专题02 数轴上的三种动点问题（重难点培优：知识点总结+三大考点题型+能力提升练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题02 数轴上的三种动点问题目录 A · 重难点题型分类 题型1：动点中求值问题……………………………………………………… 1 题型2：动点中定值问题……………………………………………………… 3 题型3：动点中点之间的关系问题…………………………………………… 5 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 8 知识梳理 1. 数轴上A、B两点表示的数为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b| 2. 数轴上A、B、C两点表示的数为a、b、c，C为线段AB的中点，则c表示的数为 重难点题型分类 【题型1：动点中求值问题】 【例1】如图，数轴上点A，C所表示的数分别是a和c，且满足，点B表示的数是- 3． (1)求数a，c， (2)点A，B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动的时间为t秒，在运动过程中，点A，B到原点的距离相等时，求t的值． 【变式1-1】如图，数轴上的点和点分别表示和，点是线段上一动点．点沿以每秒个单位的速度往返运动次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过秒）．若点在运动过程中，当＝时，则运动时间的值为 ． 【变式1-2】【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蚂蚁P、Q在长18分米的赛道上同时相向匀速运动，电子蚂蚁P从A出发，速度为4分米分钟，电子蚂蚁Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁P到达B时，电子蚂蚁P，Q停止运动，经过几分钟P，Q之间相距6分米？ 【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为． (1)t分钟后点P在数轴上对应的数是_____________；点Q对应的数是_____________；（用含t的代数式表示） (2)我们知道，如果数轴上M，N两点分别对应数m，n，则．试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距6分米？ (3)在赛道上有一个标记位置C，．若电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为a，电子蚂蚁Q与B之间的距离为b．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒． (1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度． (2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？ (3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度． 【题型2：动点中定值问题】 【例1】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|=-（b-6）2． (1)A，B两点对应的数分别为a＝______，b＝______． (2)若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？ (3)若点A，B以（2）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB-OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值；若不变，请求出这个定值． 【变式1-1】数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB=4，且OB=3OA．A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)a= ，b= ，并在数轴上面标出A、B两点； (2)若PA=2PB，求x的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由若不变，请求其值． 【变式1-2】已知数轴上两点A，B对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+4|+（b﹣8）2＝0． （1）如图1，如果点P和点Q分别从点A，B同时出发，都沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位，设运动的时间为t（秒）．①当BP＝3AP时，t的值为 　 　. ②当P、Q之间的距离为4时，求点Q对应的数． （2）如图2，如果点P从点A出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点M、N分别是线段AP、BP的中点，在运动过程中，线段MN的长度是否为定值．如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出线段MN的长度． 【变式1-3】已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋（b﹣9）2＝0，O为原点． (1)试求a和b的值； (2)点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍，求点C的运动速度？ (3)点D以1个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以5个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以20个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由． 【题型3：动点中点与点之间的关系问题】 【例1】如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且到点A的距离是24，点C在点A与点B之间，且． (1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ； (2)若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，在运动过程中， ①当t为何值时，点P与点Q相遇？ ②当t为何值时，点P与点Q间的距离为9个单位长度？ 【变式1-1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最大的负整数，a，c满足|a+3|+（c﹣7）2＝0． （1）填空：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　； （2）现将点A，B，C分别以每秒2个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设点A的运动时间为t秒． ①当t＝2时，AC＝　 　，BC＝　 　； ②在运动过程中，若A，B，C中的任意一点是以另外两点为端点的线段的中点，求此时t的值． 【变式1-2】伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米； (2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？ (3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？ (4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 【变式1-3】如图，数轴上点为原点，点所表示的数为，点所表示的数为，且、满足． (1)请直接写出点所表示的数：______，点所表示的数：______． (2)如图1，点从出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点运动的同时，点从出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点到点、原点的距离始终相等，设点到点之间的距离为，求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，当点、之间的距离等于时，从点出发（点所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时、仍按原速度、原方向运动，当与、都未相遇之前，是否存在点，使点到点、距离之和等于点到原点距离，若存在，求点所表示的数，若不存在，请说明理由． 能力提升 一、解答题 1．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上，点表示的数是20，点表示的数为60，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，求点表示的是哪个数． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，， 点、、、都在效轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为______． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离__________，线段的中点C表示的数为________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________；点Q表示的数为___________； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 5．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 6．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非装常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间 的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，数轴上的表示数2的点与原点（即表示0的点）之间的距离是，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．我们总结为数轴上的点与点之间的距离，是这两个点所对应的数的差，是大数减小数，永远表示距离． 已知数轴上两点A，B，点A在点B的左边，原点O是线段上的一点，已知，线且．点A，B对应的数分别是a，b，点P为数轴上的一动点． (1) ___________， __________，并在数轴上面标出A，B两点； (2)点P对应的数为x，若，求x的值； (3)点Q，M在数轴上，点P以每秒2个单位长度的速度从原点O出发向右运动，同时点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，求的值． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合。研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P．Q两点都停止运动，设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)填空：A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______： (2)当t为何值时，P，Q两点间距离为3． (3)若点M为的中点，点N为的中点，在运动过程中，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出相应的数值． 8．（23-24七年级下·四川内江·期中）已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 9．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）【问题背景】盐丰快速通道是盐丰一体化发展的重要一环也是盐城市建设长三角一体化产业发展基地的“轴线”，被列为全市重点道路交通项目，一直是众人关注的焦点． 如图1，两辆盐丰公交P、Q在长9公里的上同时相向匀速运动，盐丰公交P从A出发，速度为2公里/分钟，盐丰公交Q从B出发，速度为1公里/分钟，当盐丰公交P到达B时，盐丰公交P，Q停止运动．经过几分钟P，Q之间相距3公里？ 【问题解决】小丰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t（）． (1)t分钟后点P在数轴上对应的数是______；点Q对应的数是______；（用含t的代数式表示） (2)我们知道，如果数轴上M，N两点分别对应数m，n，则．试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距3公里？ (3)在上有一个标记位置C，，若盐丰公交P与标记位置C之间的距离为a，盐丰公交Q与B之间的距离为b．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 10．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在数轴上，点表示数，点表示数，且，满足． (1)________；________； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒． ①当时，甲小球到原点的距离为_______；乙小球到原点的距离为______； ②当时，甲、乙两小球之间的距离为_______；（用含的式子表示） ③求甲、乙两小球到原点的距离相等时，乙小球在数轴上对应的数； ④若当甲和乙开始运动时，挡板也从原点以1个单位长度/秒的速度向右运动，直接写出在运动过程中，甲、乙两小球之间的距离在5个单位长度之内（包含5个单位长度）的时长． 11．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图1，在数轴上从左到右依次是A、B、C三个点，且A、B两点位于原点O的两侧，A点所表示的数为 ，且； (1)求出数轴上点B、C所表示的数； (2)如图2，动点P从A点出发，以4个单位长度每秒的速度沿方向运动，到达C点后，立即掉头以原速返回；与此同时，另一动点Q从B出发，以1.5个单位长度每秒的速度沿方向运动，到达C后，点P、Q停止运动．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当时，求出满足条件的t的值； (3)在第（2）问的条件下，有另一动点M与P、Q同时出发，从点C以3个单位长度每秒的速度沿方向运动，当点P停止运动时，点M停止运动．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当P、Q、M三点中一点是另外两点的中点时，请直接写出满足条件的t的值． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴上的三种动点问题目录 A · 重难点题型分类 题型1：动点中求值问题……………………………………………………… 1 题型2：动点中定值问题……………………………………………………… 5 题型3：动点中点之间的关系问题…………………………………………… 11 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 19 知识梳理 1. 数轴上A、B两点表示的数为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b| 2. 数轴上A、B、C两点表示的数为a、b、c，C为线段AB的中点，则c表示的数为 重难点题型分类 【题型1：动点中求值问题】 【例1】如图，数轴上点A，C所表示的数分别是a和c，且满足，点B表示的数是- 3． (1)求数a，c， (2)点A，B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动的时间为t秒，在运动过程中，点A，B到原点的距离相等时，求t的值． 【答案】(1) (2)t的值是1或 【分析】（1）根据非负数的性质来求a、c的值； （2）需要分类讨论：点A、B在点O的同侧和在点O的异侧两种情况，等量关系是：OA=OB． 【详解】（1）解：∵， ∴a+4=0，c-1=0， 解得； （2）当点A、B在点O的同侧时，4-2t=3-t， 解得t=1； 当点A、B在点O的异侧时，2t-4=3-t， 解得， 综上所述，在运动过程中，点A，B到原点O的距离相等时，求t的值是1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式1-1】如图，数轴上的点和点分别表示和，点是线段上一动点．点沿以每秒个单位的速度往返运动次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过秒）．若点在运动过程中，当＝时，则运动时间的值为 ． 【答案】秒或秒或秒或秒 【分析】分当 时和当 时两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当 时，动点P所表示的数是2t， ∵PB=2 ∴ ， ∴ 或 ， 解得 或 ； ②当 时，动点P所表示的数是20-2t， ∵PB=2 ∴ ， ∴ 或 ， 解得 或 ； ∴综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒秒． 故答案为：秒或秒或秒秒． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴上点的位置关系，解题的关键在于能够分类讨论P点的位置． 【变式1-2】【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动．如图1，电子蚂蚁P、Q在长18分米的赛道上同时相向匀速运动，电子蚂蚁P从A出发，速度为4分米分钟，电子蚂蚁Q从B出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁P到达B时，电子蚂蚁P，Q停止运动，经过几分钟P，Q之间相距6分米？ 【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为． (1)t分钟后点P在数轴上对应的数是_____________；点Q对应的数是_____________；（用含t的代数式表示） (2)我们知道，如果数轴上M，N两点分别对应数m，n，则．试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距6分米？ (3)在赛道上有一个标记位置C，．若电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为a，电子蚂蚁Q与B之间的距离为b．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过2分钟或4分钟，P、Q之间相距6分米 (3)存在或，使得 【分析】（1）根据路程时间速度结合数轴表示有理数的方法进行求解即可； （2）根据数轴上两点距离公式结合（1）所求，建立方程求解即可； （3）先求出点C表示的数，再根据两点距离公式分别求出，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，t分钟后点P在数轴上对应的数是，点Q在数轴上对应的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得， ∴， ∴或， ∴或， ∴经过2分钟或4分钟，P、Q之间相距6分米； （3）解：∵， ∴点C表示的数为6， ∵电子蚂蚁P与标记位置C之间的距离为a，电子蚂蚁Q与B之间的距离为b， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴存在或，使得． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值方程，用数轴表示有理数，熟练掌握数轴上两点距离公式和解绝对值方程的方法是解题的关键． 【变式1-3】如图，数轴上两个动点A，B起始位置所表示的数分别为，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒． (1)若A，B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度． (2)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？ (3)若A，B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有，求C点的运动速度． 【答案】(1)1个单位/秒 (2)4秒和20秒 (3)个单位/秒 【分析】（1）根据速度=路程÷时间，即可解决问题； （2）由OA+OB大于8个单位长度，分两种情况，一种B在右侧，一种A点在右侧，再根据时间=路程÷速度，即可解决问题； （3）要想始终保持CA=2CB，则C点的速度应介于A、B两者之间，设出C点速度为x个单位/秒，联立方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：B点的运动速度为： =1个单位/秒． （2）∵OA+OB=8+4=12＞8，且A点运动速度大于B点的速度， ∴分两种情况， ①当点B在点A的右侧时， 运动时间为=4秒． ②当点A在点B的右侧时， 运动时间为=20秒， 综合①②得，4秒和20秒时，两点相距都是8个单位长度； （3）设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知 8+（2-x）×t=[4+（x-1）×t]×2， 整理，得2-x=2x-2， 解得x=， 故C点的运动速度为个单位/秒． 【点睛】本题考查了两点间的距离和一元一次方程的应用，解题的关键：（1）牢记速度=路程÷时间；（2）分两种情况，再结合时间=路程÷速度即可；（3）设出C点速度，联立方程，求解一元一次方程，能熟练的运用解一元一次方程来解决实际问题． 【题型2：动点中定值问题】 【例1】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|=-（b-6）2． (1)A，B两点对应的数分别为a＝______，b＝______． (2)若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？ (3)若点A，B以（2）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB-OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值；若不变，请求出这个定值． 【答案】(1)-8；6 (2)2秒或秒 (3)不变，20 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值； （2）当运动时间为x秒时，点A表示的数为4x-8，点B表示的数为-2x+6，根据AB=2，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）在运动过程中，AP+2OB-OP的值不会发生变化，当运动时间为t秒时，点A表示的数为4t-8，点B表示的数为2t+6，点P表示的数为7t，进而可得出AP=3t+8，OB=2t+6，OP=7t，再将其代入AP+2OB-OP中即可求出结论． 【详解】（1）解：∵a，b满足|a+8|=-（b-6）2， ∴a+8=0，b-6=0， ∴a=-8，b=6． 故答案为：-8；6； （2）解：当运动时间为x秒时，点A表示的数为4x-8，点B表示的数为-2x+6． 依题意得：|-2x+6-（4x-8）|=2， 即14-6x=2或6x-14=2， 解得：x=2或x=． 答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度； （3）解：在运动过程中，AP+2OB-OP的值不会发生变化． 当运动时间为t秒时，点A表示的数为4t-8，点B表示的数为2t+6，点P表示的数为7t， ∴AP=7t-（4t-8）=3t+8，OB=2t+6，OP=7t， ∴AP+2OB-OP=（3t+8）+2（2t+6）-7t=3t+8+12+4t-7t=20． ∴在运动过程中，AP+2OB-OP的值不会发生变化，该定值为20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及偶次方及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各点之间位置关系，用含t的代数式表示出AP，OB，OP的长． 【变式1-1】数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB=4，且OB=3OA．A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)a= ，b= ，并在数轴上面标出A、B两点； (2)若PA=2PB，求x的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由若不变，请求其值． 【答案】(1)，作图见解析 (2)或 (3)不变，8，理由见解析 【分析】（1）根据AB=4，且OB=3OA，即可确定a、b的值． （2）分别用含x的解析式表示出PA和PB的长度，再根据PA=2PB建立等式，就可以求出x的值． （3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB-PA，并化简就可以确定这是一个定值． 【详解】（1）解： AB=4，且OB=3OA，A、B对应的数分别是a、b， 故答案为： （2）解：①当P点在A点左侧时，PA<PB，不合题意，舍去 ②当P点位于A、B两点之间 解得 ③当P点在B点右侧时 解得 故x的值为解得或． （3）解：t秒后，A点的值为，P点的值为2t，B点的值为 所以3PB-PA的值为定值，不随着时间t的变化而改变． 【点睛】此题考查了数轴两点之间距离、动点的坐标值的表示以及代数式定值问题的证明，解题的关键是动点坐标值的表示以及分类讨论思想的运用． 【变式1-2】已知数轴上两点A，B对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+4|+（b﹣8）2＝0． （1）如图1，如果点P和点Q分别从点A，B同时出发，都沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位，设运动的时间为t（秒）．①当BP＝3AP时，t的值为 　 　. ②当P、Q之间的距离为4时，求点Q对应的数． （2）如图2，如果点P从点A出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点M、N分别是线段AP、BP的中点，在运动过程中，线段MN的长度是否为定值．如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出线段MN的长度． 【答案】（1）①3； ②t＝2或4；（2）线段MN的长度为定值． 【分析】（1）①先根据绝对值与平方的非负性求出a=-4，b=8，然后根据线段之间的关系分别列出方程即可求解； ②求出PQ用含t的式子表示，根据题意列出方程即可求出答案． （2）根据中点公式以及两点之间距离公式即可求出答案． 【详解】（1）①∵， ∴a+4=0或b-8=0， 解得a=-4，b=8， ∵点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位， 根据题意可得P点表示的数为-4-2t，Q点表示的数为8-6t ∴BP=8+4+2t=12+2t，AP=-4+4+2t=2t ∵ ∴12+2t=3×2t 解得t=3; 故答案为：3； ②∵P点表示的数为-4-2t，Q点表示的数为8-6t ∴PQ=|−4−2t−8＋6t| ∴|−4−2t−8＋6t|＝4，即|−12＋4t|＝4 -12+4t=-4或-12+4t=4 ∴解得：t＝2或4； （2）设ts后，点P对应的数为2t−4， ∴M对应的数为＝t−4， N对应的数为＝t＋2， ∴MN＝|t−4−t−2|＝6， 故线段MN的长度为定值． 【点睛】本题考查一元一次方程与数轴，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型． 【变式1-3】已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋（b﹣9）2＝0，O为原点． (1)试求a和b的值； (2)点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍，求点C的运动速度？ (3)点D以1个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以5个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以20个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1)a＝﹣3，b＝9 (2)每秒2个单位或每秒5个单位 (3)的值不发生变化，见解析 【分析】（1）由，可得，； （2）设的速度为每秒个单位，可得，即可解得的速度为每秒2个单位或每秒5个单位； （3）设运动时间为秒，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，由、分别为、的中点，有表示的数是，表示的数是，故，，进一步即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：设的速度为每秒个单位，则运动后表示的数是， 根据题意得， 或， 解得或， 的速度为每秒2个单位或每秒5个单位； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 设运动时间为秒，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是， 、分别为、的中点， 表示的数是，表示的数是， ，，， ， 的值不发生变化． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的式子表示点运动后所表示的数． 【题型3：动点中点与点之间的关系问题】 【例1】如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且到点A的距离是24，点C在点A与点B之间，且． (1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ； (2)若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，在运动过程中， ①当t为何值时，点P与点Q相遇？ ②当t为何值时，点P与点Q间的距离为9个单位长度？ 【答案】(1)（1）20； 2 (2)①当为时，点与点相遇；②当为3或时，点与点间的距离为9个单位长度 【分析】（1）根据数轴上点的距离，求解即可； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，①由题意知，，计算求解即可；②由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知 ∴点表示的数是 ∵ ∴ 解得 ∴点表示的数是 故答案为：20；2． （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为 ①由题意知， 解得： ∴当为时，点与点相遇． ②由题意知 ∴时，； 时，； ∴当为3或时，点与点间的距离为9个单位长度． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数数，数轴上两点之间的距离．解题的关键在于对知识的灵活运用． 【变式1-1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最大的负整数，a，c满足|a+3|+（c﹣7）2＝0． （1）填空：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　； （2）现将点A，B，C分别以每秒2个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设点A的运动时间为t秒． ①当t＝2时，AC＝　 　，BC＝　 　； ②在运动过程中，若A，B，C中的任意一点是以另外两点为端点的线段的中点，求此时t的值． 【答案】（1）-3；-1；7；（2）①8；8；②6或18 【分析】（1）根据b是最大的负整数求出b=-1,，根据非负数的和为0性质，得出，解方程求出即可； （2）①先用t表示A、B、C表示的数当t=2时，求代数式的值求出A表示的数为1，B表示的数为1，C表示的数为9，利用数轴上两点距离公式AC=9-1=8，BC=9-1=8即可；②分三种情况讨论当点B为线段AC的中点，AB=BC，列方程，当A为线段BC的中点时，AB=AC，-3+2t-（-1+t）=7+t-（-3+2t），当C为线段AB的中点时，AC=BC，-3+2t-（7+t）=7+t-（-1+t）解方程即可． 【详解】解：（1）∵b是最大的负整数， ∴b=-1， ∵， ∴， 解得， ∴ 故答案为：-3；-1；7； （2）在运动过程中A表示的数为-3+2t，B表示的数为-1+t，C表示的数为7+t， ①当t=2时，A表示的数为1，B表示的数为1，C表示的数为9， ∴AC=9-1=8，BC=9-1=8， 故答案为：8；8； ②分三种情况讨论： 当点B为线段AC的中点，AB=BC， ∴， 解得t=-6不合题意舍去； 当A为线段BC的中点时，AB=AC， ∴-3+2t-（-1+t）=7+t-（-3+2t）， 解得t=6； 当C为线段AB的中点时，AC=BC， ∴-3+2t-（7+t）=7+t-（-1+t）， 解得t=18． 综上，若A，B，C中的任意一点是以另外两点为端点的线段的中点，此时t的值为6或18． 【点睛】本题考查非负数和为0的性质，数轴上点表示数，数轴上动点，两点距离，线段中点，列代数式，一元一次方程解法，掌握非负数和为0的性质，数轴上点表示数，数轴上动点，两点距离，线段中点，列代数式，一元一次方程解法，利用非负数和为0确定A、C两点在数轴上位置是解题关键． 【变式1-2】伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于处，向右行驶.乙动车位于处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为；甲、乙两动车长度相等，速度均为米/秒.表示的数分别是，且满足. (1)______，间的距离是______米，间的距离是______米； (2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于米？ (3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米？ (4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值. 【答案】(1) ；； (2)秒或秒 (3)秒或秒 (4) 【分析】（1）先求出的值，然后根据甲、乙两动车长度相等求解； （2）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可； （3）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可； （4）确定同时在五峰山长江大桥上的开始时刻与结束时刻，计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ， ∴ ，， ∵甲、乙两动车长度相等 ∴ （米） （米） 故答案为：100，1400，1600； （2） 解：（米），（米）（秒） （秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，，点M到点C的距离等于米． （3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时； （米） （米） （米） （秒） 当点M在点C右侧时； （米） （米） （米） （秒） 答：甲动车行驶秒或秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于米． （4）解：存在； 乘客M到达点B的时间为： （秒） 乘客M到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点C的时间为：（秒） 乘客N到达点B的时间为：（秒） ， （秒） 故的值为：； 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的混合运算；熟练根据数轴上的两点求距离是解题的关键． 【变式1-3】如图，数轴上点为原点，点所表示的数为，点所表示的数为，且、满足． (1)请直接写出点所表示的数：______，点所表示的数：______． (2)如图1，点从出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点运动的同时，点从出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点到点、原点的距离始终相等，设点到点之间的距离为，求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，当点、之间的距离等于时，从点出发（点所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时、仍按原速度、原方向运动，当与、都未相遇之前，是否存在点，使点到点、距离之和等于点到原点距离，若存在，求点所表示的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点表示的数是，点表示的数是2 (2)4 (3)存在，或 【分析】（1）根据有理数的非负性性质,得到a=4=0，b-2=0计算即可． （2）根据题意，P表示的数是2t-4，Q表示的数是t+2，M表示的数，分类讨论计算即可． （3）运用分类思想计算即可． 【详解】（1）∵， ∴a=4=0，b-2=0， ∴点表示的数是，点表示的数是2， 故答案为：-4，2． （2）设点与点的运动时间为秒，由题知：点所表示的数：， 点所表示的数：，点所表示的数：， ①当点在负半轴上时， ∴，， ∴， ②当点在正半轴上，点的左侧时， ∴，， ∴； ③当点在正半轴上，点的右侧时， ∴，， ∴（舍）， 综上所述，的值为4． （3）∵，且， ∴     （1）当点在点的左侧时， ∴，，， ∴， ∴， ∴点表示的数为： ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴所表示的数为； （2）当点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴ ∴点表示的数为：， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴所表示的数为， 综上所述，所表示的数为或． 【点睛】本题考查了有理数的非负性，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，正确掌握解题的要领，清楚数轴上的两点距离计算方法是解题的关键． 能力提升 一、解答题 1．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上，点表示的数是20，点表示的数为60，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，求点表示的是哪个数． 【答案】35或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：在点运动过程中，分两种情况： ①当点运动到点右侧时， ∵， ∴， 此时点表示的数是； ②当点运动到点左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 综上所述，点表示的数是35或． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，， 点、、、都在效轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为______． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，；②或 【分析】本题考查数轴上点的运动，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题关键是表示出运动后点表示的数． （1）根据绝对值的非负性即可得解即可求解； （2）根据题意，由建立方程，求解即可得出答案； （3）①分别求得点与点重合、点与点重合所需时间，求出两个时间差即可；②分两种情况：当点在线段上，当点在线段上，根据题意建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ∵， ∴， 解得：或， ∴的值为或； （3）①由题意得：当长方形完全落在长方形上时，重叠部分的面积最大，最大面积为长方形的面积，为， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时：， 解得：， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴点与点重合时有， 解得， ∵（秒）， ∴的最大值为，持续的时间为秒， 故答案为：， ； ②由，得重叠部分面积为， 当点在线段上，且时，即， ∴， 解得， ∴表示的数为， 当点在线段上，且时，即， ∴， 解得， ∴表示的数为， 故答案为或； 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，见解析 (2)①见解析；②当或时，的值与无关 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）①运动t秒后点在数轴上所表示的数为，由可得点在数轴上所表示的数为0，进一步可推出，即可求解；②分类讨论当点位于点的右侧时和当点位于点的左侧时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．理由如下： ， ，，， ，，， 点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． （2）解：①运动t秒后点在数轴上所表示的数为． 由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． ， 点在数轴上所表示的数为0， ，即， ， ∵， ． ②点C从原点出发，运动秒后，点在数轴上表示的数为， ，． 当点位于点的右侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 当点位于点的左侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 综上所述，当或时，的值与无关． 4．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离__________，线段的中点C表示的数为________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________；点Q表示的数为___________； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】（1）①10；1； ②、（2）当或3时，、（3）不会发生变化， 【分析】（1）①根据数轴上两点间距离公式和中点公式进行计算即可； ②根据题干信息列出代数式即可； （2）根据，，得出，然后解绝对值方程即可； （3）根据中点坐标公式得出：点M表示的数为，点N表示的数为，根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】解：（1）①A、B两点间的距离，线段的中点C表示的数为：； 故答案为：10；1； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为； 故答案为：；． （2）∵t秒后，点P表示的数是．点Q表示的数是， ， 又∵， ∴， 或 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离公式，用数轴上点表示有理数，列代数式，绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 5．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键． （1）由已知可得即可求； （2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可； （3）分四种情况：①当点P与点M第一次相遇后，点Q在点M右侧1个单位长度处；②当点P与点M第一次相遇后，点P在点N左侧1个单位长度处；③当点P追上点N后，点P在点N左侧1个单位长度处；④当点P追上点N后，点Q在点M右侧1个单位长度处，四种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的多项式是二次多项式， ， ， 故答案为：，； （2）解：点Q在到达点B前： ①当点Q为中点时，， 点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，，， 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ， ，即， 解得：； ②当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（不合题意，舍去）； 点Q在到达点B时：， 点Q在到达点B后： 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ①当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（舍去，不符合题意）； ②当点Q为中点时，， ， ，即， 解得：； 当点P运动到点C时，线段同时停止运动， 此时：， 综上，t的值为或； （3）解：当点Q与点M第一次重合时，则， 解得， ∴此时点Q表示的数为，点M表示的数为5， ∴点P表示的数为，点N表示的数为 当时，Q表示的数为，P表示的数为， 当时（两条线段有交点），Q表示的数是，P表示的数是， N表示的数是，M表示的数是， 当点P与点N第一次重合时，则， 解得， ∴此时点Q表示的数为，点N表示的数为； ①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时，， 解得， ②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，， 解得； 当点Q到达点C时，则， 解得， ∴此时点N表示的数为，点P表示的数为， 当点P追上点N时，则， 解得， ∴此时点P表示的数为； ∴当（两条线段有交点），点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为，点M表示的数为； ③当点P在点N左侧1个单位长度时，则， 解得； ④当点Q在点M右侧1个单位长度时，则 解得； 综上所述，t的值是或或或． 6．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非装常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间 的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，数轴上的表示数2的点与原点（即表示0的点）之间的距离是，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．我们总结为数轴上的点与点之间的距离，是这两个点所对应的数的差，是大数减小数，永远表示距离． 已知数轴上两点A，B，点A在点B的左边，原点O是线段上的一点，已知，线且．点A，B对应的数分别是a，b，点P为数轴上的一动点． (1) ___________， __________，并在数轴上面标出A，B两点； (2)点P对应的数为x，若，求x的值； (3)点Q，M在数轴上，点P以每秒2个单位长度的速度从原点O出发向右运动，同时点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，求的值． 【答案】(1)，，见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解绝对值方程； （1）根据题意求出，，再由点O为原点，点A在点B的左边即可得到，，然后在数轴上标出A，B两点即可； （2）根据列出绝对值方程，解方程可得答案； （3）设运动时间为t，可得，，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点O为原点，点A在点B的左边， ∴，， 点A，B位置如图所示： 故答案为：，； （2）∵， ∴， 解得：或； （3）设运动时间为t， 则t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，， ∴． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合。研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P．Q两点都停止运动，设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)填空：A，B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______： (2)当t为何值时，P，Q两点间距离为3． (3)若点M为的中点，点N为的中点，在运动过程中，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出相应的数值． 【答案】(1)，； (2)当或或时，P，Q两点间距离为3； (3)当时，的值不会发生变化，相应的数值为；当时，的值会发生变化，理由见解析． 【分析】（1）根据A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为进行求解； （2）分两种情况：当Q点未到达A点前；当Q点到达A点返回后；分别表示出点P与点Q表示的数，结合已知条件列出方程并解答即可； （3）先利用中点公式求出点M和点N表示的数，分两种情况：①当点Q由B向A运动过程中，即时，②当时，分别进行求解即可得到答案． 此题考查了数轴上的动点问题，绝对值方程，弄清数轴上两点间的距离公式和中点公式是基础，分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：当Q点未到达A点前，， ∵t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当Q点到达A点返回后，则，点P表示的数为，点Q表示的数为，此时点P在前，点Q在后， 由得：， 解得：； ∴当或或时，P，Q两点间距离为3； （3）解：会发生变化， 由题意可知，点P整个过程的运动时间是秒，点Q整个过程的运动时间是 秒，分两种情况讨论如下： ①当点Q由B向A运动过程中，即时， ∵点M为的中点，点N为的中点，t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，． ∴， 故当时，的值不会发生变化，相应的数值为． ②当点Q由A向B运动过程中，即时， ∵点M为的中点，点N为的中点，t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，． ∴当时，的值会发生变化， 综上可知，当时，的值不会发生变化，相应的数值为；当时，的值会发生变化． 8．（23-24七年级下·四川内江·期中）已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 【答案】(1) (2)D 点对应的数为 (3)，E 点对应的数为 (4)存在，运动时间为 【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出，，的值； （2）先设点对应的数为，根据数轴上两点间的距离可以用分别表示出，，，再根据求出即可； （3）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，然后根据三点到达同一点得出方程求解即可； （4）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，再根据，是中点，根据中点坐标公式求出，，根据、两点到原点的距离相等，列方程，求解即可． 此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 【详解】（1）解：， 且且， 解得：，，， ，，； （2）解：设点对应的数为， 在之间，则， ，，， ， 解得：， 点对应的数为； （3）解：存在，设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 三点到达同一点时，有， 解得，， 点对应的数为； （4）解：存在， 设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 为中点， 对应的数为， 为的中点， 对应的数为， 、两点到原点的距离相等， 则， 解得或（舍去）， 存在某时刻，、两点到原点的距离相等，此时刻是运动到第秒． 9．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）【问题背景】盐丰快速通道是盐丰一体化发展的重要一环也是盐城市建设长三角一体化产业发展基地的“轴线”，被列为全市重点道路交通项目，一直是众人关注的焦点． 如图1，两辆盐丰公交P、Q在长9公里的上同时相向匀速运动，盐丰公交P从A出发，速度为2公里/分钟，盐丰公交Q从B出发，速度为1公里/分钟，当盐丰公交P到达B时，盐丰公交P，Q停止运动．经过几分钟P，Q之间相距3公里？ 【问题解决】小丰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图2，将点A与数轴的原点O重合，点B落在正半轴上．设运动的时间为t（）． (1)t分钟后点P在数轴上对应的数是______；点Q对应的数是______；（用含t的代数式表示） (2)我们知道，如果数轴上M，N两点分别对应数m，n，则．试运用该方法求经过几分钟P，Q之间相距3公里？ (3)在上有一个标记位置C，，若盐丰公交P与标记位置C之间的距离为a，盐丰公交Q与B之间的距离为b．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上的两点间的距离，数轴上表示数，绝对值的计算，熟练掌握绝对值的性质，数轴上两点间的距离是解题的关键， （1）根据路程=速度×时间，计算距离，利用平移思想表示点表示的数即可． （2）根据（1）中表示的数，计算两个点之间的距离即可． （3）分别计算两点间的距离，结合题意列出绝对值方程计算即可． 【详解】（1）∵两辆盐丰公交P、Q在长9公里的上同时相向匀速运动，盐丰公交P从A出发，速度为2公里/分钟，盐丰公交Q从B出发，速度为1公里/分钟， ∴， ∵点A表示的数是0，点B表示的数是9， ∴点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：；． （2）∵点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴， 解得 或． （3）∵点P表示的数是，点Q表示的数是，， ∴点C表示的数是3， ∴，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 10．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在数轴上，点表示数，点表示数，且，满足． (1)________；________； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以3个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒． ①当时，甲小球到原点的距离为_______；乙小球到原点的距离为______； ②当时，甲、乙两小球之间的距离为_______；（用含的式子表示） ③求甲、乙两小球到原点的距离相等时，乙小球在数轴上对应的数； ④若当甲和乙开始运动时，挡板也从原点以1个单位长度/秒的速度向右运动，直接写出在运动过程中，甲、乙两小球之间的距离在5个单位长度之内（包含5个单位长度）的时长． 【答案】(1)，4； (2)①3，1；②；③或5；④秒． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的实际应用，熟练掌握数轴上两点时间距离的表示方法，以及正确列出方程求解是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a和b的值； （2）①当时，甲小球的运动路程为1，乙小球的运动路程为3，即可求解；②当时，甲小球的运动路程为t，乙小球的运动路程为，此时甲小球表示的数为，乙小球表示的数为，即可求解；③乙小球碰到挡板前，得，乙小球碰到挡板后，得，分别求出两种情况下的时间，即可求解；④根据乙小球和挡板的运动速度，得出乙小球经过1秒碰到挡板，此时挡板在数轴上对应的是1．当甲、乙两小球都向左运动时，由题意得，当乙小球碰到挡板后，由题意得，求出两种情况下的时间，再相减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：，4； （2）解：①当时， 甲小球的运动路程为1，乙小球的运动路程为3， ， 即当时，甲小球到原点的距离为3，乙小球到原点的距离为1， 故答案为：3，1； ②当时， 甲小球的运动路程为t，乙小球的运动路程为， 此时甲小球表示的数为，乙小球表示的数为， ∴甲、乙两小球之间的距离为， 故答案为：； ③乙小球碰到挡板前，得， 解得， 此时乙小球对应的数为； 乙小球碰到挡板后，得， 解得， 此时乙小球对应的数为． 综上，甲、乙两小球到原点的距离相等时，乙小球对应的数为或5； ④（秒）， 即乙小球经过1秒碰到挡板，此时挡板在数轴上对应的是1． 当甲、乙两小球都向左运动时，由题意得， 解得； 当乙小球碰到挡板后，由题意得， 解得， ， 即甲、乙两小球之间的距离在5个单位长度之内（包含5个单位长度）的时长为秒． 11．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图1，在数轴上从左到右依次是A、B、C三个点，且A、B两点位于原点O的两侧，A点所表示的数为 ，且； (1)求出数轴上点B、C所表示的数； (2)如图2，动点P从A点出发，以4个单位长度每秒的速度沿方向运动，到达C点后，立即掉头以原速返回；与此同时，另一动点Q从B出发，以1.5个单位长度每秒的速度沿方向运动，到达C后，点P、Q停止运动．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当时，求出满足条件的t的值； (3)在第（2）问的条件下，有另一动点M与P、Q同时出发，从点C以3个单位长度每秒的速度沿方向运动，当点P停止运动时，点M停止运动．在运动过程中，点Q的运动时间记为t（秒），当P、Q、M三点中一点是另外两点的中点时，请直接写出满足条件的t的值． 【答案】(1)2；20 (2)当或或或时， (3)当或或或时，、、三点中一点是另外两点的中点 【分析】（1）先求出，进而求出，再求出，进一步求出即可得到答案； （2）分当点P在从A向点C运动，即时，当点P在从C向点A运动，即时两种情况分别表示出点P和点Q表示的数，再根据数轴上两点距离公式建立方程求解即可； （3）分到达点之前，和从点返回，两种情况，每种情况再分为，中点， 为，中点和为，中点，三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵A点所表示的数为 ， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为2， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； （2）解：当点P在从A向点C运动，即时，此时点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当点P在从C向点A运动，即时，此时点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，当或或或时，； （3）解：点表示的数为：， 当时： ①为，中点，则：，解得：； ②为，中点，则：，解得：； ③为，中点，则：，解得：； 当时： ①为，中点，则：，解得：； ②为，中点，则：，解得：（舍）； ③为，中点，则：，解得：（舍）； 综上：当或或或时，、、三点中一点是另外两点的中点． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，绝对值方程，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及中点公式，是解题的关键． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $