知识树（知识清单）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

( 小 学原创情 境题 ) 情境题提思维 ·数学五年级上册BS ( 单元知识树 )晨读晚记 小数四则混合运算与整数四则混合运算顺序 从小数部分的某位起，一个数字或几个数 相同，同级运算按从左到右的顺序计算，有 字依次不断重复出现，这样的小数叫作循 括号的先算括号里面的 循环小数 个循环 (环小数)小，数的循环节 (依次不断重)复出现的数字叫作这 小数四则混合运算 ( 除数>1,商<被除数，12.8÷5=2.56 除数=1,商=被除数，12.8÷1=12.8 )计算方法：转化成除数是整数的除法计算 商与被除 除数<1,商>被除数，12.8÷0.5=25.6 注意：根据商不变的规律把被除数和除数同 数的关系 注意：被除数、除数均不为零 时扩大相同的倍数，被除数小数部分位数比 Q.85 除数少时，在末尾添0补足，商的小数点与 被除数移动后的小数点对齐 (1)商的近似值：要求保留到哪一位，就多除一位，再 用“四舍五入”法取近似值 除数是小数的小数除法 (2)积的近似值：要先算出积，要求保留到哪一位，就 看下一位上的数，再用“四舍五入”法取近似值 (1)除数是整数且不需要补0:按照整数除法的计 积、商的近似值 算方法计算，商的小数点与被除数的小数点要对齐 继 (整)续 (数) 若商不 (需要补0)够:商1时 (除到被)，用 (除)0占位 (数末尾)有余 实际 进一法：适用于装东西、坐车、坐船等 应用 去尾法：适用于做蛋糕、分东西、做衣服等 除数是整数的小数除法 ( 小数除法及四则混合运算 )2 与小数除法相关的内容 一小数除法 1 先向右平移4格，再向下平移3格 (1)选择基本图形 (2)确定设计方案是利用平移或轴对称的 方法 (3)利用平移或轴对称的特点进行绘制 ( 4 欣赏与设计(数学欣赏) )作图方法： (1)找出原图形的关键点 (2)确定关键点移动后的对应点 (3)顺次连接各对应点，就得到平移后的图形 注意： (1)平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 (2)平移的距离可以根据对应点之间的距离得出 3 平移 轴对称图形：一个图形沿着一条直 线对折后，折痕两侧的图形能够完 全重合，这个图形就是轴对称图形， 这条直线就是对称轴 特点：轴对称图形的对称点到对称 轴的距离相等 注意：有的轴对称图形的对称轴不 止一条 1 能画出轴对称图形的对称轴 一定：确定所给图形的关键点 二数：数出图形的关键点到对称轴的距离 三描：描出关键点的对称点 四连：顺次连接各对称点，补全轴对称图形 2 能补全简单的轴对称图形 二轴对称和平移 2 3 学科网（北京）股份有限公司 一个数的因数的个数是有限的，最小 的因数是1,最大的因数是它本身 3 找因数 ( 4=1×4 [ 4=2×2 )4÷1=4 ( 4÷2=2 )找因数的方法：用乘法 算式或除法算式找因数 4的因数有：1,2,4 特 征 ： (1)倍数与因数相互依存，不能单独说一个数是 倍数或因数 (2)一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的 倍数是它本身，没有最大的倍数 倍数与因数 定义：在乘法算式a×b=c(a,b,c 都是不为零的 自然数)中， c是a和b的倍数，a和b是c的因数 注意：在自然数(零除外)范围内研究倍数与因数 ( 4 找质数 )质数与合数：一个数只有1和它本身两个因数，这 个数叫作质数，一个数除了1和它本身以外还有别 的因数，这个数叫作合数 常用结论：1既不是质数，也不是合数；最小的质 数是2,最小的合数是4,2是唯一一个既是偶数， 又是质数的数 ( 特征 ：各个数位上数字之和是3的倍数 )231,762,984, … · 是3的倍数 3的倍数的特征 ( 5的倍数特征 ： 个位上是0或5的数 )5,10,15, … 是5的倍数 2,5的倍数的特征 人 2的倍数特征：个位上是2,4,6,8,0的数 注意：是2的倍数的自然数也叫偶数，不是2 的倍数的自然数也叫奇数，最小的奇数是1 2 找倍数 偶数+偶数=偶数 2,4,6,8,… 奇数+奇数=偶数 是2的倍数 偶数+奇数=奇数 7×8=56,56是7和8的倍数，7和8是56的因数 三倍数与因数 4 学科网（北京）股份有限公司 a ( h=2S÷(a+b) a=2S÷h-b b=2S÷h-a ) ( 梯形的面 积 )hS 5 b 推导 ( 上底 高 下底 )两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形 上底 高 下底 公式：梯形 面积=(上底+ 下底)×高÷2 3 平行四边形的面积 推导 ( 剪开 ) ( h S a a=S÷h h=S÷a )高 高 底 底 → (底) 高 剪开 高 底 底 → (底) 公式：平行四边形面积=底×高 推导 ( hs )两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形， 三角形的面积等于与它等底等高的平行四边 形面积的一半 a ( α=2S÷h h=2S÷a ) ( 高 ) ( 底 )高 底 公式：三角形面积=底×高÷2 4 三角形的面积 A h. B a五 C D h h, h₁=h₂>h₃ S 三角形ABc=ah₁÷2 S三角形BCD=ah₂÷2 S 三角形BCE=ah₃÷2 S 三角形ABC=S 三命形BCD>S 三角形BCE 2 认识平行四边形、三角形、梯形的底和高 ( 1 )(1)数方格法：一整格是一格，两个 半格是一格 (2)重叠法：要借助图形的平移和轴 对称，看图形是否能完全重叠 (3)拼组法：把两个图形拼在一起， 组成一个新的规则图形 (4)割补法：把相对不规则的图形分 割、移补成尽量规则的图形 ( 比较图形 的面积 )(1)从一个顶点向底引出的与底垂直的线段就是高 (2)三角形有三条高，平行四边形和梯形有无数条高 ( 高 底 )(3)高要用虚线表示，相对应的高和底互相垂直 上底 ( 高 底 ) ( 四多边形的面积 )高 下底L 学科网（北京）股份有限公司 关系：两个整数相除(除数不为零),商就 是以被除数为分子，除数为分母的分数，用 字母表示分数与除法的关系：a÷ 公倍数与最小公倍数的含义：几个数相同的倍数 是它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小 公倍数 找最小公倍数的方法：列举法、集合图法 分数与除 法的关系 假分数与带分数互化： (1)假分数化成带分数：用假分数的分子除以分母， 能整除的，商为整数；不能整除的，商为带分数的整 数部分，余数为分子，原来的分母为分母 (2)带分数化成假分数：用原来的分母作分母，用分 母与整数部分的乘积再加上原来的分子的和作分子 真分数：分子小于分母 假分数：分子大于或等于分母 带分数：由整数和真分数组成 真分数、假分 数与带分数 像 的分数叫作分数单位 把一个整体平均分成若 干份，这样的一份或几 份，可以用分数表示 分数单位 分数的意义 1 分数的再认识 找最小公倍数 作用：异分母分数大小比较 通分的含义：把分母不同的分数 化成和原来分数相等、并且分母 相同的分数，这个过程叫作通分 通分的方法：一般用分母的最小 公倍数作为它们的分母 比较大小： ,所以>。 公因数与最大公因数的含义：几个 数相同的因数是它们的公因数，其 找最大公因数 中最大的一个是它们的最大公因数 找最大公因数的方法：列举法、集 合图法 约分含义：把一个分数的分子、分母同 时除以它们的公因数，分数的值不变，这 个过程叫作约分，分子和分母只有公因数 1的分数是最简分数 约分方法：分数的分子和分母同时除以 它们的最大公因数 ( 分数的分子和分母同时乘或除以一 个不为零的数，分数的大小不变 )分数基本性质 2 分数基本性质 五分数的意义 5 平方千米×100 公顷×10000平方米×100 平方分米×100平方厘米 ( 单位换算 平方千米 公顷 面积单位及换算 分割求和 )大单位×进率小单位 小单位÷进 率大单位 ( 数方格：约14 cm² 脚印的面积约是多少?(每 个小方格的边长表示1 cm) B )(1)测量比较大的土地面积(如国土面积、城市面 积),常用“平方千米”作单位 (2)边长是1千米的正方形的面积是1平方千米 (1)测量土地面积可以用“公顷”作单位 (2)边长是100米的正方形的面积是1公顷 (3)1公顷的土地并不都是正方形，有可能是长方形 或其他不规则图形 3 ( 数方格时，把大于半格的 算1格，不够半格的记为0 ) ( 数方格法 )图形的面积=长方形的 面积+三角形的面积 ( 添补求差 )图形的面积=长方形 的面积-梯形的面积 ( 割补转化 ) ( 转化法 转化成近似的规则图形 )割补前后，图形 的总面积不变 拼组折半 ( 2 不规则图形的面积 )两个完全一样的图形 拼成一个基本图形 1 组合图形的面积 六组合图形的面积 6 学科网（北京）股份有限公司 解决“鸡兔同笼”问题的方法： 逐一列表法、取中列表法、假设法、方程法、抬腿法 7 学科网（北京）股份有限公司 秋游方案 1.游览景点： , 人 数 ： 。 2.出发时间：_ , 返回时间： 。 路上需要的时间： ,游览的时间： 。 3.查找资料，画出旅游线路示意图。 4.估计费用。 交通 门票 用餐 其他 合计 5.注意事项。 (1)设计方案 (2)展示方案并交流反思 (3)自我评价 (4)实践感悟 设计秋游方案 C 尝试与猜测 4 7 10 第8个图形中有25根火柴棒 从最简单的图形开始发现规律，摆一摆， 数一数，记一记，从中观察，寻找其规律 2 图形中的规律 发现点阵中规律的方法： (1)观察点阵的基本形状 (2)从图形的变化(位置、方向等)观察前后点阵 中点的个数是如何变化的，并列出相应的算式 (3)观察前后算式中数的变化，从而找出数的规律 在设计秋游方案中，离不开充分的准备，只有对景 点门票的价钱、开放时间、租车费用等了解清楚， 才能设计出合理的方案 1+4×1 1+4×2 第10个点阵中点的个数是1+4×9=37数学好玩 有如下所示的6张数字卡片，除数字外其余完全相同，将其反扣在桌面上后打乱顺序。利用这6张卡片，设计一个对甲乙双方 都公平的游戏。 数字为1-6的卡片共有6张，如果每次摸1张的话，有6种可能，这6种可能只有平分对双方才公平。所以设计对双方都公平的 游戏规则可以是多种。例如，轮流摸1张，摸完后放回，摸到的数小于或等于3,甲方获胜，大于3,乙方获胜。 学科网（北京）股份有限公司 根据可能性相等设 计公平的游戏规则 设计公平的游戏规则 如图是妙妙设计的转盘，裁判转动指针，当指针停下时，指向蓝色 区域甲获胜，指向绿色区域乙获胜，否则重转，这个游戏对甲乙双 方公平吗? 不公平，蓝色区域有5块，绿色区 域有3块，5>3,所以这个游戏不 公平。 判断一个游戏规则是否公平，就是看每种情况出现的可能性是 否相等。相等，游戏规则公平；不相等，游戏规则不公平 判断游戏规则是否公平 游戏规则的公平性 盒子中装有大小、质地均完全相同的两种颜色的小 球共10个，每次任意摸1个球，摸后放回，下面是聪 聪摸了30次的情况统计。据此推测，盒子中( 蓝 ) 色小球可能多，(红 )色小球可能少。 ( 红色 6 ) ( 蓝色 24 )颜色 次数 可能性越大，对应的物体的数量可能越多 可能性越小，对应的物体的数量可能越少 根据实验结果 推断物体的数量 2 初步感受数据的随机性 七 可 能 性 8 $