第四章 立体几何（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了线线共面、三点共线、直线与直线、与面、面与面形成的角、线面、线线、面面垂直平行的判定、空间几何体等常见考点。 第四章 立体几何 目录 考点一 证明若干条线共面 1 考点二 证明三点共线 2 考点三 证明线面平行、面面平行 2 考点四 直线与直线所形成的角 3 考点五 直线与平面所成的角 3 考点六 二面角 4 考点七 异面直线所成的角 4 考点八 线面垂直、线线垂直、面面垂直 5 考点九 柱体、椎体、球体的面积和体积计算 6 考点十 两个平面平行的判定与性质 6 考点一 证明若干条线共面 1．已知a//b//c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C，求证：直线a,b,c,l共面. 2. 设在空间中有三条直线 l1, l2, l3，其中 l1与 l2相交于点 O，直线 l3与 l1相交于点 A，与 l2相交于点B，且点 A 和 B与点 O不重合。求证：直线 l1, l2, l3共面. 考点二 证明三点共线 3. 已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点，求证：P，Q，R三点在同一条直线上. 4. 如图所示，平面α外一梯形ABCD的两腰DA，CB所在直线分别与平面α相交于点E，F，点M，N分别为梯形上，下底边的中点，直线MN与平面α交于点P，求证：E，P，F三点在一条直线上. 考点三 证明线面平行、面面平行 5. 已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心. 求证：（1）MN//平面ABD；（2）BD//平面CMN 6. 已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点. 求证：MN//平面α. 考点四 直线与直线所形成的角 7. 已知E，F，G分别是正方体BD1的棱AA1，CC1，C1D1的中点，试求：（1）求AB1与BC1所成的角；（2）作出FG与对角线BD1所成的角；（3）求出FG与BE所成角的余弦值. 8. 在直三棱柱 ABC-A′B′C′中，顶面 △ABC是边长为 2 的等边三角形，侧棱 AA′=2。求直线 AA′与 B′C所成的角. 考点五 直线与平面所成的角 9. Rt△ABC所在平面α外有一点P，∠C=90°，PC=24，PD垂直AC于D，PE⟂BC于E，且PD=PE=6，求（1）点P到平面α的距离；（2）PC和平面α所成的角的大小. 10. 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⟂平面AC，若PA=1，PB=，PD=，求PC与平面AC所成的角. . 考点六 二面角 11. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，对角线AC=a，BD=a，求二面角A-BD-C的大小. 12. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=1，BB1=，求二面角A1-BC-A的大小. 考点七 异面直线所成的角 13. 在如图所示的正方体中， （1）指出哪些棱与BB1是异面直线，哪些棱与对角线BD1是异面直线； （2）分别求出直线DD1与BC1、A1D1及DC1所成的角. 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知点E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小是（ ）. A．30° B．45° C．60° D．90° 考点八 线面垂直、线线垂直、面面垂直 15. 如图所示：PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN//平面PAD （2）求证：MN⊥CD （3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD. 16. 已知直线a//平面α，a⟂平面β，求证：α⟂β. 考点九 柱体、椎体、球体的面积和体积计算 17. 已知圆锥的母线与其底面直径均为2，则圆锥的体积为（ ）. A． B．3π C．π D．π 18. 球面面积膨胀为原面积的三倍，它的体积变为原体积的 倍. 考点十 两个平面平行的判定与性质 19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⟂平面ABCD，E为PD的中点. (1) 证明：PB//平面AEC； (2) 设PA=AB=1，AD=6，求三棱锥C-AEP的体积. 20. 正方体的6个面中互相平行的平面有（ ）对. A．2 B．3 C．4 D．5 21. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,E,F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了线线共面、三点共线、直线与直线、与面、面与面形成的角、线面、线线、面面垂直平行的判定、空间几何体等常见考点。 第四章 立体几何 目录 考点一 证明若干条线共面 1 考点二 证明三点共线 2 考点三 证明线面平行 3 考点四 直线与直线所形成的角 4 考点五 直线与平面所成的角 6 考点六 二面角 7 考点七 异面直线所成的角 8 考点八 线面垂直、线线垂直、面面垂直 10 考点九 柱体、椎体、球体的面积和体积计算 11 考点十 两个平面平行的判定与性质 12 考点一 证明若干条线共面 1．已知a//b//c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C，求证：直线a,b,c,l共面. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查将已知和求证改写成符号语言，要证明多条直线共面，一种方法先由a,b确定一个平面，由基本性质1证明，c,l也在这个平面内，另一种方法是先由a,b确定一个平面，c,l确定另一个平面，再证明两平面重合。 【详解】因为a//b,所以a,b确定一个平面α.因为l∩a=A,l∩b=B，所以A∈α，B∈α，故l⊆α. 又因为a//c,所以a,c确定一个平面β，同理可证l⊆β.所以α∩β=a且α∩β=l,因为过两条相交直线a,l有且只有一个平面，故α与β重合，即a,b,c,l共面. 2.设在空间中有三条直线 l1, l2, l3，其中 l1与 l2相交于点 O，直线 l3与 l1相交于点 A，与 l2相交于点B，且点 A 和 B与点 O不重合。求证：直线 l1, l2, l3共面。 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查如何利用相交直线确定平面，并通过点的位置证明第三条直线也在该平面上，从而证明三条直线共面。 【详解】因为 l1与 l2相交于点 O，所以 l1与 l2确定一个平面 π。点 A 在  l1上，因此点 A 在平面 π 上。点 B 在 l2上，因此点B 在平面 π上。由于点A 和点 B 都在平面π 上，且直线  l3通过点 A 和点 B，所以直线  l3在平面 π 上。因此，直线 l1, l2,  l3 都在平面 π 上，即它们共面。 考点二 证明三点共线 3.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点，求证：P，Q，R三点在同一条直线上. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查三点共线，要证明三点共线，只需要证明三点在两个平面的交线上，可先用任意两点确定交线所对应的直线，再证明第三点在该直线上。 【详解】如图所示：AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，因为AB∩α=P，BC∩α=Q，所以PQ是平面α与平面ABC的交线，因为AC∩α=R，所以R∈α，且R∈平面ABC，所以R∈PQ，所以P，Q，R三点共线. 4.如图所示，平面α外一梯形ABCD的两腰DA，CB所在直线分别与平面α相交于点E，F，点M，N分别为梯形上，下底边的中点，直线MN与平面α交于点P，求证：E，P，F三点在一条直线上. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查三点共线。 【详解】因为AB//CD，所以AB，CD确定平面ABC，因为直线DAE、直线CBF、直线MNP在平面ABC内，所以E，P，F为平面ABC与α的公共点，所以E,P,F都在平面ABC与α的交线上，所以E，P，F三点在一条直线上. 考点三 证明线面平行 5.已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心. 求证：（1）MN//平面ABD；（2）BD//平面CMN 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查证明线面平行的方法，常用有两种，一种是利用定义，一般借助反证法，另一种是利用判定定理，思路一般是从结论入手，用反推的思想方法分析出解题思路，然后完成证明过程。 【详解】(1)如图所示：连结CM，CN并延长分别交AB，AD于G，H，连结GH，MN.因为M，N分别为△ABC和△ACD的重心，所以=，所以MN//GH.又因为GH⊆平面ABD，MN⊈平面ABD，所以MN//平面ABD. (2)连结AM，AN并延长分别交BC，CD于E，F，连结EF.同理MN//EF，又因为E，F分别为BC，CD的中点，所以BD//EF，BD//MN，又因为MN⊆平面CMN，BD⊈平面CMN，所以BD//平面CMN. 6. 已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点. 求证：MN//平面α. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查讨论AB，CD是否共面问题，还考察了平面几何中的梯形中位线在空间的推广. 【详解】证明：分AB，CD是否共面两种情况. （1） 若AB，CD在同一平面内，则平面ABCD与α，β的交线分别为BD，AC，又因为α//β，所以AC//BD.又因为M，N分别为AB，CD的中点，所以MN//BD，又因为BD⊆平面α，所以MN//平面α. （2） 若AB，CD不共面，如图所示，过A作AE//CD交α于E，取AE中点P，连结MP，PN，BE，ED.因为AE//CD ,所以AE，CD确定平面AEDC，则平面AEDC与α，β的交线分别为ED，AC.因为α//β，所以AC//ED，又因为P，N分别为AE，CD中点，所以PN//ED，从而PN//α，同理可证MP//BE，所以MP//α，所以平面MPN//α,又MN⊆平面MPN，所以MN//α. 考点四 直线与直线所形成的角 7.已知E，F，G分别是正方体BD1的棱AA1，CC1，C1D1的中点，试求：（1）求AB1与BC1所成的角；（2）作出FG与对角线BD1所成的角；（3）求出FG与BE所成角的余弦值. 【答案】60°；图2； 【分析】本题主要考查化归的思想方法，即通过平移将异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 【详解】（1）如图1所示：连结AD1，B1D1，因为AD1//BC1，所以∠D1AB1即为所求的异面直线所成的角.因为△AB1D1为正三角形，所以∠D1AB1=60°. （2）如图2所示：连结D1C，由已知可知FG//CD1，因为BC⟂平面CC1D1D，所以BC⟂CD1,所以∠CD1B就是FG与BD1所成的角. （3）连结A1B，因为FG//CD1，CD1//A1B，所以FG//A1B，所以∠A1BE为异面直线BE与FG所成的角，因为∠A1BE<45,设AB=a,则△A1BE中，A1B=a,A1E=,BE=a,所以cos∠A1BE==,所以GF与BE所成的角的余弦值为. 8.在直三棱柱 ABC-A′B′C′中，顶面 △ABC是边长为 2 的等边三角形，侧棱 AA′=2。求直线 AA′与 B′C所成的角. 【答案】45° 【分析】本题主要考查直三棱柱中，棱互相平行且相等，且垂直于底面和顶面，通过平移找到两条异面直线所成的角。 【详解】在直三棱柱 ABC-A′B′C′中：底面 △ABC是边长为 2 的等边三角形，侧棱 AA′=2，且所有侧棱均垂直于底面，又因为直线 AA′与 B′C是异面直线， AA′与 BB′平行且相等，所以∠BB′C是AA′与 B′C所成的角，在Rt△B′BC中，B′C===2，根据余弦定理，cos∠BB′C===，所以直线 AA′与 B′C所成的角即直线 BB′与 B′C所成的角为45°. 考点五 直线与平面所成的角 9. Rt△ABC所在平面α外有一点P，∠C=90°，PC=24，PD垂直AC于D，PE⟂BC于E，且PD=PE=6，求（1）点P到平面α的距离；（2）PC和平面α所成的角的大小. 【答案】12；30° 【分析】本题主要考查直线与平面所成的角，以及点到平面的距离。 【详解】(1)作PO⟂α于O，则PO为点P到平面α的距离，连结OC，∠PCO为PC和平面α所成的角，连结OE，OD. 因为PD=PE，PE⟂BC于E，PD⟂AC于D，所以PD，PE在平面α的射影OE=OD，又因为OE⟂BC，OD⟂AC，所以四边形ODCE中，OE=OD，且∠OEC=∠ODC=∠C=90°，所以四边形ODCE为正方形，所以OC=OE，设OP=x,OC2=PC2-OP2=242-x2,①,OE2=PE2-OP2=(6)2-x2,②,OC=OE,③,解①②③组成的方程组，得x=12，所以点P到平面α的距离为12. (2)在Rt△POC中，sin∠PCO==.所以∠PCO=30°，所以PC与平面所成的角为30°. 10. 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⟂平面AC，若PA=1，PB=，PD=，求PC与平面AC所成的角. 【答案】30° 【分析】本题主要考查直线与平面所成的角，通过连结，找到所求角. 【详解】如图，连结AC，∠PCA为所求的角，因为PA⟂平面AC，所以PA⟂AB，PA⟂AD，PA⟂AC，在Rt△PAB中，PA=1，PB=，因此AB=1.在Rt△PAD中，PA=1，PD=，因此AD==BC,在Rt△ABC中，AC===,在Rt△PAC中,PA=1,AC=,所以tan∠PCA==,从而∠PCA=30°. 考点六 二面角 11.已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，对角线AC=a，BD=a，求二面角A-BD-C的大小. 【答案】120° 【分析】本题主要考查二面角的求法。 【详解】如图所示：取BD的中点O，分别连结AO，CO，因为AB=AD，BC=CD，所以AO⟂BD，CO⟂BD，所以∠AOC为二面角A-BD-C的平面角，因为AB=AD=a，BD=a，所以CO=a，在△AOC中，由余弦定理得cos∠AOC==-，所以AOC=120°，即二面角A-BD-C为120°的二面角. 12. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=1，BB1=，求二面角A1-BC-A的大小. 【答案】60° 【分析】本题主要考查求二面角，先求二面角的平面角，找到两条分别垂直于两平面棱的射线所成的角，即为二面角的平面角。 【详解】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⟂平面ABB1A1，且A1B，AB⊂平面ABB1A，故A1B⟂BC，AB⟂BC，因此，∠A1BA即为二面角A1-BC-A所成的角，在Rt△A1BA中，因为AA1=,AB=1,所以tan∠A1BA==，则∠A1BA=60°.故二面角A1-BC-A所成的角为60°. 考点七 异面直线所成的角 13. 在如图所示的正方体中， （1）指出哪些棱与BB1是异面直线，哪些棱与对角线BD1是异面直线； （2）分别求出直线DD1与BC1、A1D1及DC1所成的角. 【答案】(1)棱AD、CD、A1D1、C1D1与BB1都是异面直线, 棱AA1、CC1、AD、CD、A1B1、B1C1与BD1都是异面直线； (2)DD1与BC1所成的角为45°，DD1与A1D1所成的角为90°及，DD1与DC1所成的角为45°。 【分析】本题主要考查判断两条直线是否为异面直线往往用间接法即排除它们平行和相交的情况，而求两异面直线所成的角则先通过平移，使它们处于同一个三角形中，然后由解三角形而得到。 【详解】（1）棱AD、CD、A1D1、C1D1与BB1都是异面直线, 棱AA1、CC1、AD、CD、A1B1、B1C1与BD1都是异面直线； （2）因为BB1//DD1，所以B1BC1即为DD1与BC1所成的角，所以∠B1BC1=45°，同理DD1与A1D1所成的角为∠A1D1D，大小为90°，DD1与DC1所成的角为∠D1DC，大小为45°. 14. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知点E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小是（ ）. A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】本题主要考查异面直线所成的角的计算 【详解】如图所示：连结B1D1，D1C，则B1D1//EF,故∠D1B1C即为所求的角，因为B1D1=B1C=D1C，所以△B1D1C为等边三角形，所以∠D1B1C=60°. 故选C. 考点八 线面垂直、线线垂直、面面垂直 15. 如图所示：PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN//平面PAD （2）求证：MN⊥CD （3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查线面垂直、线线垂直的判定。 【详解】（1）如图所示：取PD的中点E，连结AE，EN，则有EN//=CD//=AB//=AM，故四边形AMNE为平行四边形，所以MN//AE.所以AE⊆平面PAD，MN⊈平面PAD，所以MN//平面PAD。 （2）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AD⊥AB，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，所以MN⊥CD. (3)因为PA⊥平面ABCD，PA⊥CD，又∠PDA=45°，E为PD中点，所以AE⊥PD.又CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩CD=A，所以CD⊥平面PAD，又因为AE⊆平面PAD，所以CD⊥AE，又AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD，又AE//MN，所以MN⊥平面PCD. 16. 已知直线a//平面α，a⟂平面β，求证：α⟂β. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查面面垂直的判定. 【详解】设平面γ过a与α交于b，如图所示，因为a//α，所以a//b，因为a⟂β，所以b⟂β，又因为b⊆α,所以α⟂β. 考点九 柱体、椎体、球体的面积和体积计算 17. 已知圆锥的母线与其底面直径均为2，则圆锥的体积为（ ） A． B．3π C．π D．π 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的体积公式V圆锥=πr2h. 【详解】已知圆锥母线l=2,底面积半径r=1,由圆锥的性质，轴截面上圆锥的母线、底面半径和圆锥的高组成直角三角形，所以圆锥的高h===， V圆锥=πr2h=π×12×=π.故D选项正确. 故选D. 18. 球面面积膨胀为原面积的三倍，它的体积变为原体积的 倍. 【答案】3 【分析】本题主要考查球的面积和体积公式。 【详解】设球面膨胀前的半径为r，则球面面积为4πr2，体积为πr3;设球面膨胀后的半径为R，则球面膨胀后的面积为4πR2，体积为πR3；由已知得，4πR2=3×4πr2,化简得R=r,所以，πR3=π(r)3=3πr3,即球面膨胀后的体积变为原体积的3倍. 19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⟂平面ABCD，E为PD的中点. (1) 证明：PB//平面AEC； (2) 设PA=AB=1，AD=6，求三棱锥C-AEP的体积. 【答案】（1）证明题无答案 （2）VC-AEP= 【分析】本题主要考查直线与平面平行的判定与性质以及求棱锥的体积。 【详解】（1）证明：连结BD交AC于O，连结EO，O是矩形ABCD的对角线的交点，即O是线段BD的中点.因为E为PD的中点，故EO//PB，又因为EO⊂平面AEC，且PB⊄平面AEC，所以PB//平面AEC. (2)取PA中点F，连结EF，则EF//AD,且EF=AD=3，由PA⟂矩形ABCD，知AD⟂PA,故EF⟂PA，从而S△AEP=PA×EF=×1×3=.又因为AB//CD，PA⟂矩形ABCD，知CD⟂AD，CD⟂PA，则有CD⟂平面AEP，即CD为三棱锥C-AEP的高，且CD=AB=1，所以VC-AEP=S△AEP×CD=××1=. 考点十 两个平面平行的判定与性质 20. 正方体的6个面中互相平行的平面有（ ）对. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查平面与平面平行的判定。 【详解】正方体中的6个面中，其两个对面平行且相等，则相互平行的平面有3对。 故选B. 21. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,E,F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB. 【答案】证明题无答案 【分析】本题主要考查面面平行，关键在一个平面里找到都与另一个平面平行的两条相交直线。 【详解】证明：连结MF，因为M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1是正方形，所以MF//=A1D1，又因为A1D1//AD，A1D1=AD，所以MF//=AD，所以四边形AMFD是平行四边形，所以AM//DF，因为DF⊆平面EFDB，AM⊈平面EFDB，所以AM//平面EFDB.同理可证AN//平面EFDB.又因为AM，AN⊆平面AMN，AM∩AN=A，所以平面AMN//平面EFDB. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $