精品解析：贵州省贵阳市修文中学2025-2026学年高二上学期第一阶段质量检测数学试卷

修文中学2025-2026年度第一学期第一阶段质量检测试卷 高二数学 出题人：祁永珍 审题人：黄承勇 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，答题卡交回. 第Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过和两点，是直线的方向向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知在空间直角坐标系（O为坐标原点）中，点关于x轴的对称点为点B，则z轴与平面OAB所成的线面角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知点，若直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知指数函数，，，若，，满足，且，，均大于，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，相互独立，则 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点C到平面的距离为 D. 三棱锥外接球体积为 第Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点，且直线的方向向量，则直线的斜截式方程为________. 13. 若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 14. 已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和直线，求： （1）过点且与直线平行的直线的点斜式方程； （2）过点且与直线垂直的直线的点斜式方程； （3）判断（1）与（2）直线之间的关系. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的大小； （2）若，，解这个三角形． 17. 某市为了迎接全国文明城市的复查，文明办随机抽取了n位市民进行问卷调查，调查项目是对该市各方面文明情况的满意度，现统计他们的问卷分数，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为，回答下列问题： （1）求n的值， （2）第60百分位数不大于88分，则通过复查；否则，视为不通过.试判断该调查是否通过复查； （3）在统计该问卷调查中，通过分层随机抽样得到前两组、样本的平均数分别为，，方差分别为，，求这两组数据总的平均数及方差. 18. 宋元时期，泉州作为海洋商贸中心，成为世界第一大港.作为海上丝绸之路的起点，泉州的海外贸易极其频繁，但海上时常风浪巨大，使用原始船出行的风险也大.因此，当时的设计师为了海外贸易的正常进行，便在船只设计中才用了楔形零件结构，由此海上出行无需再惧怕船体崩溃，这也为海上贸易的发达作出了巨大贡献，而其智慧至今仍熠熠生辉.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCDMNPQ，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中是中间的小正方形的顶点. （1）求楔形体的表面积； （2）求平面APQ与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 修文中学2025-2026年度第一学期第一阶段质量检测试卷 高二数学 出题人：祁永珍 审题人：黄承勇 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，答题卡交回. 第Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合补集运算法则即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2. 若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算化简复数，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 所以复数对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 4. 已知直线经过和两点，是直线的方向向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：A 5. 已知在空间直角坐标系（O为坐标原点）中，点关于x轴的对称点为点B，则z轴与平面OAB所成的线面角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点关于坐标轴对称的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为点关于x轴的对称点为， 所以，． 设平面OAB的一个法向量为，则得所以， 令，得，所以． 又z轴的一个方向向量为，设z轴与平面OAB所成的线面角为， 则， 所以所求的线面角为， 故选：B． 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 7. 已知点，若直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过定点后，再分别计算出直线过点、点时的斜率即可得. 【详解】，令，解得， 故直线过定点， 则，， 故该直线斜率的取值范围. 故选：B. 8. 已知指数函数，，，若，，满足，且，，均大于，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数与对数的转化及指数函数单调性判断即可得. 【详解】令，由，则， 由，则，即， 由，则，即， 则，，， 由，则，则， 又在上单调递增，则， 故，即有. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断AB，利用独立事件的概率公式即可判断C，利用独立事件先计算，由即可判断D. 【详解】对于A：若，为互斥事件，所以,故A正确; 对于B：若，为互斥事件，则， 所以，故B错误； 对于C：若，相互独立，所以与相互独立， 所以，故C正确； 对于D：若，相互独立，， 所以，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点C到平面的距离为 D. 三棱锥外接球体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及空间中点线面位置关系的向量表示方法，空间中点到面的距离的向量方法，三棱锥的外接球半径的计算方法，依据半径求出球的体积，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】如图所示，连接， 是中点，是的中位线，， 平面，平面， 与平面相交， ，与平面相交，所以A错误； 如图所示，以正方体顶点为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为， 则，即， 当时，解得，则平面的一个法向量， 此时，即，可得平面，所以B正确； 如图所示， 可知，平面的一个法向量， 可得点C到平面的距离，所以C错误； 如图所示：作中点，作上下底面中心，作四棱柱， 可知三棱锥的外接球，也是四棱柱的外接球， 可知， 则外接球半径，外接球体积为，所以D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点，且直线的方向向量，则直线的斜截式方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的方向向量求得直线斜率，再由点斜式即得直线方程. 【详解】由直线的方向向量为，则直线的斜率为， 又直线经过点，故其方程为. 故答案为：. 13. 若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求解即可． 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为3和8，母线为13， 所以圆台的高为：， 由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：． 故答案为： 14. 已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】借助空间向量的基本定理计算即可得. 【详解】、、， 由，，，四点共面， 则存在实数，使得， 即有，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和直线，求： （1）过点且与直线平行的直线的点斜式方程； （2）过点且与直线垂直的直线的点斜式方程； （3）判断（1）与（2）直线之间的关系. 【答案】（1） （2） （3）两直线垂直 【解析】 【分析】（1）可知直线l的斜率，根据平行关系结合点斜式方程运算求解； （2）根据垂直关系结合点斜式方程运算求解. （3）计算两直线斜率之积即可得. 【小问1详解】 因为直线，则直线的斜率， 可知与直线平行的直线的斜率， 过点且与直线l平行的直线方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：与直线l垂直的直线的斜率， 过点且与直线l垂直的直线方程为； 【小问3详解】 由，故两直线垂直. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的大小； （2）若，，解这个三角形． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B． （2）由（1）可求出C，利用两角和正弦公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c． 【小问1详解】 由正弦定理，得 由余弦定理，得. 故，又，因此； 【小问2详解】 由（1）知，， ， 由正弦定理，得， . 17. 某市为了迎接全国文明城市的复查，文明办随机抽取了n位市民进行问卷调查，调查项目是对该市各方面文明情况的满意度，现统计他们的问卷分数，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为，回答下列问题： （1）求n的值， （2）第60百分位数不大于88分，则通过复查；否则，视为不通过.试判断该调查是否通过复查； （3）在统计该问卷调查中，通过分层随机抽样得到前两组、样本的平均数分别为，，方差分别为，，求这两组数据总的平均数及方差. 【答案】（1） （2）通过 （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图求出第2小组的频率即可求出； （2）利用第60百分位数的定义求解判断即可得； （3）利用分层抽样的平均数公式及方差公式列式计算即可得. 【小问1详解】 由后2组的频率和为，得前3组的频率和为， 又前3个小组的频率之比为，则第一组的频率为， 第二组的频率为，第三组的频率为，因此； 【小问2详解】 由前二组的频率和为，前三组的频率和为， 第60百分位数为，所以该调查通过复查； 【小问3详解】 依题意，这两组数据的平均数， 方差， 所以这两组数据总的平均数及方差分别为和. 18. 宋元时期，泉州作为海洋商贸中心，成为世界第一大港.作为海上丝绸之路的起点，泉州的海外贸易极其频繁，但海上时常风浪巨大，使用原始船出行的风险也大.因此，当时的设计师为了海外贸易的正常进行，便在船只设计中才用了楔形零件结构，由此海上出行无需再惧怕船体崩溃，这也为海上贸易的发达作出了巨大贡献，而其智慧至今仍熠熠生辉.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCDMNPQ，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中是中间的小正方形的顶点. （1）求楔形体的表面积； （2）求平面APQ与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意楔形体为上底、下底分别为1，3，高为3的正四棱台，可以依次求出其侧棱以及斜高，然后即可求出它的表面积. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量夹角余弦的绝对值公式即可得解. 【小问1详解】 易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形， 侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3，腰的长为， 所以侧面等腰梯形的高为， 所以该楔形体的表面积为. 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 所以平面的一个法向量为， 同理得，解得，令，则； 即平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $