3.1.2 函数的表示法（第一课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示法（解析法、图像法、列表法），通过复习函数定义、三要素等旧知，结合列车路程与时间关系、空气质量指数变化图、恩格尔系数表等现实问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解三种表示法的概念及应用。 其亮点在于以现实情境为载体，引导学生用数学的眼光观察现实世界中的数量关系，如通过学生成绩表转图像分析趋势培养数学思维，通过三种表示法的对比归纳帮助学生用数学语言表达函数关系。学生能直观感受表示法的应用价值，教师可借助结构化例题和练习提升教学效率。

（第一课时） 3.1.2函数的表示法 人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章 1 复习回顾 1.函数的定义：设A、B是非空数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应，就称f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f(x) , x∈A 2.函数三要素：定义域、对应关系、值域 3.同一函数：定义域、对应关系相同 4.函数的表示法：图像法、列表法、解析法 问题1 列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为S=350t。 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：1.简明、全面地概括了变量间的对应关系；2.可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。 问题2 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：能形象直观地表示出函数的变化趋势，有利于研究函数的性质。 问题3 下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况。 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 例3、下表是某高校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。 姓名 测试序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析。 分析：从上表可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图像（均为6个离散的点）表示出来。如下图，那么就能直观的看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析有帮助。 1 0 2 3 4 5 6 60 70 80 90 100 y 王伟 张城 赵磊 班平均分 x 从上图可以看到， 张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图像呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。 王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。 归纳总结 1.解析法：简明、抽象、有规律. 是研究函数的主要方法 2.图象法：直观、趋势、不精准。 是利用数形结合思想解题的基础 3.列表法：直观、离散. 当自变量的个数较少时使用，在实际生 产和生活中有广泛的应用 练习 购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数,并指出函数的值域. 解 (解析法) y=2x,x∈{1,2,3,4}. (列表法) x 1 2 3 4 y 2 4 6 8 (图象法) 该函数的值域为{2,4,6,8}. 题型一 列表法表示函数 例1 已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________． x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 1 题型一 列表法表示函数 巩固练习1 已知函数f(x),g(x)对应值如下表: x 0 1 -1 f(x) 1 0 -1 x 0 1 -1 g(x) -1 0 1 则g(f(g(-1)))的值为(　　) A.1 B.0 C.-1 D.无法确定 C 分段函数的概念 题型二 画函数的图像 例2 画出下列数的图象. (1) y=|x| (2) x y O x y O 2 2 画函数图象的常用方法： 1.描点法 2.图象的平移、对称、翻折、伸缩变换 平移：上加下减，左加右减 标出特殊点（图象的顶点、端点、与坐标轴的交点）和渐近线 题型二 画函数的图像 巩固练习1 画出函数 的图象. x y O 1 1 -1 巩固练习2 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 题型二 画函数的图像 A　　　　 B　　　　 C　　　　 D D 题型三 解析式表示函数--代入法 例3 已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________. 题型：已知f(x)的解析式，求f( )的解析式 方法：将 整体代入到f(x)解析式中，替换x 题型三 解析式表示函数--换元法 例4 已知f(x+1)=x2+3x+1，则f(x)=________. 题型：已知f( )的解析式，求f(x)的解析式 方法：①换元（设t= ，注意t的取值范围） ②反解x（用t表示x） ③代入，换回（把t直接写成x） 令t=x+1，则x=t-1, 所以f(t)=(t-1)2+3(t-1)+1=t2+t-1 这样的函数称为分段函数．生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等． 解：由绝对值的概念， 我们有 所以， 函数 的图象如图所示． 例2、给定函数 (1) 在同一直角坐标系中画出函数 , 的图象； (2) ,用表示, 中的较大者,记为． 例如，当 时， . 请分别用图象法和解析法表示函数 . (2) 由图中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象 由 , 得 . 解得 , 或 . 结合图, 得出函数 的解析式为 作业：P69 练习3 例2、给定函数 $