专题06 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题06 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2024·吉林长春·一模）【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】（1）10；（2）；拓展延伸： 【分析】本题考查相似三角形的综合应用． （1）证明，通过对应边成比例求解； （2）作交于点M，通过，导出各边长比． 拓展延伸：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点M， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：连接，作交于点R， ∴，， 设，则，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． （2024·贵州遵义·一模）阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3）如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） 【答案】（1）  （2）  （3） 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据得到，则，当四边形是正方形时得，列式求解即可； （3）根据题意得到是等腰三角形，如图所示，过点作于点，交于点，在中，运用勾股定理得到，四边形是矩形，设，则，证明，由此列式求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）∵直线的解析式为，设点P的横坐标为t， ∴， ∵， ∴， 当四边形是正方形时，， ∴， 解得，，即； （3）∵， ∴，是等腰三角形， 如图所示，过点作于点，交于点， ∴， 在中，， 当四边形是正方形时，， ∴， ∴， 同理，，且， ∴四边形是矩形， ∴设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 例2（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 解得BD． 例3（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 例4（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，点分别是上的点，且，若，则的长是多少？ 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的面积比与相似比，根据已知面积求出根据得，从而可得，再根据即可求解． 【详解】∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 例5（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例2（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，，与相交于点E，，，点F在上，．求的长； 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，得到，进而得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 例3（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质． （1）根据平行四边形性质证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）根据（1）中结论求出，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例4（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是上的点，．连接，交于点G． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及相似三角形的判定定理． （1）由平行得到，则； （2）由相似得到，则，而平行四边形得到，则，那么，即可证明． 【详解】（1）解：∵． ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴的值为； （2）证明：由（1）知：， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 例5（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知和相交于点，点在上，． (1)求的长； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可判定，从而得比例式，再由，利用两组边成比例夹角相等判定，由此再得比例式，即可求得的长； （2）由可知相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 又， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，根据可得，，证明，从而，代入即可求解，再证明，得到，即可得求出． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ， ， ， ， ． 例2（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明、及是解题的关键． （1）由正方形的性质得，，，则，所以，根据相似三角形的性质即可得证； （2）由，证明，得，由，证明，得，则，代入数据求出，进而可求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 例3（2025·甘肃武威·一模）已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，再由同角的余角相等得出，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由正方形的性质可得，，，证明，得出，由同角的余角相等可得，结合角平分线的定义得出，证明，得出，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例4（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，，证得，得出 ，求出，则，由，得出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 例5（2024九年级下·江苏南京·竞赛）在梯形中，，，，连接、交于O，过O作，E、F在、上， (1)用含a，b的代数式表示； (2)，，比较与大小； (3)若两个梯形对应角相等，四组对应边的比例相同，则这两个梯形相似．证明使分得的梯形与梯形相似． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，得到，从而得到，同理证明得到，从而得解； （2）同理可得，从而得到，通过对变形可以证明，继而得到，从而得解； （3）过D作平行线交于M，交于N，则四边形和四边形是平行四边形，，，证明得到，继而证明，利用两直线平行同位角相等可得对应角相等，从而得证． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：与（1）同理可得：， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴，即； （3）解：过D作平行线交于M，交于N，则四边形和四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴梯形与梯形相似． 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形，可知，，然后根据平行线分线段成比例，可知，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，即， ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点是的边AD上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，由平行四边形性质可得，，，则有，通过相似三角形性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴的周长为：， 故选：． 3．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，，进而可得，则．由平行线分线段成比例可得；从而得，又可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴ ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴,故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·河南·模拟预测）如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，根据四边形是平行四边形，可知，，因为点是的中点，可知，根据可知，根据相似三角形对应边成比例可知，根据三角形的面积公式可知． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，过作于，证明出，根据相似三角形的性质得到，根据，可知，证明出，根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ， 又， ， ， ∴ ， ， 故答案为：2 ． 7．（24-25九年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，已知在中，是边的中点，与对角线相交于点的面积为，四边形的面积为，则与的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，即得，设，则，由得到，即得到，进而得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算求出，再由求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∵ 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，平分 (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求DE的值． 【答案】(1)见解析 (2)DE的值为 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，，再证明，则，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，设，则，再证明，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， 即的值为 10．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由四边形为平行四边形可知， ， ， ， 又， ． （2）解：由（1）得 ， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）中，，，对角线． (1)如图1，求的长． (2)如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是等腰三角形时，求的值． ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】通过作辅助线，将平行四边形的问题转化为直角三角形问题，利用三角函数和勾股定理来求解的长度． ①先根据求出的长度，再分情况讨论是等腰三角形时的长度，进而得到的长度，最后通过构造相似三角形来求解的值． ②通过作辅助线构造相似三角形，利用平行四边形性质、相似三角形性质以及角度关系，结合等边三角形的判定与性质来推导式子的值． 【详解】（1）解：过点作于点． ∵在中，，， ∴,． ∴． ． 在中，，，由勾股定理得： ． ∴． 故答案为：． （2）解：①∵,， ∴． 由知，，， ∴． 又∵， ∴是直角三角形，． 当时，， 过作交于，则． ∴，即：． 又∵， ∴． ∴． 当时，． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴是等边三角形， 过作交于，则． ∴． ∵， ∴． 当时，过作于， 在中，，， ∴，． 在中，，， ∴． ∴，即与重合，不符合题意，舍去． 综上，． ②解：过作交延长线于G． ∵，， ∴，． 又∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即：． ∴． 又∵，， ∴． 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形，利用相似三角形性质与勾股定理求解． 12．（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、一元二次方程的应用，结合图形利用平行线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，同时涉及复杂的计算，适合有能力解决几何难题的学生． 13．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②7 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 15．（24-25九年级上·山东德州·期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 【答案】（1）75，；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出即可求解； （2）过点B作交AC于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，再在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）如图2中，过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵∠，， ∴， ∴； 故答案为：75， ． 在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 （2）如图3中，过点B作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在中， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 16．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 17．（24-25九年级下·山东济南·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，交线段于点，若，求的值． (3)如图2，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点．试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3)为定值， 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入解析式求解即可； （2）构造相似三角形和，利用直线的解析式求出点坐标以及点关于的代数式，利用相似三角形的性质列方程求解即可； （3）通过辅助线构造直角三角形并用含有的代数式表示出和，再分别用两个三角函数表示，代入中，最后化简即可． 【详解】（1）抛物线与轴交于，两点 ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为：． （2）如图1，过点作轴，交的延长线于点，过点作轴交于点．则， ∴ 令，则， ∴ ∵直线过点和 设直线： ∴直线的解析式为：． ∵，轴 ∴当时，， ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴， 解得，． ∴当或2时，． （3）为定值， 理由如下： 如图2，过点作轴交轴于点． ∵，，对称轴是 ∴ 设 则，， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形的判定及性质以及三角函数，熟练掌握待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质以及运用三角函数解直角边是解决本题的关键． 18．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等边边长为6，O是中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周． (1)当、分别在、边上，连结、，求的面积； (2)设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长； (3)连结，取中点M，连结，的取值范围为_________． 【答案】(1) (2) (3)1≤DM≤5 【分析】（1）由O是等边三角形的中心，可知OM=，进而得到，从而EO∥BM，所以可得OD=EN，即可求解； （2）易证△AEF∽△OBF，得到，设AF=x，OF=y，求解即可； （3）取AE的中点N，连接MN，DN，由D、N在⊙A上，可知即MN-DN ≤DM≤DN+MN，易知MN是△AEC的中位线，从而求得． 【详解】（1）连接AO，并延长交BC于M，连接OB ∵O是等边△ABC的中心 ∴∠OBM=30°，BM=MC，AM⊥BC ∴OM== ∴ ∴EO∥BM 延长EO交AC于N，则△AEN为等边三角形 ∵EO∥BM ∴ ∴ON=OE，CN=DN=AD=2 ∴OD=EN=2 ∴ （2）连接OB，OA，如图， ∵O是等边△ABC的中心 ∴∠OBA=30°，OA=OB=2 ∴ ∵∠DAE=30° ∴AE=4，DE= 在△AEF和△OBF中 ∵∠ABO=∠AED=30°，∠AFE=∠BFO ∴△AEF∽△OBF(AA) ∴ 设AF=x，OF=y，则 解得，, 所以 （3）取AE的中点N，连接MN，DN， ∵D,N在⊙A的圆上 ∴当D、M、N三点共线时，DM最大或最小， 即MN-DN ≤DM≤DN+MN， ∴MN-2≤DM≤MN+2 当D、M、N三点共线如图1时， △AND为等边三角形， ∴∠NDA=∠DAC=60°， ∴MN∥AC ∵M，N为中点 ∴MN= ∴DM≥1 当D、M、N三点共线如图2时， △AND为等边三角形， ∴∠NDA=∠BAC=∠CAE=60°， ∴MN∥AC ∵M，N为中点 ∴MN= ∴DM≤5 故答案为：1≤DM≤5 【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运用相关性质和判定是解题关键． 19．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 设CD＝2a，则CG＝a， CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴， ∴， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答． 20．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②． 【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． （2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论； ②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论． 【详解】（1）证明：∵AC=AB， ∴∠ACB=∠B， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE， ∴∠BDE=∠ACD； （2）证明：如图1， ∵EG∥AC， ∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB， 由（1）知：∠DCA=∠BDE， ∵DC=DE， ∴△DCA≌△EDG（AAS）， ∴AD=EG， ∵∠B=∠ACB=∠BEG， ∴EG=BG=AD， ∴DG=AB， ∵DE=2DF，AF∥EG， ∴， ∴DG=2AD=2AG， ∴AB=DG=2AG； （3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G， 则有∠A=∠G， ∵AB=AC，CD=DE， ∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC， ∴∠ACD=∠EDG， 在△DCA和△EDG中， ∵， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG， ∵AC∥EG， ∴△ACB∽△GEB， ∴， ∵EG=AD，AC=AB， ∴AB•BE=AD•BC； ②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD， ∵AF∥EG， ∴， ∵DE=4DF， ∴， 设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a， ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠GBE=∠BEG， ∴BG=EG=4a， ∴BD=12a， ∵AH∥PD， ∴， 设PD=3h，AH=4h， ∵EG∥AC， ∴， 设BE=y，BC=4y， ∴S△ABC=BC•AH===8yh， S△DCE=CE•PD==yh， ∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强． 21．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE． （1）求证：DH＝CE； （2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长； （3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当时，值为　　 　 　．（直接写答案） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得，根据可证明，即可求解； （2）由以及，可得，，即，则，即可求解； （3）设，则，，求出和，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形为正方形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）∵ ∴， ∵点E是CD的中点 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 （3）当，则， ∵， ∴ 由正方形的性质可得平分，∴到、距离相等， ∴ 由（2）得 ∴ ∴， 设，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2024·吉林长春·一模）【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． （2024·贵州遵义·一模）阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3）如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 例2（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长． 例3（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 例4（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，点分别是上的点，且，若，则的长是多少？ 例5（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 例2（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，，与相交于点E，，，点F在上，．求的长； 例3（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例4（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是上的点，．连接，交于点G． (1)求的值； (2)求证：． 例5（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知和相交于点，点在上，． (1)求的长； (2)如果，求的值． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 例2（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 例3（2025·甘肃武威·一模）已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 例4（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 例5（2024九年级下·江苏南京·竞赛）在梯形中，，，，连接、交于O，过O作，E、F在、上， (1)用含a，b的代数式表示； (2)，，比较与大小； (3)若两个梯形对应角相等，四组对应边的比例相同，则这两个梯形相似．证明使分得的梯形与梯形相似． 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点是的边AD上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 7．（24-25九年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，已知在中，是边的中点，与对角线相交于点的面积为，四边形的面积为，则与的比值为 ． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，平分 (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求DE的值． 10．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 11．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）中，，，对角线． (1)如图1，求的长． (2)如图2，是边上一点，是边上一点，连接，，记交点为． ①当，且是等腰三角形时，求的值． ②当时，求的值． 12．（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 13．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 14．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 15．（24-25九年级上·山东德州·期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 16．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 17．（24-25九年级下·山东济南·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，交线段于点，若，求的值． (3)如图2，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点．试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 18．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等边边长为6，O是中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周． (1)当、分别在、边上，连结、，求的面积； (2)设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长； (3)连结，取中点M，连结，的取值范围为_________． 19．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 ； （2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ． 20．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 21．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE． （1）求证：DH＝CE； （2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长； （3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当时，值为　　 　 　．（直接写答案） 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $