知解得 10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝记bn＝a2n，则b20＝________． 答案：59 解析：由题意，得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，且b1＝a2＝a1＋1＝2，所以{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，则bn＝2＋3×(n－1)＝3n－1，所以b20＝3×20－1＝59. 四、解答题 11．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试证明数列是等差数列，并求x95的值． 解：因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)， 所以xn＝(n≥2)， 即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)， 得＝1(n≥2)， 即－＝(n≥2)． 又＝3， 所以数列是以3为首项，为公差的等差数列， 所以＝3＋(n－1)×＝， 所以xn＝，所以x95＝＝. 12．若数列是等差数列，则称数列{an}为调和数列．若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项． (1)求和1的调和中项； (2)已知调和数列{an}，a1＝6，a4＝2，求{an}的通项公式． 解：(1)设和1的调和中项为b，依题意，得3，，1依次成等差数列， 所以＝＝2，即b＝. (2)依题意，是等差数列，设其公差为d， 则3d＝－，解得d＝， 所以＝＋(n－1)d＝＋(n－1)＝， 故an＝. 13．已知数列{an}满足a2＝－3，(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋(2n－1)(2n－3)，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝－n＋－7 B．an＝(1＋n)(1－n) C．an＝(n－3)(2n－1) D．an＝(n－5)(2n－3) 答案：D 解析：∵(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋(2n－1)(2n－3)，∴＝＋1，当n＝1时，－a2＝a1－1，即a1＝1－a2＝4，∴数列是首项为＝－4，公差为1的等差数列，∴＝－4＋(n－1)＝n－5，即an＝(n－5)(2n－3)．故选D. 14．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3－(n∈N*)，令bn＝. (1)求a2，a3的值； (2)求证数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式． 解：(1)因为a1＝3，且an＋1＝3－， 所以a2＝3－＝， a3＝3－＝. (2)因为an＋1＝3－， 所以an＋1－2＝3－－2＝， 两边同时取倒数，有＝＝＝1＋， 又bn＝，bn＋1＝＝1＋， 则b1＝＝1，bn＋1－bn＝1， 所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以bn＝n， 所以an＝. 8 学科网（北京）股份有限公司 $