2.5.2：圆与圆的位置关系【八大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.2：圆与圆的位置关系 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点1　两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 知识点2 两圆的位置关系与公切线条数的关系 位置关系 公切线条数 图示 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 【题型归纳】 题型一、两圆位置关系的判断 【例1】．（25-26高二上·江苏连云港）圆和圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】求出两圆心距，与半径之差的绝对值，半径之和比较大小即可判断. 【详解】圆，，圆心分别为，，半径分别为，.因为，，，因为，所以两圆相交. 故选：B. 【变式1】．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,,所以， 则，则这两个圆的位置关系为相交； 故选：C 【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】A 【分析】首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题 【例2】．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 【变式1】．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 【变式2】．（24-25高二上·海南·期末）已知圆，则点，若圆上存在一点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由求得点的轨迹方程为，将问题转化成两圆有公共点问题，利用两圆位置关系的判断方法解不等式即得. 【详解】设点，因， 则由可得：， 化简整理得：，即点的轨迹方程为， 依题意，圆与圆有公共点， 又，两圆半径分别为，故得， 即，即， 解得. 故选：A. 题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 【例3】．（24-25高二上·全国）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 【变式1】．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 【变式2】．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时又与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】 设动圆圆心为，半径为，则由题意可得化简可得答案. 【详解】 的圆心为，半径为2 设动圆圆心为，半径为， 由题意得，即 当时，化简得：，当时，化简得：， 故选：D. 题型四、两圆的公共弦方程 【例4】．（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】将圆和圆作差即可得两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】圆：和圆， 两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意； 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则两圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】两圆的方程直接相减即可得到结果. 【详解】圆：与圆：相交于A，B两点，则两圆的公共弦所在的直线方程让两圆的方程直接相减得. 故答案为：. 【变式2．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【详解】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 题型五、两圆的公共弦长问题 【例5】．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二上·贵州·期中）已知圆：与圆：的交点为、，则 ． 【答案】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再两圆方程作差求出公共弦方程，求出圆心到公共弦的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆：，即， 则圆心，半径； 圆：，即， 则圆心，半径； 所以，所以， 所以两圆相交，则两圆公共弦方程为， 即， 则圆心到直线的距离， 所以公共弦. 故答案为： 【变式2】．（24-25高二上·天津·期中）已知圆与圆相交于点、． ①若，则公共弦所在直线方程为 ． ②若弦长，则 ． 【答案】 或0 【分析】对于①直接由两圆方程相减得，对于②两圆的方程相减得直线方程，再结合弦长的几何法求解即可解决问题. 【详解】①若，则圆：，圆：， 两个方程相减得， 化简并整理得公共弦所在直线方程为， ②若弦长， 而两圆方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为， 则到直线的距离为：， 则，解得：，或， 故答案为：；或0. 题型六、两圆的公切线长问题 【例6】．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，或填或填） 【分析】先判断两圆位置关系可得公切线条数，再分不同情况进行讨论即可得. 【详解】设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切，    由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一，或填或填） 【变式1】．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 题型七：两圆的公切线条数 【例7】．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 【答案】3 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 【变式1】．（24-25高三下·江苏徐州·阶段练习）已知圆与圆恰有三条公切线，则 . 【答案】 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切， 由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径， 则，解得. 故答案为： 【变式2】．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 【变式3】．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 【答案】2 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可． 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 题型八：圆与圆位置关系的综合 【例8】．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． (1)求圆的标准方程； (2)求r的值以及点A的坐标； (3)过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）设圆，利用待定系数法即可求解； （2）根据两圆的位置关系可求出，联立两圆的方程可求出点的坐标； （3）设直线的方程为，表示出两圆的弦心距进而表示出和，最后利用列方程即可求解. 【详解】（1）设圆，由题意可知， 解得，所以圆的标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为，因为两圆内切于点，所以， 解得或（舍去）， 所以圆的标准方程为， 联立，解得，所以点的坐标为. （3）由题意可知，直线的斜率显然是存在的且大于，设直线的方程为，即， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 所以，解得或（舍去）， 故直线的方程为. 【变式1】．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】(1) (2)①；②（或写：） 【分析】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【详解】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 【变式2】．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于、两点，且，，点在斜率为的直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； (3)若存在圆心在直线上，半径为1的圆与圆外切，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设圆，根据题意列出方程求解； （2）设直线，求出圆心到直线的距离，结合，求出得解； （3）由题，求出到的距离，利用，求解. 【详解】（1）设圆， 根据题意，可得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）设直线，圆心到的距离， 因为，所以，即， 所以或， 所以直线的方程为或. （3）若存在圆与圆外切，即存在点使得， 因为到的距离，所以， 所以，即， 解得或，所以的取值范围为或. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆外切，得，则， 所以. 故选：C 2．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）圆：与圆：公切线的条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】求出两圆圆心距离和半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线的条数. 【详解】由圆，得圆心，半径； 由圆，得，即圆心，半径. 两圆圆心距， 所以，即两圆相交，所以两圆公切线有2条. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：（，为常数）与：.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】根据条件求出 的圆心 ，再根据 圆心的距离即可判断. 【详解】圆的方程为， 依题意，， 因为圆心与关于直线对称， 所以，又，，，， ，所以两个圆相交； 故选：B. 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用两圆的公共弦方程结合点到直线的距离计算即可. 【详解】由题意可得直线的方程为， 即0，则点到直线的距离是. 故选：B 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的定义、两圆相交的性质进行求解即可. 【详解】，圆心，半径为， 设动点到点的距离为6的轨迹为圆，圆心为， 因为圆上总存在两个点到点的距离为6， 所以圆与圆相交， 于是有， 解得，或， 故选：C 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线，可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式，即可得答案. 【详解】圆，整理得， 则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2， 因为两圆恰有三条公切线， 所以两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为， 所以，解得. 所以的最大值为. 故选：D 7．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公共弦直线方程的求解方式，用两圆联立相减即可. 【详解】联立 两式相减可得. 故选：D. 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】圆的标准方程为，半径， 当圆心到直线的距离时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意， 故有，解得，即的最大值为， 故选：D. 9．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 10．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（   ） A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C． 的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 【答案】C 【分析】依题意，设，利用先求出动点M的轨迹方程，得到是圆心在点，半径为的圆，结合作图，利用圆与圆之间位置关系判断，圆的切线性质以及圆上的点到定点距离的最值求解逐一判断各选项即可. 【详解】 设，由题意，，因，代入坐标可得：， 两边取平方，整理得：，即， 故点M的轨迹为是圆心在点，半径为的圆. 对于A，因圆与圆的圆心距满足，故两圆相交，即A错误； 对于B，由上分析知是圆心在点，半径为的圆，故B错误； 对于C，如图，当与圆相切时，取得最大值，此时记切点为， 因，则，故得的最大值即，故C正确； 对于D，由上分析，因圆的圆心与原点O都在轴上， 故圆与轴的右交点到原点O的距离最大，且距离最大为，故D错误. 故选：C. 二、多选题 11．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆和圆的公共点为，，则（    ） A． B．直线的方程是 C． D．为等腰三角形 【答案】BCD 【分析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，利用弦长公式逐项判断即可. 【详解】对于A，圆的圆心，半径为1，圆，圆心，半径为2，圆心距为2，故A错误； 对于B，公共弦所在的直线方程为：，即，故B正确； 对于C，圆心到的距离为，所以，故C正确； 对于D，，，，为等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 12．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知圆与圆，下列选项正确的有（    ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】BD 【分析】利用圆与圆的位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程相减可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若两圆外切，则，解得，A错； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 故当时，则直线为两圆的一条公切线，B对； 对于C选项，若，因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故当时，两圆公共弦所在直线的方程为，C错； 对于D选项，当时，圆心到直线的距离为， 此时两圆的公共弦长度为，D对. 故选：BD. 13．（25-26高二上·重庆·阶段练习）圆和圆的交点为A， B，则有（   ） A．圆的圆心为，半径为 B．公共弦AB所在直线方程为 C．线段AB中垂线方程为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【答案】ABC 【分析】求出圆的标准方程即可判断A选项，根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作差得出公共弦所在直线方程，判断选项B； 利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项C；利用点到直线的距离即可判断选项. 【详解】对于，由圆：可得， 所以圆的圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由圆：与圆的交点为A，B， 两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故B正确； 对于C，圆：的圆心为，， 则线段中垂线斜率为，即线段中垂线方程为：，整理可得，故C正确； 对于D，圆，圆心到的距离为，半径， 所以P到直线AB距离的最大值为，故D不正确； 故选：ABC 14．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．若，则直线的方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】先由圆心到直线距离得到直线与圆相离，由即可判断A；以P为圆心、为半径的圆与圆C作差即可求解判断B；设，由将问题转化为当取最大值时取最小值，接着在由即可求解判断C；由结合C即可求解判断D. 【详解】由题圆心，半径， 过圆心作，垂足为，则，直线与圆相离， 所以，故A错误； 当时，，则， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 依题意，直线即圆与圆的公共弦，故直线的方程为，即B正确； 设，因为， 所以，所以当取最大值时，取最小值， 而，所以当取最大值时，取最小值． 在， 此时，的最小值为，故C正确； 由C项，，当时等号成立，故D正确． 故选：BCD 15．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知点，圆，动点满足，为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若过点的直线与圆相切于点，且，则 B．若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为 C．若与圆仅有一个公共点，则 D．若与圆有两个公共点，则 【答案】ABD 【分析】利用轨迹方程求法中的直接法求出点的轨迹，对于选项AB，作出图象，数形结合可得答案；对于选项CD，利用两圆的位置关系可得答案. 【详解】已知点 ，，设点 ，满足 ， ，，代入条件：， 两边平方得：，整理：，， 配方得：， 因此，点 的轨迹 是以 为圆心、半径 2 的圆. 圆 的方程为 ，圆心为 ，半径 . 对于选项 A：，圆心 ，距离 ， 切线长公式：， 代入 ：，故选项 A 正确； 对于选项 B： 中，（半径垂直于切线），所以是直角三角形，直角在 ， 的面积 ， 其中 ， 因此 ， 故 在 时取到最大值 .故选项 B 正确； 选项 C：圆：圆心 ，半径 ；圆 ：圆心 ，半径 ， 圆心距 ， 两圆相切（一个公共点）的条件： 或 ， 由，得或， 由，得（舍去）. 因此 或 ，故选项 C 错误； 选项 D：两圆有两个公共点的条件：。 ， 恒成立， 只需：，故选项 D 正确. 故选：ABD    16．（25-26高二上·江苏·期中）圆与圆相交于、两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为4 C．线段的垂直平分线方程为 D．圆上的点与圆上的点的最大距离为 【答案】ABD 【分析】利用两圆的公共弦方程计算可判定A，利用弦长公式可计算判定B，利用两直线位置关系结合圆的对称性可判定C，利用圆的性质结合图象可判定D. 【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 连接、、、， 因为，所以直线过圆心，易知为的中点， 又因，所以，所以垂直平分线段，，则直线的方程为，即，C错； 对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为 ，D对. 故选：ABD. 三、填空题 17．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）两圆与的公共弦长等于 . 【答案】 【分析】由圆的方程求公共弦的方程，得到圆的圆心在公共弦上即可求解. 【详解】由题意，两圆的标准方程为，， 两圆方程相减可得公共弦方程为：， 因为圆心为，半径为， 该圆的圆心在公共弦上，所以公共弦长为该圆的直径. 故答案为： 18．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据条件确定圆D与圆C相外切，确定圆心D的坐标及圆D的半径，从而得到圆的标准方程. 【详解】圆的标准方程为， 则圆心，半径，圆C过原点. 因为圆与圆相切于坐标原点，且过点， 所以圆与圆相外切，圆心是线段的垂直平分线与直线的交点. 直线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，所以， 所以圆的半径，所以圆的标准方程为. 故答案为：    19．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由，得，由，得，由，得，画出曲线的图像，利用对称性可设，即，解出即可. 【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 画出曲线，如图所示.根据对称性可知，圆的圆心在轴的正半轴上， 设圆的标准方程为，则，解得， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 20．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 21．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先得到，设关于直线的对称点为，求出的最小值，进而得到的最小值． 【详解】的圆心为，半径为1. ，圆心为，半径为2． 因为，所以两圆相离，如图所示． 则， 当且仅当三点共线，三点共线且在之间，在之间时，等号成立． 设关于直线的对称点为， 连接，与直线交于点，此时， 故即为的最小值， 故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题 22、（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆和圆. (1)判断和的位置关系； (2)求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 【答案】(1)相交 (2)， 【分析】（1）首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断； （2）两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程，利用点到直线距离公式以及弦长公式求得正确答案. 【详解】（1）根据题意，圆的圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 所以圆心距，因为， 故圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有， 所以两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离， 故公共弦的弦长为. 23．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交， (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程. (3)求公共弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆的一般方程，求出圆心和半径，根据圆心距离和半径的关系，说明圆相交即可. （2）由（1）知两圆相交，则根据一般方程作差得公共弦方程，求出结果即可； （3）根据弦长公式，利用半径和弦心距，求出弦长即可. 【详解】（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径； 圆的标准方程为，所以圆心，半径； 两圆圆心距，，； 所以圆与圆相交. （2）由（1）知，圆与圆相交， 所以将圆与圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程， 得，化简得. （3）圆心到的距离为，圆的半径， 此时弦长为，即公共弦长为. 24．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上. (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程； (3)求直线：被圆截得的弦长最小时的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可设圆的方程为：，求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得圆的方程； （2）分析可得是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立即可求解； （3）求出直线的恒过点，则当时，直线：被圆截得的弦长最小，从而即可求解. 【详解】（1）由题可设圆的方程为：， 整理得，其圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得：， 所以圆的方程为：. （2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、，则是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程； 由于，，所以以为直径的圆的方程为：， 整理得：，即以为直径的圆的方程为， 联立，则， 所以经过两切点的直线方程为. （3）由直线：可得：， 令，解得，则直线过定点， 则当时，直线：被圆截得的弦长最小， 由于，所以，即， 则直线的方程为：.    25．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 26．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程． (2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且．若为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设线段的中点为，利用点与圆的位置关系得曲线的方程； （2）根据四点共圆可得圆的方程，由此可得直线是两圆公共弦所在直线，从而可得直线的方程； （3）设直线，联立直线与圆得交点坐标关系，再结合坐标运算与距离公式可得结论. 【详解】（1）设线段的中点为， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为． （2）因为 所以四点共圆，圆心为的中点(4,2)，半径为， 即圆的方程为，    直线是两圆公共弦所在直线，， 作差得，所以直线所在的直线为． （3）设直线， ，得， 即， 则， 所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边，    所以当是的中点时，， 所以存在定点为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2：圆与圆的位置关系 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点1　两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 知识点2 两圆的位置关系与公切线条数的关系 位置关系 公切线条数 图示 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 【题型归纳】 题型一、两圆位置关系的判断 【例1】．（25-26高二上·江苏连云港）圆和圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．内切 D．外切 【变式1】．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题 【例2】．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·海南·期末）已知圆，则点，若圆上存在一点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 【例3】．（24-25高二上·全国）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式1】．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【变式2】．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时又与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（    ） A． B．和 C． D．和 题型四、两圆的公共弦方程 【例4】．（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【变式1】．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则两圆的公共弦所在的直线方程为 . 【变式2．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 题型五、两圆的公共弦长问题 【例5】．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【变式1】．（24-25高二上·贵州·期中）已知圆：与圆：的交点为、，则 ． 【变式2】．（24-25高二上·天津·期中）已知圆与圆相交于点、． ①若，则公共弦所在直线方程为 ． ②若弦长，则 ． 题型六、两圆的公切线长问题 【例6】．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为 ．（写出一个即可） 【变式1】．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【变式2】．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 题型七：两圆的公切线条数 【例7】．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 【变式1】．（24-25高三下·江苏徐州·阶段练习）已知圆与圆恰有三条公切线，则 . 【变式2】．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【变式3】．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 题型八：圆与圆位置关系的综合 【例8】．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． (1)求圆的标准方程； (2)求r的值以及点A的坐标； (3)过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 【变式1】．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【变式2】．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于、两点，且，，点在斜率为的直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； (3)若存在圆心在直线上，半径为1的圆与圆外切，求的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）圆：与圆：公切线的条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：（，为常数）与：.若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 9．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（   ） A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C． 的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 二、多选题 11．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆和圆的公共点为，，则（    ） A． B．直线的方程是 C． D．为等腰三角形 12．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知圆与圆，下列选项正确的有（    ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 13．（25-26高二上·重庆·阶段练习）圆和圆的交点为A， B，则有（   ） A．圆的圆心为，半径为 B．公共弦AB所在直线方程为 C．线段AB中垂线方程为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 14．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．若，则直线的方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 15．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知点，圆，动点满足，为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若过点的直线与圆相切于点，且，则 B．若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为 C．若与圆仅有一个公共点，则 D．若与圆有两个公共点，则 16．（25-26高二上·江苏·期中）圆与圆相交于、两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为4 C．线段的垂直平分线方程为 D．圆上的点与圆上的点的最大距离为 三、填空题 17．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）两圆与的公共弦长等于 . 18．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为 . 19．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为 . 20．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 21．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是 ． 四、解答题 22、（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆和圆. (1)判断和的位置关系； (2)求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 23．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交， (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程. (3)求公共弦长. 24．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上. (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程； (3)求直线：被圆截得的弦长最小时的方程. 25．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 26．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程． (2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且．若为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $