第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查线线共面、三点共线、直线与直线、与面、面与面形成的角、线面、线线、面面垂直平行的判定、空间几何体。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中，正确的是（    ） A．若一直线与一平面平行，则这条直线就和这个平面内的任意直线平行 B．若平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与此平面平行 C．与两个相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 D．平行于同一平面的两条直线平行 2．如图所示，沿等腰△ABC底边上的高AD，把△ABC折成二面角B-AD-C，则（ ） A．平面ABD和平面BDC可能不垂直 B．平面ADC和平面BDC可能不垂直 C．平面ABD和平面ADC只能有一个与平面BDC垂直 D．平面ABD和平面ADC都与平面BDC垂直 3．若两个球的表面积比为1:16，则这两个球的体积之比是（ ） A．1:4 B．1:8 C．1:16 D．1:64 4. 已知点M，N，P，Q分别是正方体的四条棱的中点，则下列立体图中直线MN与PQ为异面直线的是（ ） A． B． C． D． 5. 若空间中有三条直线互相平行，且已知每两条平行线确定一个平面，则可确定（ ）个平面. A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．无数 6. 若一个球的半径扩大为原来的3倍，则其体积扩大为原来的（ ）倍. A．3 B．9 C．27 D．81 7. 已知直线l⟂平面α，直线m⊂平面β，则下列命题中正确的是（ ）. A．α//β⇒l//m B．α⟂β⇒l⟂m C． l⟂m⇒α//β D．l//m⇒α⟂β 8. 若a,b,c是空间中的三条直线，则下列命题中正确的是（ ） A．若直线a,b异面，b,c异面，则a,c异面 B．若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交 C．若a//b,则a,b与c所成的角相等 D．若a⟂b,b⟂c,则a//c 9. 下列命题中，不正确的是（ ） A． 若平面α内的一条直线l垂直于平面β内的一条直线，则α⟂β B． 若平面α内任意一条直线都平行于平面β，则α//β C． 若平面α⟂平面β，任取l⊂α,且l与两个平面的交线垂直，则必有l⟂β D． 若平面α//平面β，任取l⊂α,则必有l//β 10. 下列命题中，正确的是（ ） A．平行于同一平面的两条直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两个平面平行 11. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE:EB=CF:FB=1:3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是 （ ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．不能确定 12. 已知PA⟂平面ABC，且AB⟂BC，连接PC，PB，则该空间图形中直角三角形的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 13. 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⟂平面ABCD，且PA=1，则点P到对角线BD的距离是（ ） A． B． C． D. 14. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ） A． B． C． D. 15. 若正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则该棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD1所成的角的大小是______。 17. 若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC与△ABC都是边长为2的正三角形，PA=，那么二面角P-BC-A的大小为______。 18. 已知球的体积为，则这个球的半径是______。 19. 已知a,b为异面直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AC=AD，BC=BD，则直线a,b所成的角为______。 20. 轴截面为等边三角形的圆锥，它的侧面积与表面积之比为______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，已知地面ABCD是矩形，AD=2，PA=2，PD=2，求证：AD⟂平面PAB. 22. 如图所示，在120°的二面角α-l-β内有一点P，若点P到平面α和平面β的距离均为10，即PB=PC=10，求点P到直线l的距离PA. 23．如图所示，O是长方体ABCD-A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O//平面A1C1D. 24．如图所示，PA⟂平面ABC，AC⟂BC，AB=2，BC=，PB=，求二面角P-BC-A的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查线线共面、三点共线、直线与直线、与面、面与面形成的角、线面、线线、面面垂直平行的判定、空间几何体。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列命题中，正确的是（    ） A．若一直线与一平面平行，则这条直线就和这个平面内的任意直线平行 B．若平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与此平面平行 C．与两个相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 D．平行于同一平面的两条直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查线面平行、线线平行的判定。 【详解】对于A选项，直线与平面平行，不代表和这个平面内任意直线平行，只能是与这个平面内所有直线都不相交，即可能异面，可能平行，故A选项错误； 对于B选项，平面外两条平行直线，一条与平面平行，则另一条也与此平面平行，故B选项正确； 对于C选项，如果一条直线与两个相交平面的交线平行，但该直线位于其中一个平面上，那么它不会平行于该平面，故C选项错误； 对于D选项，平行于同一平面的两条直线也有可能是相交关系，故D选项错误； 故选：B. 2．如图所示，沿等腰△ABC底边上的高AD，把△ABC折成二面角B-AD-C，则（ ） A．平面ABD和平面BDC可能不垂直 B．平面ADC和平面BDC可能不垂直 C．平面ABD和平面ADC只能有一个与平面BDC垂直 D．平面ABD和平面ADC都与平面BDC垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是两个平面垂直的判定与性质。 【详解】对于A选项，因为，AD⟂平面BDC，AD⊂平面ABD，所以平面ABD和平面BDC垂直，故A选项错误； 对于B选项，因为，AD⟂平面BDC，AD⊂平面ADC，平面ADC和平面BDC垂直，故B选项错误； 对于C选项，同理，平面ABD和平面ADC都与平面BDC垂直，故C选项错误； 同理，故D选项正确. 故选：D. 3．若两个球的表面积比为1:16，则这两个球的体积之比是（ ） A．1:4 B．1:8 C．1:16 D．1:64 【答案】D 【分析】本题考察的是球的表面积和体积公式。 【详解】设一个球面半径为r，则球面面积为4πr2，体积为πr3，因为两个球的表面积比为1:16，则另一个球的面积为4πR2，所以，4πr2：4πR2=1:16，解得，R=4r，那么，体积比就是πr3：πR3=πr3：π（4r）3=1:64，故D选项正确； 故选：D 4. 已知点M，N，P，Q分别是正方体的四条棱的中点，则下列立体图中直线MN与PQ为异面直线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异面直线的定义，即不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线。 【详解】对于A选项，根据已知条件可得MN平行于PQ，根据平面的性质，两条平行直线可以确定一个平面，不符合异面直线定义，故A选项错误； 对于B选项，同理，如果连结B1D,即可得出MN//PQ，根据平面的性质，两条平行直线可以确定一个平面，不符合异面直线定义，故B选项错误； 对于C选项，MN和PQ无论如何不可能在同一个平面，即为异面直线，故C选项正确； 对于D选项，MN与PQ的延长线可以相交，根据平面的性质，两条相交直线可以确定一个平面，故D选项错误. 故选：C. 5.若空间中有三条直线互相平行，且已知每两条平行线确定一个平面，则可确定（ ）个平面. A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．无数 【答案】C 【分析】本题考查的是平面的性质。 【详解】根据平面性质，两条平行直线可以确定一个平面，分两种情况： 第一种，三条直线都在同一个平面内，如图所示：； 第二种，三体直线在一个正方体中，如图所示：由图可知，l1//l2//l3,l1与l2确定一个平面，l1与l3确定一个平面，l3与l2确定一个平面，共3个平面。 故选：C. 6.若一个球的半径扩大为原来的3倍，则其体积扩大为原来的（ ）倍. A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【分析】本题考查的是球的体积公式。 【详解】设一个球面原来半径为r，则球体积为πr3，扩大后半径为3r,则体积为π（3r）3=27×πr3,所以若一个球的半径扩大为原来的3倍，则其体积扩大为原来的27倍。 故选：C 7.已知直线l⟂平面α，直线m⊂平面β，则下列命题中正确的是（ ）. A．α//β⇒l//m B．α⟂β⇒l⟂m C． l⟂m⇒α//β D．l//m⇒α⟂β 【答案】D 【分析】本题考察的是线线平行、面面平行、面面垂直、线线垂直的判定 【详解】对于A选项，α//β，l⟂α⇒l⟂β，因为m⊂β，那么l⟂m，故A选项错误； 对于B选项，α⟂β，l⟂α⇒l⟂α内任意一条直线，但m⊂β，不能得出l⟂m的结论，故B选项错误； 对于C选项，l⟂α，l⟂α内任意一条直线，但m⊂β，l⟂m，m可能是β内任意一条直线，并不能推出l⟂β,也就不能推出α//β，故C选项错误； 对于D选项，l//m，又因为l⟂α⇒m⟂α，m⊂β，即可得出，α⟂β，故D选项正确. 故选：D 8.若a,b,c是空间中的三条直线，则下列命题中正确的是（ ） A．若直线a,b异面，b,c异面，则a,c异面 B．若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交 C．若a//b,则a,b与c所成的角相等 D．若a⟂b,b⟂c,则a//c 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与直线的位置关系及所成的角的大小。 【详解】对于A选项，若直线a,b异面，b,c异面，则a,c可能异面或可能相交，故A选项错误； 对于B选项，若直线a,b相交，b,c相交，则a,c可能相交或异面，故B选项错误； 对于C选项，若a//b,通过平移，a与c所成的角与b和c所成的角为同一个角，所以相等，故C选项正确； 对于D选项，若a⟂b,b⟂c,则a//c或a⟂c，故D选项错误。 故选：C. 9.下列命题中，不正确的是（ ） A． 若平面α内的一条直线l垂直于平面β内的一条直线，则α⟂β B． 若平面α内任意一条直线都平行于平面β，则α//β C． 若平面α⟂平面β，任取l⊂α,且l与两个平面的交线垂直，则必有l⟂β D． 若平面α//平面β，任取l⊂α,则必有l//β 【答案】A 【分析】本题考察的是平面与平面垂直的判定，即m⊂β且m⟂α,则α⟂β。 【详解】根据判定定理，若平面α内的一条直线l垂直于平面β内的一条直线，则不能推出α⟂β，故A选项不正确。 故选：A. 10.下列命题中，正确的是（ ） A．平行于同一平面的两条直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两个平面平行 【答案】B 【分析】本题考查的是线线平行，线面平行的判定。 【详解】对于A选项，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交，故A选项错误； 对于B选项，根据直线与平面垂直的性质可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故B选项正确； 对于C选项，垂直于同一直线的两条直线平行或相交，故C选项错误； 对于D选项，平行于同一直线的两个平面平行或相交，故D选项错误。 故选：B. 11.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE:EB=CF:FB=1:3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是 （ ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似定理，从而判定直线与平面平行。 【详解】因为AE:EB=CF:FB=1:3，所以BE：BA=BF：BC=3：4，∠EBF=∠ABC,所以△BEF∽△BAC,所以EF//AC,又因为EF⊂平面DEF，所以AC//平面DEF，故A选项正确。 故选：A. 12.已知PA⟂平面ABC，且AB⟂BC，连接PC，PB，则该空间图形中直角三角形的个数是（ ） A． 1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是线面垂直的判定。 【详解】如图所示：因为PA⟂平面ABC，所以PA⟂AB，PA⟂AC，PA⟂BC，即△PAB、△PAC为直角三角形,又因为AB⟂BC，所以△ABC为直角三角形，根据直线与平面垂直的判定定理，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，PA∩AB=A，BC⟂PA，BC⟂AB，可得BC⟂平面PAB，可推出BC⟂PB，即△PBC为直角三角形，故选项D正确 故选：D 13.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⟂平面ABCD，且PA=1，则点P到对角线BD的距离是（ ） A． B． C． D. 【答案】B 【分析】本题主要考查根据线面垂直，找到直角三角形，求出三角形的边长。 【详解】如图所示：过P点作PO⟂BD，交BD于点O，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，那么AD=4，Rt△ABD中，BD==5，设BO=x,则DO=5-x 又因为PA⟂平面ABCD，且PA=1，所以PA⟂AB，PA⟂AD，在Rt△PAB和Rt△PAD中，PB===，PD===，因为PO⟂BD，所以在Rt△POB中，PO==,在Rt△POD中，PO==,因此=，解得x=,代入PO====. 故选：B. 14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ） A． B． C． D. 【答案】B 【分析】本题考察的是三棱锥的体积公式。 【详解】三棱锥A-A₁BC与三棱锥A₁-ABC是同一个四面体，因此体积相等。以三角形ABC为底，AA₁为高（因为三棱柱是直三棱柱，侧棱垂直于底面）：三角形ABC是边长为2的等边三角形，其面积为：S△ABC=×22=，高为AA₁ = 1，因此体积为：V=×S△ABC×AA1=××1=，根据正三棱柱的已知条件，可得A1B=A1C=，所以△A1BC为等腰三角形，已知BC=2，所以△A1BC上的高h==2,S△A₁BC=×2×2=2,设点A到平面A₁BC的距离为d,则V=×S△A₁BC×d=×2×d=,所以d=. 故选：B. 15. 若正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则该棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考察正三棱锥的特点，以及直角三角形中余弦值的求法。 【详解】如图所示：一个正三棱锥 S−ABC，其中底面 △ABC 是边长为 a的等边三角形，且侧棱 SA=SB=SC=a。因此，所有棱长均相等，该几何体实际上是一个正四面体。侧棱 SA与底面 ABC所成的角记为 θ。从顶点 S 向底面作垂线，垂足为 O，则 O 是等边三角形 ABC的外心。于是，∠SAO=θ即为所求的角。设所有棱长 a=1。等边三角形 ABC 的外接圆半径公式为：R==，因此，AO=。侧棱 SA=1，在直角三角形 △SAO 中，有：cos θ===. 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD1所成的角的大小是______。 【答案】90° 【分析】本题主要考查异面直线所成的角的计算及向量方法计算。 【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC为底面对角线，BD1为连接顶点B和D1的线段。通过建立坐标系，设棱长为1，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)。则向量AC = (1,1,0)，向量BD1 = (-1,1,1)。计算点积：AC · BD1 = (1)(-1) + (1)(1) + (0)(1) = 0，因此两向量垂直，即AC与BD1所成的角为90°。 17. 若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC与△ABC都是边长为2的正三角形，PA=，那么二面角P-BC-A的大小为______。 【答案】90° 【分析】本题主要考查求二面角，先求二面角的平面角，找到两条分别垂直于两平面棱的射线所成的角，即为二面角的平面角。 【详解】如图所示：取BC的中点O，分别连结PO，AO，因为△PBC与△ABC都是边长为2的正三角形，所以PB=PC=2，AB=AC=2，所以PO⟂BC，AO⟂BC，所以∠POA为二面角P-BC-A的平面角，因为BC=PC=2，OC=1，所以PO=，同理，AO=，又因为PA=，所以在△POA中，由余弦定理得cos∠POA===0，所以∠POA=90°，即二面角P-BC-A为90°的二面角。 18.已知球的体积为，则这个球的半径是______。 【答案】 【分析】本题考察球的体积公式V=πR3. 【详解】根据球的体积公式V=πR3，可知=πR3，所以R=. 19. 已知a,b为异面直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AC=AD，BC=BD，则直线a,b所成的角为______。 【答案】90° 【分析】本题主要考查异面直线所成的角。 【详解】已知a和b为异面直线，点A和B在直线a上，点C和D在直线b上，且AC = AD，BC = BD。由于AC = AD，点A到点C和点D的距离相等，因此点A在线段CD的垂直平分面上。同理，点B也在线段CD的垂直平分面上。由于点A和点B确定直线a，因此直线a完全位于线段CD的垂直平分面上。设M为线段CD的中点，则线段CD的垂直平分面过点M且垂直于线段CD。由于点C和D在直线b上，直线b与线段CD共线，因此直线b垂直于该垂直平分面。由于直线a在垂直平分面上，直线b垂直于该平面，因此直线b垂直于直线a。故直线a和b所成的角为90°。 20.轴截面为等边三角形的圆锥，它的侧面积与表面积之比为______。 【答案】2:3 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积和表面积公式。 【详解】因为圆锥轴截面为等边三角形，所以2r=l,那么S圆锥侧：S圆锥=πrl:πr(l+r)=2πr2:3πr2=2:3. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，已知地面ABCD是矩形，AD=2，PA=2，PD=2，求证：AD⟂平面PAB. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查线面垂直的判定。 【详解】证明：在△PAD中，因为AD=2，PA=2，PD=2，所以PA2+AD2=PD2，所以PA⟂AD.在矩形ABCD中，因为AD⟂AB,且PA⋂AB=A,所以AD⟂平面PAB. 22． 如图所示，在120°的二面角α-l-β内有一点P，若点P到平面α和平面β的距离均为10，即PB=PC=10，求点P到直线l的距离PA. 【答案】 【分析】本题考查的是二面角的求法以及正弦定理求三角形边长。 【详解】因为PB⟂α,l⊂α,所以PB⟂l,又因为PA⟂l,PA∩PB=P,所以l⟂平面PAB.因为AB⊂α，所以AB⟂l,同理可证，AC⟂l.故∠BAC即为二面角α-l-β的平面角，且∠BAC=120°.在Rt△PAB和Rt△PAC中，因为PB=PC，所以△PAB≌△PAC，则∠PAB=∠PAC=60°，故PA===.因此，点P到直线的距离PA为. 23． 如图所示，O是长方体ABCD-A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O//平面A1C1D. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查直线与平面平行的判定。 【详解】证明：如图所示：连结B1D1,交A1C1于点O1，连结O1D，则B1O1与OD平行且相等，从而四边形B1O1DO是平行四边形，所以OB1//O1D.又因为OB1⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，所以B1O//平面A1C1D. 24． 如图所示，PA⟂平面ABC，AC⟂BC，AB=2，BC=，PB=，求二面角P-BC-A的大小. 【答案】45° 【分析】本题主要考查求二面角，先求二面角的平面角，找到两条分别垂直于两平面棱的射线所成的角，即为二面角的平面角。 【详解】因为PA⟂平面ABC，PA⟂BC，又因为AC⟂BC，所以BC⟂平面PAC，PC⊆平面PAC，所以PC⟂BC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角，因为PB=，AB=2，所以PA=，因为BC=，所以AC=，所以PA=AC=，所以PCA=45°。​ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $