21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【夺冠百分百】2025-2026学年九年级上册数学新导学课时练（人教版）

(2)(答案不唯一)取m=1,此时原方程为x2十3x=0, (2)x1=-1,x2=-5. 解得x1=0,x2=一3. -+厘a-1g厘 6 21.2.3 因式分解法 【知识梳理·自主学习】 3解：1五=-合4=1.(2西=-1，=5 41 1.一次式一次式降次2.一次降次 (3)x1=一3+/11，x2=-3-√1I. 【知识要点·多维突破】 1.C2.C3.3x-4-5=0 (0x=号=-3. 4解：1m=0,m:=-5.(2)a=-号=号 4.解：(1)x1=-3,x2=2. (2)x=-1,4=是 (3)1=-1,2=5.(4)a=-2,=3 4 (3)x1=-2,2=1.(4)x1=3,x2=-1. ·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 5.D6.D 【知识梳理·自主学习】 7.解：(1)x1=0.5,x2=一2.5.(2)x1=4,x2=6. (3)x1=3,x2=1. 一b￡一次项二次项常数项二次项 aa 0--g 【知识要点·多维突破】 1.D2.B3.A4.A【变式】6 8.x1=0,2x2=2 【综合演练·应用提升】 5-是 1.B2.B3.24 6.解：(1)a+B=5.(2)8=-2.(3)a2+a3+g=27. 4.-3或3 7.A8.B9.A10.B 5.解：(1)4(x-1)2-9=0, 11.解：(1)：一元二次方程x2-2x十k+2=0有两个实数根， (x-1)2=9, 4 .△=(-2)2-4X1×(k+2)=一4k-4≥0， 解得k≤一1. ∴x-1=士号， (2)存在。 =号=- :x1,x2是一元二次方程x2-2x十十2=0的两个实 (2)(x+2)2-4(x-3)2=0, 数根， [(x+2)+2(x-3)][(x+2)-2(x-3)]=0, ∴x1十x2=2,x1x2=b+2. (3x-4)(-x+8)=0, :1+1=k-2, .3x-4=0或一x+8=0, 西=青西=8 贵=异2=2 整理，得2一6=0， (3)y2-2y=5, 解得k1=一√6，k2=√6. y2-2y十1=5+1，即(y-1)2=6, 又，k≤-1，∴.k=一√6. .y-1=±6， 12.B .y1=1+√6，y2=1-W6. 【综合演练·应用提升】 6.解：(1)B=5或1.(2)x1=3,x2=-1. 1.A2.D3.A4.A5.B6.2或-20 专题集训一 7.解：(1)当x=0时，0+0+m-2=0 一元二次方程的解法 .m=2, 1.解：(1)x1=3,x2=-3.(2)x1=-3,x2=-9. .x2十2x=0, (3)x1=1+2√2，x2=1-2V2.(4)x=-2,x2=-4. x=0或x=-2, 2.解：(1)x1=3+√10，x2=3-√10. 即方程的另一根是一2. 155 (2),关于x的方程x2十2x+m一2=0有两个不相等的实 (2)225+225×(14-5)+[225+225×(14-5)]×(14- 数根， 5-5) ,'.△=22-4(m-2)=-4m+12>0, =225+2025+2250×4 m<3. =11250(人). ,m为正整数， 答：再过两天共有11250人患有此病. .m=1,2. 4.B5.D6.B7.C 8.解：(1)根据题意，得△=(2m十1)2-4(m2-2)≥0， 8.解：设有x名学生参加了乒兵球赛，则 解得m心-号m的最小基数值为-2。 2x(x-1)=15X3, (2)根据题意，得x1十x2=-(2m十1)，x1x2=m2一2， 解得x1=10,x2=一9（不符合实际，舍去）. (x1-x2)2十m2=21, 答：共有10名学生参加了乒乓球赛. .(1十x2)2-4x1x2+m2=21, 9.C ∴.(2m十1)2-4(m2-2)+m2=21, 10.6810 整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=一6， 11.解：这个两位数是62. m≥-9 m的值为2. 【综合演练·应用提升】 1.D2.B 9.(1)证明：，△=(k十2)2一8k=(k一2)2≥0， k取任何实数值，方程总有实数根。 3.解：(1)15 2n(n-1)(2)参加聚会的人数为10. (2)解：，Rt△ABC的斜边长a=3, 4.解：(1)15 .∴.a2=b+c2,即9=(b+c)2-2bc. (2)S=n(n-1 ,b,c是方程x2一(k+2)x十2k=0的两个根， 2 .当n=50时，代入得S=1225.故答聚为：1225. ∴.b十c=k+2,bc=2k, (3)设该班共有女生x名，根据题意， .9=(k+2)2-2×2k,解得=±√5. 得(x。1)=190, 当k=一√5时，b十c=2一√5（不合题意，舍去）， 2 当k=√5时，b+c=2+√5. 解得x1=20,x2=-19(不符合题意，舍去)， 故△ABC的周长为a+b+c=5+√5. 答：该班共有20名女生. (4)设该班数学兴趣小组有m人，根据题意， 21.3实际问题与一元二次方程 得m(m-1)=110, 第1课时用一元二次方程解决传播问题 解得=11,2=-10（不符合题意，舍去）， 【知识梳理·自主学习】 故答案为11. 1.(1+x)(1+x)22.x(x-D 2 第2课时用一元二次方程解决平均变化率与利润问题 3.10x+y100x+10y+之x+2x+2 【知识梳理·自主学习】 【知识要点·多维突破】 1.(1)a(1+x)(2)a(1+x)2 1.D2.B 2.(1)进价(4)销售量 3.解：(1)设每人一天传染了x人，依题意有： 【知识要点·多维突破】 1+x+(1+x)×x=225, 1.B2.D3.10% (1+x)2=225, 4.解：设该商品每次降价的百分率为x, ,1+x>0, 根据题意，得60(1一x)2=48.6, .1+x=15, 解得x1=0.1,x2=1.9(舍去) x=14. 答：该商品每次降价的百分率是10%. 答：每人一天传染了14人. 5.C6.5 —156心新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 5.已知x1,x2是方程x2一4x一3=0的两根，则 知识梳理·自主学习 x1·x2= 一元二次方程的根与系数的关系 x1十x2 方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两 6.已知a,3是一元二次方程x2-5x-2=0的 个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系：x1十x2 两个实数根，求下列代数式的值. ,1x2= (1)a+B.(2)a3.(3)a2+a3+. 即两个根的和等于 系数与 系数的比的相反数；两个根的积等于 与 系数的比。 B 知识要点·多维突破 知识点一 根与系数的关系及求有关代数式 的值 1.已知一元二次方程x2十2x一1=0的两实数 根为x1,x2,则x1·x2的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 2.(2022石家庄期末)已知x1,x2是关于x的 一元二次方程x2+bx十c=0的两个根，且 x1十x2=5,x1·x2=6,则该一元二次方程 名师点睛 (1)利用根与系数的关系求某些代数式的值 是() 的步骤： A.x2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0 ①算：计算出两根的和与积。 C.x2-6.x+5=0 D.x2-6x-5=0 ②变：将所求的代数式表示成两根的和与积 3.(2022秦皇岛青龙期中)方程2x2十(k+1)x 的形式 6=0的两根和是一2，则k的值是() ③代：代入求值. A.3 B.-3 (2)注意事项：注意一元二次方程必须有两 C.0 D.1 个实数根，二次项系数a≠0. 4.设m,n分别为一元二次方程2x2一5x十3= 0的两个实数根，则m+n+mn的值 知识点二已知一元二次方程的一个根求另 为() 一个根及字母系数的取值或范围 A.4 B.-4 C.-2 D.2 7.(2022保定徐水期中)已知关于x的一元二 【变式】已知关于x的一元二次方程x2十mx十 次方程x2一6x十k=0的一个根是1，则另一 n=0的两个实数根分别为x1=一2，x2=4, 个根是() 则m一n的值是 A.5 B.-5C.-6D.-7 S216 第二十一章一元二次方程 新导学课时练 8.(2022唐山乐亭期中)已知关于x的一元二 名师点睛 次方程x2+3x一m=0的一个根是x=1,则 已知方程的一根：（方法一）直接代入原方 m的值为() 程，得到一个关于未知系数（参数）的方程， A.2 B.4 解方程求出未知系数（参数）的值.（方法二) C.-4 D.-2 利用根与系数的关系列出有关另一根与字 9.若一元二次方程x2一(a+1)x十a=0的两 母系数的方程或方程组求解。 个实数根分别是b,2,则b一a=( 易错点忽视判别式的取值范围 A.-1 B.1 12.方程x2-x+1=0与方程x2-5.x-1=0 C.3 D.-4 的所有实数根的和是() 10.若方程2x2十x一2m十1=0有一正实根和 A.6 B.5 一负实根，则m的取值范围是( ) C.3 D.2 A.m≥16 7 Bm>号 易错提醒 应用根与系数的关系时，必须满足一元二次 C.m>16 7 D.m≥号 方程有实数根，即b2一4ac≥0，忽视判别式 11.(2022保定曲阳期中)已知x1,x2是一元二 的取值范围易出现结果错误」 次方程x2一2x十k十2=0的两个实数根. (1)求的取值范围. 综合演练·应用提升 (2)是否存在实数，使得等式1+1 【能力提升】 1.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2十 一2成立？如果存在，请求出k的值；如果 bx一3=0的两根，且满足x1十x2一3x1x2= 不存在，请说明理由. 5,那么b的值为( A.4 B.-4 C.3 D.-3 2.(2022沧州黄骅期中)方程x2-(k2-4)x十 k十1=0的两实数根互为相反数，则k的值 应为( A.±4 B.±2 C.2 D.-2 3.关于x的方程2x2+mx十n=0的两个根是 一2和1，则n”的值为() A.16 B.-16 C.8 D.-8 4.(2022石家庄裕华期中)若m,n分别是一元 二次方程x2一4x十1=0的两个根，则m2一 3m十n的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 17® 心新导学课时练 数学·九年级（上）·RJ 5.若一元二次方程x2-(2m十3)x+m2=0有 8.(2022张家口宣化区期中)已知关于x的一 两个不相等的实数根x1,x2,且x1十x2= 元二次方程x2+(2m+1)x十m2-2=0. x1x2,则m的值是( (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整 A.-1 B.3 数值 C.2或-1 D.-3或1 (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1 6.(2022唐山滦南期末)若实数a,b满足a2 x2)2+m2=21,求m的值. 8a+5=0,8-86+5=0,则8号+号的 值为 7.已知关于x的方程x2+2x十m一2=0. (1)当该方程的一个根为0时，求m的值及 方程的另一根. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求符 合条件的正整数m的值， 【素养闯关】 9.(核心素养·推理能力)已知关于x的方程 x2-(k+2)x十2k=0. (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根. (2)若Rt△ABC的斜边长a=3,另两边长 b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的 周长 018